第３３卷第３期　２０１２年３月　哈尔滨工程大学学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈａｒｂｉｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖ０ｌ＿３３№．３　Ｍａｒ．２０１２　

利用约束非负矩阵分解的高光谱解混算法　

赵春晖，成宝芝，杨伟超　

（哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨１５０００１）　

摘要：由于利用非负矩阵分解方法解决高光谱解混问题时，标准非负矩阵分解目标函数的非凸性影响了最优解的获　

取．通过对高光谱图像的端元光谱和空间分布特性的分析，提出了以最小估计丰度协方差和单形体各顶点到中心点均方　

距离总和最小约束的非负矩阵分解（ＭＣＭＤＮＭＦ）算法，其采用投影梯度作为非负矩阵分解的迭代学习规则．ＭＣＭＤＮＭＦ　

既利用了非负矩阵分解的优点又考虑了高光谱图像的特性，也不需要混合像元中必须有纯像元．仿真实验表明，ＭＣＭＤ—　

ＮＭＦ算法能正确地解混出高光谱混合像元中含有的端元光谱，并精确估计出丰度分布．　

关键词：信息处理技术；高光谱解混；非负矩阵分解；混合像元；丰度　

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６—７０４３．２０１　１０１０４４　

网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｅｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／２３．１３９０．Ｕ．２０１２０３０９．１５４６．０１１．ｈｔｍｌ　

中图分类号：ＴＰ７５１．１　文献标志码：Ａ文章编号：１００６－７０４３（２０１２）０３－０３７７－０６　

Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌ　ｕｎｍｉｘｉｎｇ　

ｕｓｉｎｇ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ　

ＺＨＡＯ　Ｃｈｕｎｈｕｉ，ＣＨＥＮＧ　Ｂａｏｚｈｉ，ＹＡＮＧ　Ｗｅｉｃｈａｏ　

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈａｒｂｉｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ　１５０００１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｍｉｘｅｄ　ｐｉｘｅｌｓ　ｉｍｐａｃｔｓ　ｔｈｅ　ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　ａｄｖａｎｃｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌ　ｒｅｍｏｔｅ　ｓｅｎｓｉｎｇ　ａｐｐｌｉｃａ－　

ｔｉｏｎ．Ｉｔ　ｉｓ　ａ　ｎｅｗ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌ　ｕｎｍｉｘｉｎｇ　ｂｙ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｆａｃｔｏｒｉｚａ—　

ｔｉｏｎ（ＮＭＦ）．Ｔｈｅ　ｎｏｎｃｏｎｖｅｘｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｃａｕｓｅｓ　ａｎ　ｅｒｒｏｒ　ｔｏ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｃ　ＮＭＦ．Ｉｎ　

ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｂｙ　ａｎａｌｙｚｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｅｎｄｍｅｍｂｅｒ　ｓｉｇｎａｔｕｒｅｓ　ａｎｄ　ｓｐａｔｉａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌ　ｉｍａ－　

ｇｅｓ，ａ　ｎｅｗ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｃａｌｌｅｄ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｃｏｖａｎａｎｃｅ　ａｎｄ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｄｉｓｔａｎｃｅｓ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ（ＭＣＭＤ－　

ＮＭＦ）ｗａｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．ｉｔ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｅｓｔｉｍａｔｅｄ　ａｂｕｎｄａｎｃｅ　ｃｏｖａｆｉａｎｃｅ　ａｎｄ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｔｈｅ　ｓｕｍ　ｏｆ　ｓｑｕａｒｅｄ　ｄｉｓｔａｎｃｅｓ　

ｂｅｔｗｅｅｎ　ａｌｌ　ｔｈｅ　ｓｉｍｐｌｅｘ　ｖｅｒｔｉｃｅｓ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ＮＭＦ，ａｄｏｐｔｉｎｇ　ｐｒｏｊｅｃｔｅｄ　ｇｒａｄｉｅｎｔ　ａｓ　ｔｈｅ　ｉｔｅｒａｔｉｖｅ　ｌｅａｒｎｉｎｇ　ｒｕｌｅ　

ｆｏｒ　ＮＭＦ．ＭＣＭＤＮＭＦ　ｃｏｍｂｉｎｅｓ　ｔｈｅ　ｍｅｒｉｔ　ｏｆ　ＮＭＦ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌ　ｄａｔａ，ａｎｄ　ａｔ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　

