第三讲连续时间动态最优化问题一、预备知识动态最优化问题历来是数学家们关注的热点和难点问题。
从17世纪末的伯努利，到20世纪50年代的贝尔曼和庞特里亚金，中间经过拉格朗日、欧拉等一大批数学家的努力，才使动态最优化理论日臻完善。
20世纪初，在拉姆齐（1928）的工作之后，动态数学技巧才被广泛地引入到经济学中来，目前，这些技巧已是大多数现代经济学家不可或缺的工具。
上一节，我们探讨了离散时间的动态优化问题，介绍了古典的拉格朗日乘数法和比较现代的贝尔曼方程法。
本节我们将在连续时间的动态优化问题中，也介绍两种方法，他们是古典的变分法和比较现代的汉密尔顿最大值原理。
下面分别介绍这两种方法。
二、连续时间动态最优化问题的描述例1．索罗（Solow）新古典经济增长模型的一个明显缺陷是把储蓄率看成是外生给定的。
事实表明，储蓄率不是常数。
为了将储蓄率内生化，堪斯(Cass，1965)和库普曼斯(Koopmans，1965) 利用拉姆齐(Ramsey, 1928)倡导的最优化方法，将储蓄率看作是由家庭和企业在竞争市场上追求自身利益最大化的结果，以此证明储蓄率是由模型决定的内生变量。
假设经济包含两个部门，家庭和企业，家庭通过提供劳动服务从企业取得工资，通过提供资产获得利息。
家庭收入分成消费和储蓄两部分。
家庭在预算约束条件下按照消费效用最大化的原则进行消费和投资决策。
家庭生命是无限期的。
家庭大小与成年人口数量对应，成年人口按给定（外生）不变的速度增长，为方便其见，人口的变化规律由下式确定： nt e t L =)(这里，假设初期人口数量为1，然后按等比级数递增，n 为人口增长率。
C(t)表示 t 时刻的消费， c(t)=C(t)/L(t)表示人均消费。
消费者问题是： [][]na c ra w adte e t c u t c U Max t nt t c --+=⋅⋅=⎰∞- 0)()()(ρ(1)此处，u(c)是c 的增函数并满足边际效用递减规律，u(c)满足稻田条件：∞=→)(lim'0c u c , 0)(lim '=∞→c u c 即当c 趋于零时，边际效用趋于无穷大，当c 趋于无穷大时，边际效用趋于零。
U[c(t)]表示家庭的总效用; a(t)=A(t)/L(t)表示人均净资产; r(t)表示资产收益率; w(t)表示工资率;ρ>0表示时间偏好率, 其含义是，时间越久远，效用的贴现值越少，ρ也叫做主观贴现率。
通常假设ρ>n 以保证家庭总效用在消费给定时是有界的1。
最优化问题(1)的另一种表达形式可以将由第二方程求得的消费c 代入到第一个方程获得：[][][]dt t at a t F dt e e ana ra w u t c U Max t nt t c ⎰⎰∞∞-=⋅⋅--+=00)()(),(,))( ρ (2)这就是目标函数的泛函表示最优化问题转化为：[][][]dt t at a t F dt e e ana ra w u t a V Max t nt t a ⎰⎰∞∞-=⋅⋅--+=00)()(),(,))( ρ例2． 乔根森（利润最大化）模型在乔根森的新古典投资理论中，假设企业利用资本K 和劳动L 进行生产，其生产函数具有新古典生产函数),(L K Q Q =形式。
新古典生产函数遵循三个假设，即：（1）边际生产力大于零；（2）边际生产力递减；（3）规模报酬不变。
P 表示产品价格；M 表示资本品价格；W 表示劳动力的工资；δ表示资本折旧率。
则企业的投资与资本的关1注：()t tte eρρρ+≈⎪⎭⎫⎝⎛=-111, 因此，贴现因子可以写成e 以为底的指数形式，目的是为了便于计算。
系为K K I δ+'=在任意时刻企业的净收益为：)(),(K K M WL L K PQ δ+'--如果企业贴现率r, 未来净收益的贴现值可表示为：[][]d tt K t L t K t F dte K K M WL L K PQ L K N t ⎰⎰∞∞-=-'--=0'0)(),(),(,(),(),(ρδ (3)是目标泛函F 的广义积分。
[][]d tt K t L t K t F dte K K M WL L K PQ L K V t t L t K ⎰⎰∞∞-=-'--=0'0)(),()(),(),(,(),(),(max ρδ[]KK I dte MI WL L K PQ L K N t δρ+'=--=⎰∞-0),(),(该最优化问题还可以写成：)()()())(),(),(,(),(max 0,t K t I t K dtt I t L t K t F L K N LK δ-='=⎰∞(4)一般来说，泛函积分可以表示为两种方式：一种是将泛函积分表示，如（2）和（3）的表示的最优化问题，目标函数是路径及其导数的函数。
另一种表示，如（1）和（4）所示，目标函数是控制变量和状态变量的函数，目标函数受转移动态方程的约束。
三、变分法3．1 变分问题的一般形式前面所述的最优化问题可以用目标泛函来表示：[][]dt t y t y t F y V Ty⎰'=0)(),(,max (5)且满足初始条件： Z T y A y ==)(,)0(目标函数][y V 是路径)(t y 的函数。
