.
'.
*§8－8 各向同性材料弹性常数之间的关系
在建立应力和应变间的关系
时，对于各向同性材料，引用了三个
弹性常数，它们是E、G、μ。§3－3
中曾经提到，三个弹性常数之间存在
着以下关系

2(1)EG
(8-21)
现在就证明这个关系。
图8－22 变一纯剪切应力状态下的单
元体。根据倒8－3的分析，主应力σ1
存在于α0＝－45°的主平面上，σ3存
图8－22
在于α0＝－135°的主平面上，且σ1＝－σ3＝τ。将σ1和σ3代入公式（8－18）

1123
2231
3312

1
[()]1[()]1[()]EEE














(8－18)（单元体的周围六个面皆为主平面时，广义胡克定

律）
并令σ2＝0，得出σ1方向的线应变为

113
1
()(1)EE
(a)

此外，由剪切胡克定律，可以求得直角xoy的剪应变xy为

xy
xy
GG







（b）

对单元体abcd来说，由于0xyz，故有0xy。将所求出的x、y、
xy



代入公式（8－11），cos2sin2222xyxyxy （8－11）（平面应变状
态分析），
并令45o，再次求得沿σ1方向的应变为12xy
将（b）式代入上式，得12G （c）
令（a）,(c) 两式相等，便可得到需要证明的关系式
.
'.
2(1)EG
，因为广义胡克定律只适用于各向同性材料，因而由广义胡克定律导出的以上
关系式，也只适用于各向同性材料。
以上参考《材料力学》刘鸿文 主编 第二版 上册

§8－9 复杂应力状态下的变形比能
这一章能过变形比能推导。

如果应力和应变关系是线性的，变形比能的公式12u。

于是三向应力状态下的应变能为112233111222u，以应变的广义胡克定律

1123
2231
3312

1
[()]1[()]1[()]EEE














（8－18）代入上式，整理得

222
123122331

1
[)2()]2uE
8-24

以上参考《材料力学》刘鸿文 主编 第三版 上册