计入套圈径向热位移的角接触球轴承动力特性分析　

王保民①②　梅雪松③　胡赤兵①②　邬再新①②　

（①兰州理工大学数字制造技术与应用省部共建教育部重点实验室，甘肃兰州７３００５０；　②兰州理工大学机电工程学院，甘肃兰Ｊ，ｉ、Ｉ　７３００５０；　

（　西安交通大学机械工程院，陕西西安７１００４９）　

摘要：鉴于高速条件下热位移对角接触球轴承性能有重要影响，推导了轴承套圈径向热位移计算公式，给　出了考虑套圈径向热位移影响的高速角接触球轴承动力特性计算方法和相应程序。对７０１２Ｃ轴承　

的计算结果表明，轴承套圈尤其是内圈径向热位移较大，由此引起内外圈沟道间的径向相对位移；　随着轴承内外圈热位移的增大，内接触角减小而外接触角增大，滚动体的离心力减小而陀螺力矩增　大，接触变形、接触应力、接触载荷以及轴承刚度明显增大。因此，为使角接触球轴承动力特性分析　会更加精确、更加符合实际。必须计入套圈径向热位移影响。　关键词：角接触球轴承套圈沟道径向热位移动力特性　

中图分类号：ＴＨ１３３．３３　文献标示码：Ａ　

Ｄｙｎａｍｉｃ　Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ａｎｇｕｌａｒ　Ｃｏｎｔａｃｔ　Ｂａｌｌ　Ｂｅａｒｉｎｇ　Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ　

ＲａｄｉａＩ　ＴｈｅｒｍａＩ　Ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｒｉｎｇ　Ｒａｃｅｗａｙｓ　ＷＡＮＧ　ＢａｏｍｉｎＯ￣，ＭＥＩ　Ｘｕｅｓｏｎｇ￣，ＨＵ　Ｃｈｉｂｉｎｇ∞，ＷＵ　Ｚａｉｘｉｎ①②　

（①Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，Ｔｈｅ　Ｍｉｎｉｓｔｒｙ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，　Ｌａｎｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ　７３００５０，ＣＨＮ；　

②Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ａｎｄ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｌａｎｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ　７３００５０，ＣＨＮ；　⑧Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉ’ａｎ　Ｊｉａｏ　ｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ　７　１　００４９，ＣＨＮ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｕｅ　ｔＯ　ｔｈｅ　ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｆ　ｒｉｎｇ　ｔｈｅｒｍａｌ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ｏｆ　ａｎｇｕｌａｒ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｂａｌｌ　

ｂｅａｒｉｎｇ，ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ　ｆｏｒｍｕｌａｓ　ｏｆ　ｒｉｎｇ　ｒａｄｉａｌ　ｔｈｅｒｍａｌ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ａｒｅ　ｉｎｆｅｒｒｅｄ，ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ　ｒｉｎｇ　ｒａｄｉａｌ　ｔｈｅｒｍａｌ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｐｒｏｇｒａｍ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｆｏｒ　ｃａｌｃｕ—　ｌａｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｐｉｎｄｌｅ　ｂｅａｒｉｎｇｓ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｆｒｏｍ　ｔａｋｉｎｇ　７０１２Ｃ　ｂｅａｒｉｎｇ　ａｓ　ａｎ　

ｅｘａｍｐｌｅ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ，ｔｈｅ　ｒａｄｉａｌ　ｔｈｅｒｍａｌ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｒｉｎｇｓ　ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ｏｆ　ｉｎｎｅｒ　ｒｉｎｇ　ｉｓ　ｌａｒｇｅ　ａｎｄ　ｒｅｓｕｌｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｖｅ　ｒａｄｉａｌ　ｔｈｅｒｍａｌ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｒｉｎｇ　ｒａｃｅｗａｙｓ；ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｉｎｃｒｅａｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｖｅ　ｒａｄｉａｌ　

