简单剪切变形的应力应变

对底面积为

A，高为

H的方形样品，一个面置于粗糙平面上，在另一个面上平行于边

长施加水平力

F，就形成了一个简单剪切变形。

对不可压缩介质，由于其体积不变，从而有条件：

()

cosl

AHA

θ=⋅，这里，

l为斜边边长，θ为原高度边与当前斜边的夹角。 从而，高度方向上的应变是伸张应变为：1

1

coshε

θ=−。其余两个方向的边长无长度变化。

这是一维的拖带变形。 与作用力方向一致的那个方向的纯粹剪应变为：

tan

h

Hωθ∆

==，

∆为顶面的水平位移

量。

相应的应力为：

1

(2)(1)

coshσλµ

θ=+−，

应力矩为：

2tan

hσµθ

=󰀄

顶面的边界条件为：

2tan

hAAFσµθ

⋅=⋅=󰀄，从而，有：

tan()

2F

arcθ

µ=。变形被外力和

物性完全确定。

但是，就实验而言，顶面的垂向受到一个向上的分力作用：

1

(2)(1)cos(2)(1cos)

cosupFAAλµθλµθ

θ=⋅+−⋅=⋅+−

从而，必须施加一个压力来抵消它的作用。这是很早就被实验学家所认识到的。

从而，顶面的外加作用力一般形式为：

(2)(1cos)

totalupxzFFFFeAeλµθ

=−=⋅−⋅+−⋅GGG

GG

或写成形式：

2tan(2)(1cos)

totalxzFAeAeµθλµθ

=⋅⋅−⋅+−⋅G

GG

这是外力与变形量的非线性方程。

对于底面，它受到的正压力为：

(2)(1cos)

downFAλµθ

=⋅+−

故，变形产生的水平力为：

1

(2)(1)sin(2)(tansin)

coshoriFAAλµθλµθθ

θ=⋅+−⋅=⋅+−

由库仑定律，在临界滑动时，有条件方程：

horidownFFFη

+=⋅

有：

(2)(tansin)2tan(2)(1cos)

ccccAAAλµθθµθηλµθ

⋅+−+⋅=⋅+−

也就是说，有： 2(2)(1cos)

tan

(2)(1cos)c

c

cµλµθ

ηθ

λµθ++−

=⋅

+−

由此可以看出，库仑系数与临界水平力的非线性关系为：

11

[]

2

(2)(1cosarctan)

2c

cF

F

A

Aη

µ

λµ

µ=+⋅

+−

211

[]

1

2

(2)(1)

1()

2c

cF

A

F

Aη

µ

λµ

µ=+⋅

+−

+ 对于微小磨擦系数

1

2cF

Aµ<<，有近似：

2

21111

[][]

1

22

(2)(1)(2)()

2

1()

2cc

c

cFF

F

AA

A

F

Aη

µµ

λµλµ

µ

µ=+⋅≈+⋅

+−+

+ 对于大磨擦系数

1

2cF

Aµ>>，有近似：

1111

[][]

1

222

(2)(1)

2cc

cFF

AA

F

Aη

µµλµ

λµ

µ≈+⋅≈+⋅

+

+−