我们的目的是选择一条路径使积分表达式（5）达到最大。
由于变分法是利用微积分的工具发展而来，泛函极值问题是函数极值问题的发展和推广，所以，我们要求被积函数具有一阶、二阶导数。
我们知道，使函数达到最大值的点是极值点，所以，使泛函达到极值的曲线或者路径为极值曲线或极值路径。
3．2 预备知识对含参变量x 积分：⎰=ba dt x t F x I ),()(I⎰='=b a x dt x t F x I dxdI),()(' 如果a, b 也看作是参变量，则⎰=ba dt x t Fb a I ),(),(),(x b F b I=∂∂ ),(x a F aI-=∂∂ 分步积分公式：⎰⎰-=udv vu vdu复合函数求导法： 对于[])(),(),(t z t y t x F ，有dtdzz F dt dy y F t x x F dt dF ∂∂+∂∂+∂∂∂∂= 由于函数[])(),(,t y t y t F '是),,(y y t '的函数，而y y ',都是t 的函数，所以，F 和F '都是t 的复合函数。
因此，我们有dty d y F dt dy y F t F dt dF y y y y ''∂∂+∂∂+∂∂=''''3．3．欧拉方程的推导第一步，将求极值曲线的问题变换为求极值点的问题。
假设)(*t y 是已知的极值曲线，我们的目的是找到这条曲线所满足的必要条件。
任意选取连接（0，A ）和（0，Z ）点的扰动曲线)(t p , 则可以构造极值曲线的邻近路径： )()()(*t p t y t y ⋅+=ε)()()('*t p t y t y '⋅+='ε其中，ε是一个任意小的数，当它趋于0时，)()(*t y t y → 对于给定的)(*t y 和)(t p ，每一个ε对应于一条邻近路径y ，从而确定泛函的特定值。
于是，泛函就成了ε的函数)(εV V =，其表达式为：[]d t t p t y t p t y t F V T⎰⋅+⋅+=0'*'*)()(),()(,)(εεε由于极值曲线)(*t y 对应点ε＝0， 所以，函数)(εV V =在ε＝0点达到最大值，根据一元函数极值的必要条件，必有：0)()(000=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂'∂'∂∂+∂∂∂∂=∂∂=⎰⎰⎰dt t p y Ft p y F dt y y F y y F dt F d dV TT T εεεε或者0)()(00=''∂∂+∂∂⎰⎰dt t p yF dt t p y FT T第二步：进行分步积分根据分步积分法，上式的第二个积分可以简化为：dt y Fdt d t p dty F dt d t p t p y F t dp y F dt t p y F TT TTT'∂∂-='∂∂-'∂∂='∂∂=''∂∂⎰⎰⎰⎰0000)()()()()(代入（）式，可得：0)(0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂-∂∂⎰dt t p y F dt d y F T第三步：求欧拉方程上式包含附加任意函数p(t)，泛函积分达到最优的条件应该不依赖于附加函数p(t)，事实上，我们可以证明0='∂∂-∂∂y F dt d y F .为证明上述结论，我们证明下面的引理： 如果给定函数)(t f 和任意函数)(t g 满足：0)(0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂-∂∂⎰dt t p y F dt d y F T0)()(0⎰=Tdt t g t f , 则必有0)(＝t f .证明（反证法）：如果0)(≠t f ，不失一般性，我们假设存在一点0t 使0)(0>t f ，由于)(t f 是连续函数，所以必然存在一个充分小的数δ使)(t f 在区间),(00δδ+-t t 上，满足0)(>t f 。
下面我们构造函数:＝)(t g 1，当),(00δδ+-∈t t t＝)(t g 0，当),(00δδ+-∉t t t⎰⎰⎰⎰⎰+-+-+->=++=δδδδδδ0000000)(0)(0)()(0t t t t Tt t Tdt t f dt dt t f dt dt t g t f ，这与原假设矛盾，所以，0)(=t f 成立。
由于y Fdt d y F '∂∂-∂∂就相当于)(t f ，所以，0=???+?y F dt d y F 。
这就是泛函积分最优的一阶条件，也称欧拉方程。
第四步，欧拉方程的另一种表达方式 由于)()(''t y F t y F F dt y d y F dt dy y F t F dt dF y F dt d y y y y y t y y y y ''+'+'∂∂+∂∂+∂∂=='∂∂'''''''＝所以，0='∂∂+∂∂yF dt d y F 被改写成0)()(=-''+'+''''y y y y y y t F t y F t y F F例1， 假设消费者的即时效用函数)1(1)()1(θθ--=-c c u 2。