洛阳师范学院学报２００５年第２期　·３３·　

类矩阵的逆矩阵和特征值问题　

邓义华　

（衡阳师范学院数学系，湖南衡阳４２１００８）　

摘要：本文对一类特殊矩阵的逆矩阵和特征值问题进行了研究，并得出了一个求该类矩阵　

的逆的一个公式，用该公式求这类矩阵的逆比用现有的方法要简单的多．最后从一个侧面解　

决了一类矩阵的特征值的有关问题．　

关键词：矩阵的逆；特征值；Ｓｈｅｒｍａｎ—Ｍｏｒｒｉｓｏｎ定理　

中图分类号：０１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９—４９７０（２００５）０２—００３３—０２　

矩阵的逆问题是矩阵论的重要问题，ｎ阶矩　

阵可逆的充要条件是它的行列式的值不等于零．　

目前求矩阵的逆常用的方法主要有三个：　

第一，伴随矩阵法，该方法主要用于求二　

阶、三阶矩阵的逆，对于高阶矩阵的逆，用此方　

法计算量太大．　

第二，初等变换法，该方法需要把待求逆的　

矩阵与单位矩阵组合，然后只进行行初等变换或　

只进行列初等变换，把要求逆的矩阵变成单位矩　

阵，那么对单位矩阵进行相同的初等变换就得到　

了待求矩阵的逆，此类方法在求中等阶数的矩阵　

的逆时用得最多．　

第三，分块矩阵法，对于一些阶数比较高的　

矩阵的逆，往往用分块矩阵的方法来求解．　

但以上方法是求矩阵逆的一般方法，对于一　

些特殊矩阵的逆，尽管能用以上方法来求解，但　

有时会比较麻烦，如果用一些特殊的方法来求解　

的话，往往能起到事半功倍的效果，本文旨在介　

绍一类特殊矩阵的求逆方法，该方法把一类矩阵　

的逆用公式表示了出来，比用上述方法求逆要简　

单得多．　

在文献［１］中介绍了如下关于矩阵逆存在性　

的一条定理　

Ｓｈｅｒｍａｎ—Ｍｏｒｒｉｓｏｎ定理设Ａ∈Ｒ一是非　

奇异矩阵，／２，，ｔ，∈Ｒ　是任意行向量，若１＋　Ａ－１／２，　

≠０，则Ａ＋鲫　非奇异，且其逆矩阵为　１　ｒ．一１　（Ａ＋￣Ｉｖｒ）～：Ａ～一　－　ｌ＋　Ａ　

根据Ｓｈｅｒｍａｎ—Ｍｏｒｒｉｓｏｎ定理，可以得出如　

收稿日期：２００４—０６—２４　作者简介：邓义华（１９７１一），男，湖南彬州人，讲师，硕士．　下求矩阵逆的一个简便方法，设　

Ｂ＝　…　ｎ　

…　ｎ　

ｂ　我们有如下定理　

定理１矩阵　可逆的充要条件是ｂ≠ａ且ｂ≠（１　

ｎ　ａ　证明　因为　

ＢＩ＿［ｂ＋（ｒ／，一１）ａ］　

［ｂ＋（ｒ／，一１）ａ］　１　１　

ａ　ｂ　

ｎ　ｎ　１　０　１　

…　ｎ　

ｂ　０　

ａ　ｂ—ａ　…　０　

ａ　ａ　···　ｂ．．ａ　［ｂ＋（ｒ／，一１）ａ］（ｂ—ａ）　一　所以，矩阵Ｂ可逆的充要条件是ｂ≠ａ　

且ｂ≠（１一　）ａ．　定理２当ｂ≠ａ且ｂ≠（１一ｎ）ａ时　

【Ｅ一　ｅ】（２）　

其中Ｅ为单位矩阵，ｒ／，为矩阵　的阶数．　

证明　当ｂ≠口且ｂ≠（１一ｎ）ａ时，由于　

＝　

Ｅ＋　维普资讯 http://www.cqvip.com ３４·　洛阳师范学院学报２００５年第２期　

（ｂ一口）Ｅ＋口　

于是由Ｓｈｅｒｍａｎ—Ｍｏｍ￣ｎ定理即可求得Ｂ　

的逆为　

Ｂ～＝（６一口）【　一　ｅ】　

根据定理２。求形如矩阵Ｂ的矩阵的逆，只要将　

口，ｂ的值代人公式（２），即可求得，这比用初等　

变换法、分块矩阵法、伴随矩阵法要简单得多，并　

且我们还有如下的结论：　

推论１矩阵Ｂ的逆矩阵也具有矩阵Ｂ的形式．　

推论２矩阵Ｂ的伴随矩阵为　

Ｂ‘＝［ｂ＋（，ｌ—１）口］（６一口）“一　Ｅ—ａ（ｂ一口）“一　ｅ　

（３）　

证明将（１）、（２）代人公式Ｂ‘＝ＩＢＩ　Ｂ～，即可　

得到推论２的结论．　

注意：根据推论２求矩阵Ｂ的伴随矩阵只要　

将口，ｂ的值代人（３），就能求得．　

推论３矩阵Ｂ的伴随矩阵也具有矩阵Ｂ的形式．　定理３矩阵ｅ的特征值只能为０和ｎ　

证明　对任意的实数Ａ和实数ａ＃０，由于　

Ａ：丛二　二　口　

令ｂ＝ａＡ一（，ｌ—１）口，于是由定理２知，Ａ是矩　

阵ｅ的特征值的充要条件是矩阵Ｂ为奇异矩　

阵。而由定理ｌ知，矩阵Ｂ为奇异矩阵的充要　

条件是ｂ＝口，或ｂ＝（１一，１）口．当ｂ＝口时，矩　

阵ｅ的特征值为ｎ，当ｂ＝（１一ｎ）口时，矩阵ｅ　

的特征值为０．　

推论３矩阵　的特征值只能为０和口，１．　

参考文献　

［１］袁亚湘，孙文瑜．最优化理论与方法［Ｍ］．北京：科　学出版社，２００１．　［２］Ｇ．Ｗ．斯图尔特．矩阵计算引论［Ｍ］．上海：上海科学　技术出版社。１９８０．　［３］陈祖明．矩阵特征值的一类新的存在区域［Ｊ］．应用　数学学报，２００１。２４（２）：１７７—１８４．　［４］龙文庭．某些分块矩阵的广义逆［Ｊ］．哈尔滨工业大　学学报。１９９２。２４（３）：１—５．　

