1 p m q cn( x) 2
q ( ) z K (m)
偏振态的演化可以轨迹形式在椭圆率—方位角平面内表示出来


邦加球表示法
邦加球提供了一种直观表示偏振态的方法。在这种方法中，以线性偏 振分量表示更为方便，由此得到的方程为
2 dAx i 2i 2 2 i * 2 ( ) Ax A A A Ax Ay y x x dz 2 3 3 3

耦合模方程
假定非线性效应对光纤模式无显著影响，把电场写成
E j (r, t ) F ( x, y) Aj ( z, t )exp(i0 j z)
空间分布 慢变振幅 传播常数
慢变振幅满足下面的耦合模方程：
2 Ax Ax i2 2 Ax i * 2 2 2 1x A i A A A Ax Ay exp(2i z ) x y x x 2 z t 2 t 2 3 3
定义
A ( Ax iAy )
2
A ( Ax iAy )
2
Ax Ax exp(iz / 2)
耦合模方程简化为
Ay Ay exp(iz / 2)
A A i 2 2 A i 2i 2 2 1 A ( ) A A 2 A A 2 z t 2 t 2 2 3
Pi 3 0 4
(
j
(3) xxyy
(3) * (3) * Ei E j E * E E E E E E j xyxy j i j xyyx j j i )
由各向同性介质的旋转对称性，可以得到
(3) (3) (3) (3) xxxx xxyy xyxy xyyx
椭圆双折射光纤中的慢变振幅满足耦合模方程：
Ax Ax i 2 2 Ax A 2 B A 2 A CA* A2e 2i z 1x A i x y x x y x z t 2 t 2 2 2 2 2 i z i D A* A e A 2 A Ay e i z y x y x 2 Ay Ay i2 Ay 2 2 2 2i z 1 y A i A B A A y CA* y y x y Ax e 2 z t 2 t 2
dAy
2 2 i 2i 2 i * 2 ( ) Ay A A A Ay Ax x y y dz 2 3 3 3
引入四个称为斯托克斯参量的实变量，并分别定义为
S0 Ax Ay
2
2
S1 Ax Ay
2
2
* S2 2 Re( Ax Ay )
* S0 2 Im( Ax Ay )
Ay z
1 y
Ay
2 2 i2 Ay 2 i * 2 2 A i A A A Ay Ax exp(2i z ) y x y y 2 t 2 t 2 3 3
其中 0 x 0 y (2 / ) Bm 2 / LB
第六章 偏振效应
1. 非线性双折射 2. 非线性相移 3. 偏振态的演化 4. 矢量调制不稳定性 5. 双折射和孤子 6. 随机双折射
1.非线性双折射
保偏光纤在整个长度上其双折射几乎是常数，这种双折射称为线性双
折射。当光纤中的非线性效应变得重要时，足够强的光场能引起非线
性双折射，其大小与光场强度有关。
2.非线性相移

无色散交叉相位调制
在连续波辐射情形下(或脉宽~100ps) ,忽略以上耦合NLS方程中的 时间导数项，可得
2 dAx 2 Ax i Ax B Ay Ax dz 2 dAy 2 2 Ay i Ay B Ax Ay dz 2



这两个方程描述了双折射光纤中的无色散交叉相位调制（XPM）效应
WL ( ,0,0)
W = WL WNL
WNL (0,0, 2 S3 3)
矢量方程包含了线性和非线性双折射，它描述了在一般条件下，连续 波光场在光纤中的偏振态的演化。


偏振不稳定性：
偏振不稳定性的表现：当输入连续光的功率或偏振态有很小改变时， 输出偏振态就有很大的变化。偏振不稳定性表明，保偏光纤的慢轴和 快轴并不完全等价。


A A i 2 2 A i 2i 2 1 A ( ) A A 2 A 2 z t 2 t 2 2 3
推导过程中假定对于低双折射光纤，有

2
A

1x 1y 1
注意！当用圆偏振分量描述波传输时，XPM的相对强度从2/3变到2。
记 Pj 0 NL j E j ，并利用
线性折射率
j
L j
NL j
(n n j )
L j
2
SPM
XPM
非线性折射率
2 2 2 nx n2 Ex E y 3
2 2 2 ny n2 E y Ex 3

