２０１０年第３４卷 第５期 中国石油大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ Ｖｏ１．３４ Ｎｏ．５ ０ｃｔ．２０ｌ０
文章编号：１６７３．５００５（２０１０）０５－０１８８－０５
集合卡尔曼滤波方法在非线性油藏问题中的应用
王玉斗 ，ＬＩ Ｇａｏ．ｍｉｎｇ ，李茂辉
（１．中国石油大学物理科学与技术学院，山东东营２５７０６１；２．Ｔｈｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＴｕｌｓａ，Ｔｕｌｓａ ＵＳＡ ７４１０４）
摘要：改进标准集合卡尔曼滤波方法，时非线性油藏的历史拟合及反演问题进行研究。油藏生产历史数据历史拟合 过程中只对油藏模型参数进行更新，然后利用更新的模型参数从初始状态重新运行油藏数值模拟软件进行下一拟 合时刻的生产预测，从而解决由于非线性引起的更新模型与更新动态场间的不一致性。利用改进方法对一个假定 油藏的初始油水界面位置、渗透率场以及孔隙度场等参数进行估计，并与标准集合卡尔曼滤波方法的结果进行比 较。结果表明．改进的集合卡尔曼滤波方法能得到很好的估计和预测结果。 关键词：油藏数值模拟；集合卡尔曼滤波；自动历史拟合；油水界面；参数估计；非线性油藏 中图分类号：ＴＥ ３４８ 文献标志码：Ａ ｄｏｔ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－５００５．２０１０．０５．０３５
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｎｓｅｍｂｌｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ ｉｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｒｅｓｅｒｖｏｉｒ ｐｒｏｂｌｅｍ
ＷＡＮＧ Ｙｕ—ｄｏｕ ，ＬＩ Ｇａｏ—ｍｉｎｇ ，ＬＩ Ｍａｏ—ｈｕｉ
（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏＪ‘Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｈｙ ｉｎ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＰｅｔｒｏｌｅｕｍ。Ｄｏｎｇ３ｉｎｇ ２５７０６１，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｔｈｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｕｌｓａ，Ｔｕｌｓａ ７４１０４，ＵＳＡ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｓｔａｎｄａｒｄ ｅｎｓｅｍｂｌｅ Ｋａｈｎａｎ ｆｉｌｔｅｒ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｏ ｈｉｓｔｏｒｙ ｍａｔｃｈｉｎｇ ａｎｄ ｉｎｖｅｒｓｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｒｅｓｅｒｖｏｉｒ ｐｒｏｂ— ｌｅｍ．Ｒｅｓｅｒｖｏｉｒ ｍｏｄｅｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｃａｎ ｂｅ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｂｙ ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｈｉｓｔｏｒｙ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｗｉｔｈ ｅｎｓｅｍｂｌｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ．Ｏｎｌｙ ｒｅｓｅｒｖｏｉｒ ｍｏｄｅｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｕｐｄａｔｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｕｐｄａｔｅｄ ｍｏｄｅｌｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｒｅｒｕｎ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｏｒ ｆｒｏｍ ｔｉｍｅ ｚｅｒｏ ｔｏ ｄｏ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｕｐｄａｔｅｄ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃａｌｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｕｐｄａｔｅｄ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｂｙ ｄｏｉｎｇ ｔｈｉｓ．Ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｄｅｐｔｈ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｏｉｌ・ｗａｔｅｒ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｇｒｉｄｂｌｏｃｋ ｒｏｃｋ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｆｉｅｌｄｓ ｂｙ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｄａｔａ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｏｓｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｓｔａｎｄａｒｄ ｅｎｓｅｍｂｌｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ．Ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａ－ ｔｉｏｎ ａｎｄ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｎｅｗ ｅｎｓｅｍｂｌｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｏｉｌ ｒｅｓｅｒｖｏｉｒ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；ｅｎｓｅｍｂｌｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ；ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｈｉｓｔｏｒｙ ｍａｔｃｈｉｎｇ；ｉｎｉｔｉａｌ ｏｉｌ—ｗａｔｅｒ ｉｎｔｅｒ－ ｆａｃｅ；ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｒｅｓｅｒｖｏｉｒ
集合卡尔曼滤波方法（ＥｎＫＦ）是新近兴起的一 种数据拟合技术，１９９４年第一次被Ｅｖｅｎｓｅｎｌｌ 在海
洋动力学中提出。２００３年该理论被Ｎａｅｖｄａｌ 引入 石油工程领域后，已成功应用于油藏生产历史拟合
和油藏反演等方面 。国内在历史拟合及生产优 化方面仍然沿用传统方法进行，对集合卡尔曼滤波 方法的研究很少 。集合卡尔曼滤波是一种按时 间顺序推进的数据拟合方法，随着测量数据的不断 获得，油藏模型不断得到修正，对集合中所有的油藏
模型只运行一次数值模拟软件，相对于其他自动历 史拟合方法，计算量大大降低。保证标准集合卡尔 曼滤波拟合结果正确的前提是更新的油藏动态场
（压力、饱和度、溶解油气比等）和更新的静态场是
一致的，即如果将更新的静态场作为油藏模型输入
油藏数值模拟软件，得到的当前动态场应该与更新 的动态场一致。Ｔｈｕｌｉｎ【１¨已经证明在线性模型中该
假设是正确的，其对油藏流体界面位置估计的结果 也证明了对于非线性问题该一致性是不存在的。为 了解决这个问题，ｕ等¨ 提出一些迭代集合卡尔曼 滤波方法，但这些方法都是基于梯度的算法，需要利
