Hermert 方差分量估计在混合水准网平差中的应用

1 赫尔默特方差分量估计的计算步骤

赫尔默特方差分量估计的迭代计算步骤如下：

（1） 将观测值按等级或不同观测来源分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的权的初值P1,P2,……Pm；

（2） 进行第一次平差，求得各类观测值的残差平方和iiTiVPV。

（3） 按（40）式进行第一次方差分量估计，求得各类观测值单位权方差的第一次估值 ，再依下式定权：

kikiPCPi201ˆ

式中C为任一常数，一般是选20ˆi 中的某一个值。

（4） 反复进行第二项和第三项，即进行：平差——方差分量估计——定权后再平差，直至

202020ˆˆˆ21m

为止，或通过必要的检验认为各类单位权方差之比等于1为止[3]。

2 赫尔默特方差分量估计流程图

下图是几何水准和三角高程混合网中的赫尔默特方差分量估计流程图 输入水准点个数LM，已知点个数N，几何水准观测值个数n1,

三角高程观测值个数n2，总观测值个数n=n1+n2

输入已知点编号及其高程

输入高差观测值及水准点间的距离

输入方程的路径矩阵

求解水准网的平差方程的常数项和系数矩阵

对观测值定初权

根据方程解出各观测值改正数

根据观测值改正数及其对应的系数矩阵解出

S，WV

求出各类观测值的单位权方差 201ˆ是否等于202ˆ

算出各水准点的高程平差值

对水准网进行精度评定

结果输出 是 否 对观测值再定权

120201ˆiiPPI

3 赫尔默特方差分量估计实例分析

3-1 苏通长江公路大桥高程控制网概述

一 测区概况

苏通长江公路大桥位于江苏省东南部、长江三角洲东部，北接南通市，南连苏州市，东距长江入海口约100公里，西距江阴长江公路大桥约90公里，地理位置为东经120o59’，北纬31o47’。桥位北岸在南通市境内的国营南通农场23大队，桥位南端在常熟市东北部的徐六泾，西距常熟发电厂约1公里。该桥是连接长江口段的重要公路通道组成部分，是我国目前跨越长江水面最宽的长江第一特大型桥梁。

桥位处于冲积平原的新三角洲，地势低平，海拔高程公2~3米。桥位区地颀覆盖层两岸江堤之间约6.1公里。江堤高4~5米，宽4~6米。两岸江堤均可通大车和汽车。桥位西约6公里是通常汽渡。桥位区外围四周市、集镇均有公路通至桥位附近，交通十分方便。桥位区北岸居民点较少，且住房简陋，南岸村落稠密，大多民房为2~3层楼房。

桥位区属亚热带湿润季风气候区。气候较温和，雨水充沛。受季风影响，四季分明年平均气温15.2oC，最热月平均28~30oC（七月份），最冷月平均-0.2~3.1oC（一月份）。年高温>35oC仅3.4~4.6天。平均降水量为1082.6mm，年最多降水日数为143天（8-9月雨季）。桥位区属长江的感潮河段，每年5月至10月为汛期。11月至次年3月份为枯水期。1月或2月水位最低。洪峰多出现在6至8月。

二 测区已有高程控制点资料

本项目使用的高程控制网的起算点为：长江北岸南通市境内狼山的基岩水准点II狼山乙，该点为岩层基本标石、岩层混凝土铜标志，位于南通市狼山公园，是长江流域管理办公室于1963年11月埋设。长江南岸常熟市境内虞山公园内，是江苏省工程测绘院于1998年5月埋设。

三 高程控制网建立的基本原则

为满足大桥在勘测、施工期的施工放样要求，特在大桥两端各约4公里范围内布设了专用的高程控制网，以国家二等水准施测；在顾及大桥施工周期长，对高程控制点的稳定性要求较高的特点，分别在大桥的两端附近各布设三个深埋水准点，其中北岸布设埋深68.5米水准点一座、埋深20米水准点两座，南岸布设埋深50米水准点一座、埋深20米水准点两座；为保障起算数据的可靠性及对深埋水准点稳定性的检测，特在北岸狼山基岩点至埋深68.5米水准点和南岸虞山基岩点至埋深50米水准点间施测国家一等水准；为保证大桥两岸施工在高程方面顺利衔接，使南、北岸高程控制网形成整体布局，特在大桥两岸高程控制网间施测测距三角高程控制网连接，从而使用苏通长江公路大桥桥位高程控制网布设成为一个统一的、整体的专用高程控制网。

四 高程控制网的建立

苏通长江公路大桥平面控制网由18个点组成，网形为以桥轴线为公共边的两个大地四边形，两边各扩展一个大地四边形，同时在桥轴线的延长线布设四个大地四边形，各平面控制点保证有两个以上的通视方向。

平面控制网的所有点位均布设为高程控制网点。为满足对本高程控制网的稳定性要求，保障设计、施工放样的顺利进行，在上述基础上再布设6个钢管深井点。跨江高程传递是本项目中的重点，因此，专为跨江测距三角高程测量建造4个观测墩。由此，苏通大桥高程控制网共有28个高程点组成。