如果假定上式右边的三个分量完全相等，则有
Px
2 3 0 (3) 2 2 1 * xxxx Ex Ey Ex ( Ex Ey )Ey 4 3 3
2 3 0 (3) 2 1 2 Py xxxx Ey Ex Ey ( E* E ) E y x x 4 3 3
脉冲整形：当脉冲通过光纤和检偏器时其透射率与强度有关，即使没 有泵浦脉冲，也可以通过非线性双折射来调整脉冲自身形状。结果，这 样的器件能阻挡脉冲低强度的尾部，而使其中央较强的部分通过，这种 非线性偏振旋转现象可以用来消除一些压缩脉冲的低强度基座，还可用 作光纤光学逻辑门，以及光纤激光器的被动锁模。
d p p cos 2( p p ) dZ p p
p p p 和 p p cos p p
为常量
以上方程存在可用椭圆函数表示的解析解，其中 雅克比椭圆函数
p
的解为
p ( z )
x 1 m 1 Re( q) q q 1 p exp(i 0 ) 2
1 2
A A
在非线性效应比较重要时，利用
3 A 2
12
p exp(i )
归一化功率
归一化功率和相位差满足下面的方程：
dp 2 p p sin dZ
dp 2 p p sin dZ
Z ( ) z 2


* 2 i z i D Ax Ay e Ax 2 A y 2




2


Ax ei z
式中
2 2sin 2 B 2 cos 2
cos 2 C 2 cos 2
sin cos D 2 cos 2
对于高双折射光纤，上述方程中最后三项指数因子剧烈振荡，平均起 来对脉冲演化过程的影响较小。若将这三项忽略不计，光脉冲在椭圆 双折射光纤中的传输可以用下面一组耦合模方程描述
y (Py BPx )Leff
Leff [1 exp( L)]
两个偏振分量都产生了非线性相移，其大小是SPM和XPM的贡献之和。实 际上，真正感兴趣的量是下式给出的相对相位差
NL x y Leff (1 B)(Px Py )
若功率为
P0 的连续线偏光与光纤慢轴成 角入射，则相对相移为 NL ( P 0 Leff 3)cos(2 )

3.偏振态的演化

解析解
在准连续波情形下，包含时间导数的项可以设为零，若同时忽略光纤 光纤损耗，可得
低功率条件下，非线性可以忽略，方程的解为
dA i 2i 2 2 A ( A 2 A ) A dz 2 3 dA i 2i 2 2 A ( A 2 A ) A dz 2 3
偏振不稳定性产生的条件：当入射功率大到足以使非线性长度与固有 偏振拍长相比拟时，就会发生偏振不稳定性。 为描述偏振不稳定性，引入有效偏振拍长为


Leff B
拍长
LB 2 ( )
A ( z) P0 cos( z LB )
A ( z ) i P0 sin( z LB )
输入功率
偏振态一般是椭圆偏振的，并且以拍长Байду номын сангаас周期做周期性演化。沿光纤 任意一点的偏振椭圆的椭圆率和方位角为
ep A A A A
tan 1


应用举例
克尔光闸：用一束强泵浦光感应的非线性相移来改变弱探测波在非线 性介质中的传输，原理如下图所示：
探测光的x和y分量之间的相位差为
泵浦光强
L NL
2 L 2 nL n2 B EP
克尔系数 n2 B 2n2 (1 b)
线性双折射
探测光的透射率和相位差的关系为

椭圆双折射光纤
对于椭圆双折射光纤，耦合模方程有较大改动， 电场强度写为
1 ˆx Ex e ˆy E y ) exp(i 0 t ) c.c. E(r, t ) (e 2
ˆx e ˆ iry ˆ x 1 r
2
ˆy e
ˆ iy ˆ rx 1 r
2
椭圆率 r tan( / 2) 椭圆角
TP
1 2 1 exp(i ) sin 2 ( 2) 4
结论：当Δφ=π或π的奇数倍时，克尔光闸的透射率变成100％；当相移是 π的偶数倍时探测光被完全阻挡。 响应时间的主要限制因素: 泵浦光和探测光之间的群速度失配 模式双折射 主要应用： 全光取样（如图所示） 波长变换
两偏振分量的复振幅 对于各向同性介质如石英玻璃，三阶极化率可以写成下面的形式