ｔｈｅｒｍａｌ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｒｉｎｇ　ｒａｃｅｗａｙｓ，ｉｎｎｅｒ　ｃｏｎｔａｃｔ　ａｎｇｕｌａｒ　ｄｅｃｒｅａｓｅｓ　ａｎｄ　ｏｕｔｅｒ　ｃｏｎｔａｃｔ　ａｎｇｕｌａｒ　ｉｎｃｒｅａｓｅｓ，ｔｈｅ　ｃｅｎｔｒｉｆｕｇａｌ　ｆｏｒｃｅ　ｏｆ　ｒｏｌｌｉｎｇ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｄｅｃｒｅａｓｅｓ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｇｙｒｏｓｃｏｐｉｃ　ｍｏｍｅｎｔ　ｉｎｃｒｅａｓｅｓ，ｃｏｎｔａｃｔ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｃｏｎｔａｃｔ　ｓｔｒｅｓｓ，ｃｏｎｔａｃｔ　ｌｏａｄ　ａｎｄ　ｂｅａｒｉｎｇ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　ｉｎｃｒｅａｓｅｓ　ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｌｙ；Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｉｎ　ｏｒ—　ｄｅｒ　ｔｏ　ｍａｋｅ　ｔｈｅ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ａｎｇｕｌａｒ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｂａｌｌ　ｂｅａｒｉｎｇ　ｍｏｒｅ　ａｃｃｕｒａｔｅ　ａｎｄ　ｃｌｏｓｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｆａｃｔｕａｌ　

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｆ　ｒｉｎｇｓ　ｔｈｅｒｍａｌ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｓｈｏｕｌｄ　ｂｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ａｎｇｕｌａｒ　Ｃｏｎｔａｃｔ　Ｂａｌｌ　Ｂｅａｒｉｎｇ；Ｒｉｎｇ　Ｒａｃｅｗａｙ；Ｒａｄｉａｌ　Ｔｈｅｒｍａｌ　Ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ；Ｄｙｎａｍｉｃ　Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　

高速切削加工技术以其高效、高精度以及较小的　切削力和切削热的优势，得到越来越广泛的应用。高　速电主轴是实现高速切削加工的核心部件，其支承多　采用高速角接触球轴承¨　。支承轴承的动力特性直　接影响着电主轴轴承一转子的动态性能和使用寿命，　因此对高速角接触球轴承的动力特性进行分析具有重　

