《高中数学变式教学研究》中期报告——新授课概念性变式教学的三个环节顾泠沅等学者把变式教学分为概念性变式和过程性变式教学两类。

概念性变式教学突出对概念内涵的理解，注重概念的情景引入、语言转换等，逐步从概念的“标准变式”转向概念的“非标准变式”，使学生获得对概念的多角度的理解；过程性变式教学突出对概念外延的应用，注重知识之间的联系和拓展，通过过程性变式教学，使数学教学有层次地递进。

一堂新授的概念课，总的来说，主要侧重概念性变式教学，因为这一阶段不适宜作高难度的知识综合训练。

我们工作室第二阶段的工作重点侧重对新授课进行概念性变式教学，下面我们就新授课概念性变式教学应注意的三个环节作些研究和探讨，并从大家熟知的等差数列新授课教学谈起。

一、设置情景，揭示概念的本质特征（1）知识背景的创设每节新授课要从学生最为熟悉的现实背景、生活背景、历史背景、数学知识背景等出发，设置最能体现新授概念本质特征的知识背景。

这是概念性变式教学的切入点。

老师要列举学生学习经验中感受最深的例子。

概念引入的背景可多可少，原则只有一条：尽可能地揭示概念的本质特征。

①班级同学的鞋子尺码：27.5，27，26.5，26，25.5，25，24.5，24，23.5，23。

②每个同学的统一营养午餐费：5，5，5， (5)③能被3整除的所有正整数：3，6，9，…这里列举的三个例子，前两个例子源于学生的生活背景，第三个例子源于学生的数学知识背景。

第一个例子中公差小于零，第二个例子中公差等于零，第三个例子中公差大于零。

等差数列概念的本质特征是：从第二项起，后一项与前一项的差是一个常数。

这个常数d （公差）可以是任意的实数。

即当*2,n n N ≥∈时，1,n n a a d d R --=∈。

（2）特殊情形的考虑从概念的一般性出发，探讨概念的特殊情形。

这在新授概念教学中，是学生容易接受的一个学习过程，这样的教学情景不可忽视，它是理解概念一般性结论的基础。

我们在这里把对特殊情形的考虑视作为概念性变式教学的特殊情景。

这个情景实际上是从概念的局部来解释概念的本质特征，是从学生容易理解的方面入手的。

①三个数成等差数列的充要条件：,,a A b 成等差数列22a b A a b A A a b A +⇔-=-⇔=+⇔=。

称A 为,a b 的等差中项。

②等差数列{}n a 中，任意相邻三项也成等差数列：*11,,(2,)n n n a a a n n N -+≥∈成等差数列n a ⇔是1n a -和1n a +的中项112n n n a a a -+⇔=+⇔由n 的任意性，数列{}n a 成等差数列。

③等差数列{}n a 中，奇数项组成的数列13,,a a 成等差数列，其公差为2d ；偶数项组成的数列24,,a a 成等差数列，其公差为2d ；每隔相同的项组成的新数列2,,m m k m k a a a ++，*(,)m k N ∈…也是等差数列，其公差为kd 。

（3）基本结论的推出从概念的本原出发，进行演绎推理，得出一些基本的结论，如概念衍生出来的性质、定理、公式等。

这些结论和新授概念一起成为新授课中的学习要点。

我们在这里把基本结论的推演过程视作为概念性变式教学的一般情景。

① 归纳推广：由等差数列的定义，得到：21a a d =+，3212a a d a d =+=+，4313a a d a d =+=+，…，1(1)n a a n d =+-。

② 数列是特殊的函数。

从函数的角度来看等差数列的通项公式，当公差不为零时，其表达式是关于n的一次函数；当公差为零时，是常量函数。

点(,)n a是直角坐标系n中直线上离散的点。

作为新授概念，从以上的三个方面来理解，是概念性变式教学的三个不同角度，也是概念性变式教学的三个基本维度。

在变式教学中，创设背景是概念呈现的孕育过程，是帮助学生进行知识建构的前提。

得出了概念，不是概念教学的终结，还需要寻找概念的“知识固着点”，从两个方向进行寻找，最近的方向和较远的方向。

最近的方向我们考虑的是概念的特殊情况，较远的方向是从概念出发的一般性推理，直到我们找到本节课新授概念所能依附的“知识固着点”为止，我们把这个环节称之为新授课概念性变式教学的第一个环节。

等差数列新授课我们可以把等差数列的通项公式作为概念性变式教学中的“知识固着点”。

在“知识固着点”未找到之前，新授概念与“知识固着点”之间存在一个“潜在距离”，我们可以理解为学生的“最近发展区”。

为了完成第一环节的教学要求，从变式教学的层面上来说，老师要围绕新授的概念，多角度地设置问题情景，使学生在第一环节就找到“知识的固着点”，使新授概念有一个稳固的外显的“知识抓手”，为后续的概念应用作好充分的准备。

二、拓展外延，凸显概念的不变内涵（1）概念的简单外延我们把概念应用的较小适用范围称之为概念的简单外延。

较小是一个模糊的量化。

在讲完等差数列定义后，一些老师接下来请学生判断给出的具体数列是不是等差数列，如果是的话，说出首项和公差等。

这个层次的能力训练要求比较低，实际上我们在背景设置当中，已经做过了这样的训练，这里可以再提高一步，如进行下列层次的变式训练：①已知等差数列的首项和第二项，求出等差数列中的任意项；②已知等差数列的前三项，求出等差数列中的任意项；③已知等差数列的公差和某一项，求出等差数列中的任意项；④已知等差数列中的任意两项，求出等差数列中的公差和通项公式。