收稿日期：２０１０—０２—０５ 基金项目：中国石油大学（华东）自主创新科研计划项目（０９ＣＸ０４０１９Ａ） 作者简介：王玉斗（１９７３一），男（汉族），河南范县人，副教授，博士，主要从事自动历史拟合、油藏描述、油藏数值模拟等方面的研究。
第３４卷第５期 王玉斗，等：集合卡尔曼滤波方法在非线性油藏问题中的应用 ‘１８９・
用伴随矩阵计算敏感系数矩阵。ＧＵ等¨副也提出一
种迭代集合卡尔曼滤波方法，该迭代方法计算量降
低，但由于每次迭代后，所有的油藏模型仍需要从初
始时间运行油藏数值模拟软件，计算量仍然很大，并 且由于平均敏感系数矩阵的使用，在后续的迭代中
不能保证搜索沿目标函数减小的方向进行，多次迭
代效果并不好。为此，笔者提出一种改进的集合卡 尔曼滤波方法。
１集合卡尔曼滤波方法
定义状态向量
『－肌］ Ｙ ＝ｌｐ“Ｉ． （１） 【ｄｎｊ
式中，ｍ表示油藏静态模型参数向量，包括流体界
面位置、离散化的油藏孔隙度场、渗透率场等；ｐ 表
示时间ｔ 的油藏动态参数（如压力、饱和度、溶解油
气比等）向量； 表示油藏初始动态场； 为ｔ 时 刻油田生产预测数据向量，由油藏数值模拟软件输
出。如果油藏静态模型ｍ为Ｎｍ×１的列向量，ｔ 时
刻油藏动态场ｐ”为ⅣＤ×ｌ的列向量，ｄ 为Ｎｄｘ１的
列向量，则向量ｊ， 的维数可以表示为（ ＋ ＋ ） ×１。定义矩阵日＝［０ Ｉ ］（其中，Ｄ为Ｎｄ×（Ⅳ ＋
）的零矩阵； 为 ｘＮｄ的单位阵），则油田预测
数据和状态向量具有线性关系
ｄ ＝Ｈｙ ． 实际上ｔ 时刻的生产预测数据满足方程
ｄ ： （ｍ，ｐ“）＋￡ ． 式中，ｇ，Ｉ为油藏数值模型，表示ｔ 时刻生产预测数
据与油藏模型的关系，即ｔ 时刻产量只与油藏地质
模型和该时刻的动态场有关；占 表示模型误差，文
中对此予以忽略。ｔ 时刻的生产测量数据可看作随 机向量，由下式表示：
：ｂｓ＝ “＋ｓ：＝ｇ“（Ｊ，ｌ，ｐ ）＋ｓ：．
式中，ｓ：为测量误差。假设不同时间的测量误差没 有相关性，且测量误差属于高斯分布，其平均值为
零，协方差矩阵为 。
集合Ｋａｌｍａｎ滤波的目的是得到一系列可以拟 合油田生产历史数据的油藏模型，通过对目标函数
求解极小值就得到一系列可以拟合油田生产数据的 模型样本。目标函数为
Ｄ（ ）：寺（ ’ ） ｃ －１ ｎ ｎ’ ）＋ １ ｎ—ｄ： Ｊ） ｃ （ －ｄ ＂）， ＝１，…， ． （２）
其中
，ｆ＝ｄｏａｂ ＋ ＤＺＤ，ＣＤ ＝ＬＤＬ＇ｏ． 式中， ｙ表示在第１７，个拟合时间步的第 个预测状
态向量，由ｔ 时刻的更新状态向量运行油藏模拟 器至ｔ 时刻得到；ｚ 为 ×ｌ维的正态分布的无相
关的随机数，其平均值为０，标准偏差为１ ｏ，对式
（２）求极值，得 ｎ ＝ ＋ｃｙｎ日 （ＣＤ．＋ＨＣｙ．ＨＴ）‘。（ ：ｃ－１ｔ２；．），＿『＝１，
…， ． 实际上，历史拟合过程中只对静态场、动态场进行更
新，利用矩阵日＝［Ｄ， ］，上式可分解为
＝ ＋ｃ （ｃｏ ＋ｃ。 （ ｊ－ ），
＝ ＋ｃ （ｃ ＋ｃ。 ） （ ｄ－ ）． Ｃ表示协方差矩阵，各相应的协方差矩阵要基于集
合计算。应用集合卡尔曼滤波分析方程对生产数据
进行拟合，就可以得到更新的状态向量，即更新的油 藏模型（包括渗透率场、孔隙度场、初始流体界面位
置、相对渗透率曲线等）以及更新的油藏动态参数 场（包括压力场、饱和度场、溶解气油比场等），然后
利用这些更新的参数场运行油藏数值模拟软件到下
一个需要拟合数据的时间步，进行下一次的数据拟 合。集合卡尔曼滤波是一种按时间循序推进的数据
拟合方法，集合中每一个模型只需要运行一次数值 模拟软件，相对于基于梯度的历史拟合方法，极大地
节省了计算量和计算要求。
２集合卡尔曼滤波的改进
集合卡尔曼滤波作为一种循序推进的数据拟合
方法，其前提是在每一个数据拟合时问步的更新模 型和更新动态场是一致的，但非线性条件下该前提 不能保证。初始流体界面位置极大地影响着含水率
和生产油气比，油田生产数据与初始流体界面位置
具有很强的非线性关系。标准集合卡尔曼滤波方法 中更新动态场与更新初始界面位置不具有一致性，
这会导致错误的结果＿ｌ 。为了解决非线性油藏问
题，对标准集合卡尔曼滤波进行了改进。在数据分 析中，状态向量只包括油藏模型参数，则集合卡尔曼
滤波分析方程就变为 ’”＝ ＋ （ｃＤｎ＋ｃ ） （ √一 ）， ＝１，
…， ． 式中，预测数据 是利用油藏模型，，ｌｙ从初始状