要意义　。　在高速条件下，角接触球轴承的动力特性受安装、　

￥国家重点基础研究发展计划（９７３计划）项目（２００９ＣＢ７２４４０５），甘肃省自然科学研究基金计划项目（０８０９ＲＪＺＡ０１３）　

錾　一・

　预紧、转速、温升、载荷形式以及结构参数等多种因素　的影响。文献［６—７］分析了转速、公称直径、滚动体直　径、沟道曲率半径、初始接触角等应用参数和结构参数　

等对高速角接触球轴承动力特性的影响；文献［８］分　

析了预紧对角接触球轴承动力特性的影响；文献［９］　针对实际工况，建立了一套球轴承模拟动力学分析软　

件，分析了航空发动机用球轴承的动力特性；文献　

［１０］分析了转速和滚动体材料对高速角接触球轴承　

动力特性的影响，讨论了混合陶瓷球轴承在高速条件　下的优越性；文献［１１］在考虑滚动体的离心力、陀螺　

力矩的基础上，建立了超高速角接触球轴承拟动力学　

模型，分析了超高速条件下电主轴轴承的动力特性；　文献［６，１１］分析了滚动体数目和预紧对球轴承动力　

特性的影响。然而，随着电主轴转速和功率的不断提　

高，温升引起的轴承内外圈沟道径向热位移已成为电　

主轴轴承动力特性分析中不容忽视的影响因素　。　本文以弹性力学理论、滚动轴承动力学和沟道控制理　

论为基础，计算了轴承内外圈沟道径向热位移以及由　

此引起的内外圈沟道间径向热位移，给出了计人套圈　

径向热位移影响的高速角接触球轴承动力特性的计算　方法及相应程序，分析了内外圈沟道径向热位移对球　

轴承动力特性的影响。为高速角接触球轴承动力学分　析提供了理论依据。　

下表为７０１２Ｃ型角接触球轴承的结构参数。　表１　７０１２（３角接触球轴承的结构参数　

结构参数　数值　

轴承内径ｄ／ｍｍ　６０　轴承外径Ｄ／ｍｍ　９５　滚动体直径Ｄ　／ｍｍ　９．５２５　轴承节圆直径ｄ　／ｍｍ　７７．５　内圈沟道曲率半径ｒｉ／ｍｍ　４．９５　内圈外直径ｄ　／ｍｍ　６７．５　外圈沟道曲率半径１＂ｅ／ｍｍ　４．９５　原始接触角　。　ｌ５　滚动体数目ｚ　１８　套圈：弹性模量／ＭＰａ　２．０６×ｉ０　泊松比　０．３　密度ｐ／ｇ・ｃｌｎ。　７．８　滚动体：弹性模量／ＭＰａ　３．２×１０　泊松比　０．２５　３．２　密度ｐ／ｇ・ｃｍ　

ｌ轴承内外圈径向热位移分析　

１．１　内外圈的径向热位移　

轴承内外圈的宽度与直径相比较小，在计算热位　移时可以把它们看成对称于圆心的薄圆环。根据弹性　

力学理论　，其平衡方程为　

・　６２　－　＋　：０　（１Ｕ　１）　—　一＋——＝　

几何方程为　

ｄｕ，　【　（２）　

＝　Ｊ　

其应力一应变方程为　

一　＋ｖ）ａＴ］１（３）　

ｏ＂０＝　，＿（１　洲Ｊｌ　ｓ　＋　ｒ一（　＋　Ｊ　Ｊ　

式中：　、　为径向、环向正应力分量；Ｏａ＇ｒ占　为径向、环　向应变分量；　、Ｅ为泊松比、弹性模量；ｕ为径向热位　

移；Ｔ为温升；ｏｒ为热膨胀系数１／％。　

热位移表示的平衡方程为　

＋÷垫ｄｒ一　２＿（１　塑ｄｒ　（４）　ｄｒ　‘ｒ　ｒ　～　

热位移表达式为　

一（１川　ｒ　＋ｃｌｒ＋等（５）　

热应力表达式为　

＝一ａＥ　ｆ　Ｔｒ　ｄｒ　

＋　１－ｖ［（１　ｃ　十　ｃ：＿（１＋　）叫（６）　

１．２主轴的径向热位移　主轴径向热位移计算不同于轴承内外圈径向热位　

移计算，主轴只能看成空心圆柱，其截面轴对称且轴向　均匀，属平面应变问题。将式（５）和（６）中的Ｅ、　和Ｏ／　分别用　（１一　）、　／（１一　）和（１＋　）Ｏｔ代替，即可得到　