ｔｉｍｅ，ｅｌｉｍｉｎａｔｅｓ　ｔｈｅ　ｐｕｒｅ－ｐｉｘｅｌ　ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ＭＣＭＤＮＭＦ　ｍｅｔｈｏｄ　ｃａｎ　ｅｘ—　

ｔｒａｃｔ　ｔｈｅ　ｅｎｄｍｅｍｂｅｒ　ｓｉｇｎａｔｕｒｅ　ａｎｄ　ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ　ｅｓｔｉｍａｔｅ　ａｂｕｎｄａｎｃｅ　ｍａｐｓ．　

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ；ｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌ　ｕｎｍｉｘｉｎｇ；ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ（ＮＭＦ）；ｍｉｘｅｄ　ｐｉｘｅｌ；　

ａｂｕｎｄａｎｃｅ　ｆｒａｃｔｉｏｎ　

高光谱遥感数据是通过高光谱遥感测量仪器定　物光谱曲线相比于多光谱来说更全面反映了成像的　

量获取的，是由数十至数百个波长在０．３～２．５ｉＭｎ　

之间的窄波段（波段宽度小于１０　ｎｍ）形成的像元组　目标特征．但是，由于遥感仪器中使用的传感器空间　

分辨率受到技术条件的限制和观测的地物情况的复　成，可以提供几乎连续的地物光谱曲线…，这些地　杂性，使得高光谱图像存在着混合像元的情况．如果　

收稿日期：２０１１－０１－２０．　网络出版时间：２０１２—３－９　１５：４６．　基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１０７７０７９）；高等学校博士学　科点专项科研基金资助基金资助项目（２０１０２３０４１　１００１３）；　哈尔滨市优秀学科带头人基金资助项目　（２００９ＲＦＸＸＧ０３４）．　作者简介：赵春晖（１９６５一），男，教授，博士生导师；　成宝芝（１９７６一），男，博士研究生，Ｅ．ｍａｉｌ：ｃｈｅｎｇｂａｏｚｈｉ／ｏ０９＠　ｈｒｂｅｕ．ｅｄｕ．ａｎ．　通信作者：成宝芝．　把混合像元作为纯像元进行分类、目标探测等应用　