其中：一等水准观测共计49.73公里。其中南岸虞山基岩至测区深埋水准点为30.64公里；北岸狼山基岩点至测区深埋水准点为19.09公里。二等水准观测共计31.03公里。其中南岸施测两个环线合计13.49公里；北岸施测两个环线合计17.54公里。过江水准测量用三角测距高程测量进行。

本次平差计算中假定以一等水准观测从南岸虞山基岩测得深埋水准点28号高程已知。其它各27个点为待定点，各个观测值的权为各自观测点区的距离的倒数。

苏通长江公路大桥高程控制网图见附图（一）。

§3-2 赫尔默特方差分量估计计算

一 苏通长江公路大桥已知数据和观测数据

表（一）为已知水准点高程表，为保证整个高程控制网的整体性，此次平差计算只用了一个已知点，即苏通长江公路大桥南岸由虞山基准点经一等水准测量引测到的28号点为已知点。

表（一）已知数据表

点号 高程(m)

28 3.5897

表（二）为高差观测数据表，共有34个观测值，其中前面30个观测值为二等几何水准测量得到的观测值，最后4个观测值为跨江测距三角高程测量得到的观测值。

表（二）观测数据表

编号 始点 终点 高差观测值(m) 距离(km)

1 1 7 0.9747 3.100

2 7 8 10.2107 0.200

3 8 9 0.1029 0.100

4 9 10 -9.4818 0.700

5 10 3 -1.4943 0.700 6 3 2 1.5623 0.400

7 2 1 -1.8746 3.700

8 2 4 0.1740 1.200

9 4 5 -0.0939 1.300

10 5 6 -0.9632 0.400

11 6 13 3.3065 1.700

12 13 12 -0.3546 1.400

13 12 11 -1.7549 1.300

14 11 10 -0.3821 1.300

15 28 27 0.9160 0.800

16 27 26 -0.1499 0.100

17 26 17 1.5708 1.300

18 17 16 7.6226 0.200

19 16 15 -0.9183 0.100

20 15 14 -6.7645 0.900

21 14 28 -2.2767 2.300

22 26 25 -0.4344 0.600

23 25 24 0.4585 0.700

24 24 23 1.3428 0.500 25 23 22 -2.2504

0.300

26 22 21 1.5943 0.300

27 21 20 0.3709 2.400

28 20 19 0.5605 0.700

29 19 18 -0.1444 1.200

30 18 17 0.0731 1.200

31 8 16 0.6744 5.800

32 8 15 -0.2288 5.800

33 9 16 0.5712 5.800

34 9 15 -0.3398 5.700

3.3、 Helmert具体实施步骤

首先采用常规水准网平差的定权方法（iPcs）进行定权平差结果就是（表1第一行）然后采用helmert方差分量估计的方法将水准路线分为陆上、跨江两类进行处理。经过五次迭代平差。各类单位权方差201u和202u之比接近于1：1如表1所示

表1 各次迭代的比较结果

方差分量Helmert估计前后的精度分别为1.58mm和0.59mm，其对各点高程的影响见表二

表2 各点高程的影响列表（单位：mm）

点 号 1 2 3 4 5 6 7 8

原始高程值(m) 1.6840 3.56002 1.99767 3.73402 3.63913 2.67591 2.65868 5.8517

高程值(Helmert)(m) 1.6840 3.5586 1.9962 3.7326 3.6387 2.6755 2.6587 5.8517

点 号 9 10 11 12 13 14 15 16

原始高程值(m) 12.86938 12.97222 5.74701 3.4909 3.87296 5.62787 5.98244 5.87664

高程值(Helmert)(m) 12.8694 12.9723 5.7471 3.4905 3.8726 5.6275 5.9820 5.8664

点 号 17 18 19 20 21 22 23 24

原始高程值(m) 7.85616 12.6391 13.54389 8.52898 5.9259 5.85316 5.99814 5.43764

高程值(Helmert)(m) 7.8529 12.6309 13.5493 8.5344 5.9266 5.8535 5.9979 5.4374

点 号 25 26 27 28 29 30 31 32

原始高程值(m) 5.06559 3.47132 5.72174 4.37895 3.93172 4.36606 4.51597 5.59998

高程值(Helmert)(m) 5.0665 3.4723 5.7227 4.3799 3.9215 4.3558 4.5057 3.5897

迭代次数 系数矩阵AS TiiiVPV 20iu 201u:202u

第1次 5.17540.24680.24682.3310 4.3760

15.7376 0.5262

6.6957 0.079

第2次 5.00290.05130.05132.8944 0.2883

2.0003 0.0505

0.6902 0.073

第3次 5.00000.00420.00422.9917 0.2197

0.1554 0.0439

0.0519 0.846

第4次 5.0000.00350.00352.9929 0.2196

0.1323 0.0439

0.0441 0.995

第5次 9930.20035.00035.0000.5 0.2196

0.1309 0.0439

0.0437 1.005