态运行油藏数值模拟软件到时间ｔ
得到。这样所 ・１９０・ 中国石油大学学报（自然科学版）
有更新参数对生产数据的影响可以准确地反映出
来，从而正确地调整油藏模型。然后，利用所有的更 新模型从时间零重新运行数值模拟软件到下一个数
据拟合时间 得到ｄ ，进行下一次数据拟合。 相对于其他迭代集合卡尔曼滤波，该方法计算量要
小得多，只需要在每一个数据拟合时间点对所有的 油藏模型从时问零开始运行一次油藏数值模拟软件 即可。
３‘算例
因为生产数据与油水界面位置之间具有很强的 非线性关系，故通过对一个假定油藏的初始油水界
面位置估计来检验改进集合卡尔曼滤波的效果。该 油藏为三维三相油藏，取Ｐｕｎｑ．Ｓ３油藏 的下面三
层，网格数为１９ｘ２８ ｘ３。油藏有较强的边水和很小
的气顶。真实的油气界面位置为２．３５５ ｋｍ，油水界 面位置为２．３９５ ｋｍ。共６口生产井以１００ ｍ ／ｄ的 速度生产了３ ９６０ ｄ。生产测量数据包括井底流压、
含水率和生产气油比，拟合完成后生产预测至６０００ ｄ。此处认为初始油水界面位置是不确定的，其先验
平均值为２．４０２ ｋｍ，即比真实位置深７ ｍ。先验模
型符合高斯分布，其标准偏差为７ ｍ，先验模型为 １００个。利用标准集合卡尔曼滤波及其改进算法对
一．／…～－一 、 —－一．、—．，＿， 一 ．． 。。／一．，．－一‘ ／’ 一 ／——实际深度 ，／ ＋平均深度 一。 …±３倍标准 ｏ １ ｏｏｏ ２ ｏｏｏ ３ｏｏｏ ４ ｏｏｏ 拟合时间ｔ／ｄ 油水界面位置深度、水平方向渗透率场、竖直方向渗 透率场以及孔隙度场同时进行估计。
３．１初始油水界面位置估计 。 图１．表示了利用标准及改进的集合卡尔曼滤波 方法对油水界面位置的估计结果。因为油水界面位
置对油井含水率具有决定性的影响，所以对含水率 的拟合会极大地影响油水界面位置的估计０对该油
藏而言，１ ５００ ｄ之前所有的井都没有水突破，油水
界面的估计主要受井底流压和生产气油比的影响， 相对于先验模型变化不大。拟合含水率数据后，油 水界面位置的估计值出现较大变化。但是，标准集
合卡尔曼滤波最终的估计结果却高于实际值，这是 因为对非线性油藏问题，校正的动态变量与模型参
数未能保持一致，虽然油水界面位置已经高于实际
值，但基于更新模型与动态场的预测含水率仍然低 于测量值，导致了油水界面位置的进一步高估。利 用改进的集合卡尔曼滤波，由于每次更新油藏模型
后，都从初始时刻重新运行油藏数值模拟软件进行 生产预测，保证了校正的模型参数与动态场的一致
性，更新模型的影响被充分反映出来，可以正确调整 油藏模型，估计得到的油水界面位置非常接近真实
值，并且最终估计模型的不确定度也远远小于标准 集合卡尔曼滤波方法得到的结果。
——买际舔发 一平均深度 、‘一．～．一．＝：一土３倍标准偏差 ． …・一，一 ＾▲Ｊ ＿●＿ ■ 一— － ， ’ ，
拟合时间ｔ／ｄ （ａ）标准集合卡尔曼滤波 （ｂ）改进的集合卡尔曼滤波
图１初始油水界面深度估计结果 Ｆｉｇ．１ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｅｐｔｈ ｏｆ ｉｎｉｔｉａｌ ｏｉｌ－ｗａｔｅｒ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ
３．２历史数据拟合及生产预测 图２和图３分别表示了利用最终估计模型从初 始时刻运行油藏数值模拟软件得到的Ｐ－４和Ｐ一１１
井的含水率拟合及预测曲线。由于先验模型的渗透
率场、孔隙度场和油水界面位置都具有较大的不确
定性，无论Ｐ－４井还是Ｐ．１ １井其含水率预测都不能 拟合测量数据，预测不确定性也很大。经过标准集 合卡尔曼滤波拟合后，Ｐ－４井含水率预测的不确定
性大大降低，但拟合效果较差，生产预测也较差，这 是由于油水界面位置被高估造成大多数模型的水突 破时间提前（图２（ａ））；Ｐ一１１井射孔位置较低，这种 现象更明显。多数后验模型一开始生产就见水，拟
合及预测结果偏离了实际曲线（图３（ａ））。利用改 进的集合卡尔曼滤波，由于克服了更新模型与更新 动态场的不一致性，得到了较好的模型估计结果，其
拟合及预测结果都得到了改进，这可以从图２（ｂ）和
图３（ｂ）所示的Ｐ－４井和Ｐ一１１井含水率拟合结果看 出来，并且相对于标准集合卡尔曼方法得到的结果
其预测不确定性大大降低，增加了预测的可信程度。