专训1 实数大小比较的八种技巧
名师点金：
实数的大小比较，可以根据实数的特征灵活地选择恰当的方法，除了常规的方法
外，还有几种特殊的方法：开方法、平方法(立方法)、取近似值法、放缩法、作
差法、作商法等．
比较绝对值法
1．比较－－2与－－2的大小．
开方法
2．比较7与的大小．
平方法或立方法
3．比较－和－π的大小．
4．(1)比较2，3，的大小；
(2)比较与2.3的大小．
取近似值法
5．比较＋2与4.3的大小．
放缩法
6．比较＋2与－2的大小．
作差法
7．比较和的大小．
作商法
8．比较和的大小．
特殊值法
2
，按从小到大的顺序排列为． x，，x，将9．已知－1＜x＜0
专训2 全章热门考点整合应用
名师点金：
本章知识多考查实数的有关概念及实数的性质和运算，是初中数学的基础知识，
常见的热门考点有平方根和立方根的概念、求法及应用，算术平方根的性质与应
用，实数的分类、比较大小和运算等．其热门考点可概括为：三个概念，三个性
质，一个关系，一种运算，一个技巧，两种思
想．
三个概念
概念1 算术平方根与平方根
1．分别求出下列各数的平方根和算术平方根：
(1)0.022 5；(2)；(3)196.
立方根 2概念．
2．(1)(中考·茂名)－8的立方根是；
(2)－0.027的立方根是；
(3)1是的立方根；
(4)6是的立方根．
概念3 实 数
3．在，，，－，3.14，0，－1，，－1|中，整数有；有理数有；无理数
有．
一个关系——实数与数轴的对应关系
4．实数m在数轴上对应的点的位置在表示－3和－4的两点之间且靠近表示－4
的点，这个实数可能是( )
A．－3 B．－2 C．－ D．－
三个性质
性质1 平方根的性质
2
＋＋1|＝0，那么a－＋5)b－c的值为． (b5．已知＋6．已知一个正数的两个平
方根分别是x＋3和x－1，求这个正数的立方根．
性质2 立方根的性质
7．若与互为相反数，求的值．
性质3 实数的性质
8．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算－π|＋－的结果为( )
A．π＋ B．π－
－π D．π－2
(第8题)
(第9题)
＝，则化简－－－的结果为b＝－，a在数轴上的位置如图，且b，a．实数9)
(
2
．－A2 B．D ．C ．－2 0
实数的运算——一种运算
3
÷|－2|×(－7．计算：－102＋5)．
一个技巧——比较实数大小的技巧
11．比较－与－的大小．
12．比较5和8的大小．
两种思想
思想1 数形结合思想
13．(中考·资，则33，－，1，2，分别表示数－，)如图，已知数轴上的点AB，
C，D，E2阳)
－的点P应落在线段( 表示数4
)
(第13题 D．上．上B．上 C ．上A
分类讨论思想 思想2 ，，的大小．14．比较a
答案
＝＋2，2||解：1．因为－－ ，2＝＋2|－－|
而 ＜，所以＋2＜＋2，
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，
可知－－2＞－－2.
点拨：比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小．
2．解：7＝＝＝.
因为56＞56, 所以＞，即7＞.
点拨：当要判断大小的两个数中只有一个数带根号时，可以给另一个数添加根号，
然 后比较根号下两个数的大小．2, 2. ，所以－＜－10＞ππ所以＞()3．解：因
为π＝10，而 点拨：把两个数都平方，然后比较大小．333 ，8＜20＜，3()＝27，
27＝20，而4．解：(1)因为2＝83.
＜＜ 所以2332.3. ，所以＜，而10()＜＝10，2.312.167＝12.167(2)因为：点拨比
较含立方根的几个正数的大小，一般先将各数同时立方，然后依立方后各数 的
大小来判断原来几个数的大小． 2.236, 5．解：因为≈ 4.236. 所以＋2≈4.3.
又因为4.236＜4.3，所以＋2＜ 点拨：先求出无理数的近似值，再比较两个数的
大小． 因为2＜＜8, ＜＜3, 76．解：2. 22，所以＋＜－3所以＋2＜＋2＝5＜－
比较两个无理数的大小可以采用放缩法．点拨： . ，所以＜，所以＜．解：
因为－＝，而－4＝－＜00，即－＜07 0点拨：先作差，然后与比较大小，最后
确定这两个数的大小． 8．解：因为÷＝×＝，而＜，
.
，所以＜1所以＜ 先作商，然后与点拨：1比较大小，最后确定这两个数的大小．
2
法拨 点：本题可以用特殊值xx9＜＜＜
22
.
x x，＝－，则＝－求解，例如取x8x＝，＝－，因此＜＜＜
2
＝0.022
5(±0.15)，所以0.022
1．解：(1)因为5的平方根是±0.15，即±＝±0.15；
0．022 5的算术平方根是0.15，即＝0.15.
(2)因为＝，所以的平方根是±，
即±＝±；的算术平方根是，即＝.
2
＝196，所以196的平方根是(±14)±14， (3)因为即±＝±14；196的算术平方
根是14，即＝14.
点拨：注意一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数．一个正数的算术平方
根一 定是正数．(4)216
(3)1 －2 (2)－0.3 2．(1) ，，－1|；，，－13.143．0，－1|；，－，，0：拨点型的无
理数；是开方开不尽的数，所以是无理数；π是分数，所以是有理数；是是整数，
3.14－＝－，是分数，所以是有理数；是有限小数，所以是有理数；0是无理数
与有理数的差的形式，所以是无理数；是开方开不尽也是有理数；－1 1|＝1，所
以是整数，也是有理数．的数，所以是无理数；－1|＝|2－ 4．D8
5． 1，x因为一个正数的两个平方根分别是x＋3和－6．解：1. ＝－x－1＝0，
解得3所以x＋＋x24. 所以这个正数是(x＋3)＝. 所以这个正数的立方根是 因为
与互为相反数，7．解： 1－2b互为相反数，所以3a－1与2b. 3a＝2b－1＝－1，
所以3a所以. ，所以＝b又因为≠0 8．B910. ＝(－28÷2×－2)原式＝．10解：：
11．解＝，而＞，所以根据“两个负数，绝对值大的数反而小”，可|－|＝，|－|
因为
知－＜－.
22
＝64，所以5＞＝75，8解：12．因为(5)8.
点拨：当两个实数比较大小时，若有无理数，除了用平方法，也可以先把根号外
的数 移到根号内，再比较被开方数的大小． C13．. a＞＞a时，＝＝a；当＞1
时，1aa解：14．当0＜＜1时，＞＞；当a＝：点拨＞0，综合得a≥≠，，的大
小，必须知道要比较aa的取值范围，由知a0，由知a三＞；③＝；②＜＜的取
值范围分为①，此时仍无法比较，因此可将0a0a1a1a1 种情况进行讨论．