上面的问题比较简单，其中的实例就不再列举。

总结数学思想方法，以不变应万变是概念性变式教学第二环节的着力点。

一节课从知识的层面来说，不变的是等差数列的定义和通项公式；从方法层面来说，不变的是突出基本量的数学思想方法。

在四个量1,,,na d n a 中，知三必可求一。

我们在以上的变式中所凸显的不变内涵是：只要给出两个独立的条件，就可以求出等差数列的首项和公差，所有的问题变式最终都可转化为能够知道等差数列的首项和公差，就可以写出通项公式了。

（2）概念的复杂外延我们把概念应用的较大适用范围称之为概念的复杂外延。

这也是一个模糊的量化，复杂到什么程度，直到概念应用的边界。

如果外延复杂的程度较大就从概念性变式教学过渡到过程性变式教学中去了，概念性变式教学和过程性变式教学的分界在于概念外延中是不是与其他数学知识进行了整合。

如果没有和其他知识进行整合，我们还是把这一阶段的变式教学视作为概念性变式教学。

如果把等差数列这节新授课限定在四十分钟的时间内完成，恐怕下面的变式教学就来不及了，但我们不能说，概念性变式教学就完成了。

本节课的教学重点是等差数列定义和通项公式的应用。

即使在第一节课内来不及完成，我们还要延续到下一节课作进一步的变式。

①已知等差数列某一项和另外两项的和（差、积、商），求数列的通项；如：在等差数列{}n a 中，已知1241,6a a a =+=，求数列{}n a 的通项公式。

②已知等差数列两组相邻两项（三项、若干项）的和，求数列的通项； 如：在等差数列{}n a 中，已知12343,6a a a a +=+=，求数列{}n a 的通项公式；③利用等差数列的中项性质，求数列的通项；如：在等差数列{}n a 中，已知132462,6a a a a a +=++=，求数列{}n a 的通项公式；④已知等差数列两项的和与两项的积，求数列的通项。

在等差数列{}n a 中，已知23156,5a a a a ⋅=+=，求数列{}n a 的通项公式。

能够和等差数列定义和通项公式进行整合的知识点很多，比如后面我们要学习的等差数列的求和公式等，又比如和后面要学习的等比数列的知识进行综合等，当然在这节课里绝对不能出现，因为等差数列的求和公式与等比数列的概念都是我们即将要学习的新授概念。

但我们可以出现等差数列定义及通项公式与三角、直线方程、一般函数以及应用问题等知识的整合，但这已经从概念性变式教学过渡到了过程性变式教学了，不属于本文所要探讨的范畴。

以上所作的变式都是停留在通项公式本身应用基础上的训练，没有涉及到和其他知识的整合，这些变式问题在知识层面和方法层面上，与概念的简单外延变式问题所要凸显的不变内涵都是相同的，因此，我们把这一环节作为新授课概念性变式教学的第二个环节，第二环节的变式教学的特征是突出不变的概念内涵，是从总结不变的基础知识和基本的方法为着落点的，因此，第二阶段的教学目标仍然是落实数学的双基教学和训练。

在第一环节我们找到了“知识固着点”，在第二环节我们又找到了“方法固着点”，这样的概念性变式教学，使得新授的概念得到牢固的掌握。

三、变换问题，建构概念的内在体系（1）问题的逆向提出从逆向思维的角度来理解概念。

前面的两个环节都是从正面，概念的“标准状态”来理解的，在第三个环节我们试图从概念的“非标准状态”来理解。

①已知等差数列的通项公式，求首项和公差；②已知一个数列的通项公式是关于n 的一次函数式，判断这个数列是不是等差数列？常数列是不是等差数列；③已知一个数列的通项公式，判断这个数列是不是等差数列？如：*1,13,2,n n a n n n N=⎧=⎨-≥∈⎩是不是等差数列？2n a n n =-是不是等差数列？ ④给出一个递推式，判断这个数列是不是等差数列？如：数列{}n a 满足111,n n a a a n +=-=，这个数列是不是等差数列？第一和第二个例子，实际上是从等差数列通项公式结论展开的逆向变式，第二个例子实际上是寻找数列通项公式成为等差数列的充要条件。

第三和第四个例子，也是从数列的通项公式出发进行研究的，也是一个思维的逆向过程。

实际上是给出了不是等差数列的反例，这在概念性变式教学中，是十分重要的，反例的构造，可以进一步强化学生对概念正面的理解。

（2）问题的异化形式变式教学中有一个重要的理论叫作“马顿理论”，认为新授概念的学习，是和其他知识进行比较和鉴别的过程，“鉴别”和“差异”是这个理论的核心。

我们已经从概念的正面和反面进行了比较和鉴别，但还没有从过程性变式教学的角度，把等差数列的定义以及通项公式的学习放到与其他知识的综合环境中加以鉴别和联系，但对于具有异化形式的相近问题，我们可以在新授课概念性变式教学中作出初步的鉴别，鉴别的过程是对差异的进一步认识。

①设数列{}n a 满足10a =且111111n n a a +-=--，求数列{}n a 的通项公式； ②设数列{}n a 满足11a =，112n n na a a +=-，求数列{}n a 的通项公式。

第一个问题实际上是鉴别由{}n a 生成的一个新数列1{}1na -，学生还是能够鉴别出来的。

第二个问题有点困难了，需要作如下变形：112112n n n na a a a +-==-，然后再来鉴别。

异化形式的问题比较困难。