研究，结果会有很大的误差．这使高光谱解混问题成　

为近年来遥感领域的一个研究热点．目前，利用非负　

矩阵分解进行高光谱解混得到充分关注，Ｍｉａｏ等　Ｊ　

提出的最小体积约束的非负矩阵分解（ｍｉｎｉｍｕｍ　

ｖｏｌｕｍｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ，

　哈尔滨工程大学学报　第３３卷　

ＭＶＣ—ＮＭＦ）算法；Ａｌｅｘｉｓ　Ｈｕｃｋ等　提出的结合最小　

离差约束的非负矩阵分解（ｍｉｎｉｍｕｍ　ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ　ｃｏｎ．　

ｓｔｒａｉｎｅｄ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ，ＭＩＤＩＮＭＦ）算　

法；Ｊｉａ　Ｓ等　提出的基于稀疏性和分段平滑性约束　

的非负矩阵分解；ＹＵ　Ｙｕｅ等　提出的采用最小距　

离约束的非负矩阵分解（ｍｉｎｉｍｕｍ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎ－　

ｅｄ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ，ＭＤＮＭＦ）算法，吴　

波等　提出的基于端元约束的非负矩阵分解（ｃｏｎ－　

ｓｔｒａｉｎｅｄ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ，ＣＮＭＦ）算法．　

由于高光谱数据的复杂性，这些改进的约束非负矩　

阵分解算法都有一定的局限性．　

本文通过对高光谱混合像元含有的端元光谱的　

光谱特性和丰度分布特性的深入分析，提出了一个　

新的约束非负矩阵分解算法，即以最小估计丰度协　

方差和单形体各顶点到中心点均方距离总和最小为　

约束条件的非负矩阵分解（ｍｉｎｉｍｕｍ　ｃｏｖａｒｉａｎｃｅ　ａｎｄ　

ｍｉｎｉｍｕｍ　ｄｉｓｔａｎｃｅｓ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ，　

ＭＣＭＤＮＭＦ）算法．这个新的算法充分考虑了｝昆合像　

元的光谱特性和空间特性，没有对端元构成的单形　

体体积、空间分布的稀疏性和平滑性进行约束，避免　

了上述算法的缺陷，也不需要有纯像元存在这一先　

验条件．　

１　线性光谱混合模型　

在分析高光谱含有的混合像元时，一般应用线　

性光谱混合模型　进行分析，混合像元是由各类端　

元和其对应的丰度线性混合组成．假设　是波段为　

的高光谱图像，Ｍ是一个Ｌ×Ｐ的光谱特征矩阵，　

＝［　一，　］　为端元列向量对应的丰度向量，　

Ｍ＝［ｍ　一，ｍ　］为Ｐ个端元向量，线性混合模型　

可以写成　

Ｕ＝Ｍｔｒ＋ｎ．　（１）　

式中：ｎ为一个　维的噪声或者误差；Ｐ个端元向量　

和对应的丰度都是未知量，它们需要满足２个约束　

条件：．１）端元光谱及其丰度是非负的，即ｍ　≥０，　

Ｐ　０≤　≤１；２）丰度总和为１，即　＝１，　＝１，２，　＿１　

…．Ｐ．　

２　约束非负矩阵分解的解混方法　

非负矩阵分解　是由Ｌｅｅ等提出的，分解后的　

矩阵所有分量均为非负值，是一种新的矩阵分解方　

法．非负矩阵分解能使原始数据结构得到清晰的展　

示，使高维的原始数据得到一定程度的维数约减．非　

负矩阵分解模型和基于线性光谱混合模型的混合像　

元分解相符合，非常适合于高光谱数据解混问题．但　是由于原始非负矩阵分解方法目标函数的非凸性，　

导致非负矩阵分解在某些情况下仅能得到局部最优　

解，所以目标函数需要增加约束条件．　

本文采用一种新的约束非负矩阵分解方法，即　

ＭＣＭＤＮＭＦ算法进行背景信息端元的提取和混合像　

元分解．以最小估计丰度协方差和单形体各顶点到　

中心点均方距离总和最小这２个条件作为约束，下　

面分析一下这２个约束条件．　

根据混合像元的光谱特性和空间分布结构特　

点，由式（１）可知，利用最小二乘法可以得到丰度向　

量　无约束解的估计　为　

＝（ＭＴＭ）～ＭＴｕ．　（２）　

由文献［９］可得丰度向量估计　的协方差：　

ｃ（　）＝（　Ｍ）～ｐ２．　（３）　

式中：　为误差或者噪声ｎ的方差，一般设定ｎ为　

零均值的高斯白噪声．　

当　和　之间的偏差最小时，解混结果最好．　

而Ｃ（　）的迹可以表征　和　之问的偏差程度¨　Ｊ，　

迹越小表明　和　之间符合程度越高，端元光谱矢　

量间的差别程度越大　ｌ１］，Ｃ（　）的迹为　

ｔｒ（Ｃ（　））　ｔｒ（（ＭＴＭ）　）．　（４）　

式中：ｔｒ（・）表示矩阵的迹．如果将式（４）作为ＭＣ—　

ＭＤＮＭＦ的目标函数，那么在迭代规则计算过程中　

存在微分过程求解复杂的问题．根据文献［６］的分　

析，对式（４）进行修正后作为约束项：　

Ｊ　（　）＝（ｔｒ（Ｍ　Ｍ））～．　（５）　

仅式（５）作为非负矩阵分解的约束条件还不能　

得到理想的解混结果，因此，需要再增加约束条件提　

高解混精度．通过对端元光谱分布的单形体进行分　

析，引入单形体各顶点到中心点距离总和作为另一　

个约束条件　’　，即　Ｐ　Ｐ　Ｊ２（　）＝∑ＩＩ　ｍ　一古∑Ｉｌ　ｍ　（６）　

ｉ＝ｉ　＝１　因此，以ｔ，　（Ｍ）和－，　（　）为约束项的非负矩阵分解　

的目标函数为　

１　ｆ（Ｍ，　）＝＿ｌ＿ｌｌ　Ｕ—Ｍａ　１Ｉ；＋Ａ。Ｊ。（＾　＋Ａ　（＾　）：　

１　÷ｌＩ　Ｕ—Ｍｔｒ　Ｉｌ；＋Ａ１（ｔｒ（ＭＴＭ））　＋　二　Ｐ　１　Ｐ　Ａ　∑ＩＩ　ｍ　一吉∑ｌｌ　ｍ　２　（７）　ｉ＝ｌ　：Ｉ　若将式（７）作为改进的ＭＣＭＤＮＭＦ的目标函　

数，没有考虑高光谱丰度总和为１这一约束条件，而　

这个条件作为软约束可以使解混的结果更精确．本　

文采用文献［１３］中所使用的表示形式，即　

Ｕ＝　

㈩