主轴的径向热位移和热应力表达式为　

ｒ　“ｒ＋了Ｃ２　（７）　“　了Ｊ，　＂　扎１Ｈ了　Ｌ　

一一　～　

十　［　一ｒ２Ｃ２一　㈣　

１．３边界条件分析　１．３．１轴承内圈的边界条件　轴承内圈和主轴外表面的径向位移和应力满足以　

下边界条件　：　（１）内圈沟道表面和主轴内孑Ｌ表面应力为零；　（２）内圈和主轴在配合面的应力相等；　（３）内圈和主轴在配合面的压力Ｐ和热位移满足　

等　＃　ｕＩｕ平帚’删

　以下关系式　８＝ＫＰ　（９）　

＝鲁［　＋筹］　

８＝△＋２（Ｍ　一Ｍ　）ｌ　：　２　（１１）　式中：△为轴承内圈与主轴的过盈配合量；ｄｏ为主轴内　

径；ｄ、ｄ　为轴承内圈内外径；　、ｌｄ，ｒｉ为主轴、轴承内圈的　热位移。　１．３．２轴承外圈的边界条件　

轴承外圈径向热位移和热应力满足以下边界条　件　：　

（１）轴承外圈外表面的热位移为零；　（２）轴承外圈沟道表面的热应力为零。　１．４轴承内外圈温度分布函数　

１．４．１　轴承内圈和主轴的温度分布函数　内圈的散热条件差，很快就处于热平衡，可将内圈　视为等温体。轴承内圈厚度和安装轴颈直径相比很　小，可以把轴承内圈和轴颈看成内径为ｄ。、外径为ｄ　

的空心轴。根据其温度沿径向呈非线性分布特点，其　温度场方程可以近似表示为　。　

７ＴＩ　—　＝　＋　ｉ　１　ｓ　ｎ（２ｒ／ｄｏ）（　２）　

式中：　为主轴温度；Ｔｉ为轴承内圈温度；ｄ。为主轴内　孔直径；ｄ　为轴承内圈外径。　１．４．２轴承外圈和轴承座的温度分布函数　

外圈的散热条件相对较好，外圈内外表面之间存　在温差，可视为非均匀稳定温度场来分析¨　。同理，　

轴承外圈和轴承座的温度分布函数可以近似表示为　

＝　＋　ｎ（２ｒ／Ｄ。）　（１３）　

式中：　为轴承座温升；　为轴承外圈温升；Ｄ。为轴承　

座外径；Ｄ，为轴承外圈内径。　１．５算例分析　假定轴承及轴承座的温升如图１ｌ１７］所示，轴承的　

结构参数如表１所示，则轴承内外圈沟道的径向热位　

移如图２所示。　在图２中，Ｍ…“　和　分别为轴承内、外圈沟道径　向热位移和内外圈沟道间径向相对热位移。内圈沟道　径向热位移表现为内圈沟道的膨胀，而外圈沟道径向　热位移表现为外圈沟道的收缩，因此，内外圈沟道间径　

向相对热位移为内圈径向热位移量和外圈径向热位移　量之和。由图２可以看出，受套圈尤其是内圈沟道径　向热位移的影响，轴承内外圈沟道间径向热位移值较　

大，在热稳定状态下高达１５　Ｉｘｍ，对轴承动力特性的影　

ＬＵ慧ＩＵ　．ｊ》　耳崩　卅ｌ　响不容忽视。　

４０　

３Ｏ　０　束２０　赠　懦　暴　１Ｏ　

Ｏ　

ｇ　

星　捌　嫂　１６　

８　

４　

Ｏ　Ｄｅｓｉｇｎａｎｄ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ设计与研究　

０　５　１０　１５　２０　２５　３０　轴承运行时间／ｒａｉｎ　图１轴承各部分的温升随运行时间的变化　

０　５　１０　１５　２Ｏ　２５　３Ｏ　轴承运行时间／ｍｉｎ　图２轴承内外圈沟道径向热位移随运行时间的变化　

２计入内外圈沟道间径向热位移的高速角接　

触球轴承动力特性分析　

２．１基本方程　

２．１．１变形几何相容方程　根据外沟道控制理论，在轴承动力特性分析中，内　外圈沟道间径向相对热位移最终表现为内圈沟道的径　

向相对热位移。轴承内外圈沟道曲率中心和滚动体中　心之间的相对位置关系如图３所示。　

ｃｏｓ　｛　，　ｊ　ｌｕ・Ｉ　ｏ．Ｉ　／｝　

Ｘ　一Ａａｌ（２　Ｊ

图３滚动体中心和内外圈沟道曲率中心的相对位置示意图　

图３中　，为轴承内外圈沟道问的径向相对热位　

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