Ａｎ　Ｉｎｖｅｍｉｏｎ　ａｎｄ　Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ａ　Ｍａｔｒｉ×　

ＤＥＮＧ　Ｙｉ—ｈｕａ　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｅｎｇｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｎｇｙａｎｇ　Ｈｕｎａｎ　４２　１００８）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，８ｎ　ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ　ａｎｄ　Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆａ　ｍａｔｒｉｘ　ａｒｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ，ａｎｄ　ａ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｏｆｍａｔｒｉｘ　

ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｍｕｃｈ　ｓｉｍｐｌｅｒ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｉｓ　ｐｕｔ　ｏｕｔ．Ｉｎ　ｔｈｅ　ｅｎｄ，ａｎ　Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｓ　

ｓｏｌｖｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘ，Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ，Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｏｆ　Ｓｈｅｒｍａｎ—Ｍｏｍｓｏｎ　

（上接第２７页）　

Ｏｎ　Ｔｈｅ　Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ｜）ｃ３—３　＝　

ＬＥ　Ｍａｏ—ｈｕａ，ＸＵＥ　Ｗｅｎ—ｙｉ　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｚｈａｎｊｉａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｚｈａｎｊｉａｎｇ　５２４０４８，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＬｅｔＤ　ｂｅ　ａ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｏｄｄ　ｉｎｔｅｇｅｒｗｉｔｈ　ｓｑｕａｒｅ　ｆｒｅｅ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒｗｅ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈａｔ　ｉｆＤ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｄｉｖｉｓｉｂｌｅ　ｂｙ　

ｐｒｉｍｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍ　６ｋ＋１　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　。一３。ｍ＝Ｏｙ２　ｈａｓ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ（　，，，，ｍ），ｔｈｅｎ　Ｄ＝７　

（ｍｏｄ　８），ｔｌ１ｅ　ｐｒｉｍｅ　ｄｉｖｉｓｏｒｓ　Ｐ　ｏｆ　Ｄ　ｓａｔｉｓｆｙ　ｐ－－１１（ｍｏｄ　１２）ａｎｄ　ｔｈｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｐｒｉｍｅ　ｄｉｖｉｓｏｒｓ　ｏｆ　Ｄ　ｉｓ　ｏｄｄ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ　ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｓｏｌｖａｂｉｈｔｙ．

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