×a13
1
b3
＝a3
b.
11
(2)法一 12lg3429－43lg 8＋lg 245 ＝lg472－lg 4＋lg 7 5＝lg472×14×7 5 ＝lg 10＝12lg 10＝12.
12
法二 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12.
章末复习课
1
网络构建
2
核心归纳
1．指数函数的图象和性质 一般地，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与性质如下表所 示.
a>1
0<a<1
图象
3
定义域 值域
性 质
a>1
0<a<1
R
(0，＋∞)
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1
当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1
10
4
1
【例 1】
(1)化简： 2 4b3
a3 －8a3 b ＋23 ab＋a32
÷1－2
3
ba×3 ab；
(2)求值：12lg3429－43lg 8＋lg 245.
解 (1)原式＝
1
2b3
1
a3 a－8b
1
1
1
2＋2a3 b3 ＋a3
×1 2 a3
1
a3
1
－2b3
×a13
1
b3
1
＝a3
a－a－8b8b×a13
17
【训练2】 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝ logax的图象可能是( )
18
解析 法一 当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa 递增较快，排除C； 当0<a<1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排除A．由于 y＝xa递增较慢，所以选D． 法二 幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，故A错；B项中由对 数函数f(x)＝logax的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xa的图 象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错；D对；C项中由对数 函数f(x)＝logax的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应 是增长越来越快的变化趋势，故C错． 答案 D
列表、描点、连线
15
【例2】 函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
16
解析 法一 当x＝0时，y＝0，故可排除选项A，由1－x>0， 得x<1，即函数的定义域为(－∞，1)，排除选项B，又易知函数 在其定义域上是减函数，故选C． 法二 函数y＝2log4(1－x)的图象可认为是由y＝log4x的图象经 过如下步骤变换得到的：(1)函数y＝log4x的图象上所有点的横 坐标不变．纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2log4x的图 象；(2)把函数y＝2log4x关于y轴对称得到函数y＝2log4(－x)的 图象；(3)把函数y＝2log4(－x)的图象向右平移1个单位，即可 得到y＝2log4(1－x)的图象，故选C． 答案 C
13
【训练 1】
(1)化简：(
2
8)－3
×(3
9
102)2
÷ 105；
(2)计算：2log32－log3392＋log38－25log53.
解
(1)原式＝223
－23
×2
＝2－1×103×10－25
＝2
－1×1012
＝
10 2.
(2)原式＝log34－log3392＋log38－5log59
＝log34×392×8－9＝－7.
14
要点二 指数函数、对数函数、幂函数的图象问题
函数图象的画法
画法 应用范围
基本函 基本初等函 数法 数
与基本初等 变换法 函数有关联
的函数 未知函数或 描点法 较复杂的函 数
画法技巧 利用一次函数、反比例函数、二次 函数、指数函数、对数函数、幂函 数的有关知识，画出特殊点(线)， 直接根据函数的图象特征作出图象 弄清所给函数与基本函数的关系， 恰当选择平移、对称等变换方法， 由基本函数图象变换得到函数图象
8
4．幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 (1,1)． (2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋ ∞)上为增函数． (3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函 数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴 右方无限地逼近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴 上方无限地逼近x轴． (4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数 为偶函数．
19
要点三 大小比较问题
数的大小比较常用方法： (1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题 型，主要考查数、指数函数、对数函数幂函数图象与性质 的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有 单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法． (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可 将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然 后利用该函数的单调性比较．
5
2．对数函数的图象和性质 a>1
图 象
0<a<1
6
a>1
0<a<1
定义域是(0，＋∞)
值域是R
性
当x＝1时，y＝0，即图象过定点(1,0)
质
当x>1时，y>0；
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y<0
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
7
3．指数函数与对数函数的关系 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1) 互为反函数，其图象关于直线y＝x对称．(如图)
9
要点一 指数、对数的运算
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正 指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注 意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先 注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运 用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对 数计算、化简、证明常用的技巧．
在(－∞，＋∞) 上是增函数
在(－∞，＋∞) 上是减函数
4
注意 (1)对于a>1与0<a<1，函数值的变化是不同的，因而利 用性质时，一定要注意底数的范围，通常要用分类讨论思想． (2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快； 0<a<1时，a值越小，图象向上越靠近y轴，递减速度越快． (3)在同一坐标系中有多个指数函数图象 时，图象的相对位置与底数大小有如下关 系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数 由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应 的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是 右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质 可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．