作者简介：周从会（１９６８－），女，江苏连云港人，硕士，讲师
．
第６卷第４期
２００６年８月泰州职业技术学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴａｉｚｈｏｕＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＩｎｓｔｉｔｕｔｅＶｏｌ．６Ｎｏ．４Ａｕｇ．２００６

摘要：利用Ｌａｐｌａｃｅ展开定理的特例—分块三角阵的行列式，研究了几类分块矩阵的行列式
，
得到了三个结果，并利用得到的结果计算一些特殊的行列式，能达到简化计算的目的。
关键词：分块矩阵；应用；行列式
中图分类号：Ｏ１５１．２文献标识码：Ａ文章编号：１６７１－０１４２（２００６）
０４－００６７－０３

用若干条纵线和横线将矩阵分成许多小矩阵，每个小矩阵称为矩阵的子块。以子块为元的形式上的
矩阵称为分块矩阵，它的重要用处是可以通过子块进行运算。本文将探讨分块矩阵在行列式计算上的应
用，约定字母Ｏ和Ｅ分别表示零矩阵和单位矩阵，Ａ表示方阵Ａ的行列式。

１
、定理

定理１若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ都为ｎ阶方阵，Ｅ为ｎ阶单位方阵，则
ＡＥ
ＢＣ
＝
ＣＡ－Ｂ

定理２若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都为ｎ阶方阵，且矩阵Ａ可逆，则
ＡＣ
ＢＤ
＝
Ｄ－ＢＡ－１ＣＡ

定理３若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都为ｎ阶方阵，且矩阵Ａ可逆，且ＡＢ＝ＢＡ，则
ＡＣ
ＢＤ
＝
ＡＤ－ＢＣ

２
、定理的证明

引理１（分块三角阵的行列式）
设分块矩阵
Ｇ＝
ＡＯ
Ｃ!"Ｂ
，其中Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｏ分别是ｋ阶、ｎ阶、ｎ×ｋ型、ｋ×ｎ型矩阵，则Ｇ＝Ａ·
Ｂ

证明见参考文献［１］。
定理１的证明：

根据分块矩阵的乘法易得：
ＡＥＢ!"ＣＯ－ＥＥ!"Ａ＝ＥＯ
ＣＣＡ－!"Ｂ
，

因为矩阵Ａ，Ｂ和Ｃ都为ｎ阶方阵，Ｅ为ｎ阶单位方阵，因此交换行列式Ｏ－ＥＥＡ的第ｉ列与第
ｎ＋ｉ
列（ｉ＝１，２，…，ｎ）得：
Ｏ－ＥＥＡ＝（－１）ｎ－ＥＯ
ＡＥ
，

由引理１得：
Ｏ－ＥＥＡ＝（－１）ｎ－ＥＥ＝１，ＥＯ
ＣＣＡ－Ｂ
＝ＣＡ－ＢＥ＝
ＣＡ－Ｂ

从而有：
ＡＥＢＣ＝ＡＥＢ!"ＣＯ－Ｅ
Ｅ!"Ａ
＝ＣＡ－Ｂ．证毕．

定理２的证明：

几类分块矩阵的行列式
周从会
（连云港职业技术学院基础部，江苏连云港２２２００６）
由矩阵Ａ可逆，因此可有：
ＡＣＢ!"ＤＡ－１ＯＯ!"Ａ＝ＥＣＡ
ＢＡ－１Ｄ!"Ａ

交换行列式ＥＣＡＢＡ－１ＤＡ的第ｉ列与第ｎ＋ｉ列（ｉ＝１，２，…，ｎ）
，

并根据定理１得：
ＥＣＡＢＡ－１ＤＡ＝（－１）ｎＣＡＥ
ＤＡＢＡ
－１

＝（－１）ｎＢＡ－１ＣＡ－ＤＡ＝
Ｄ－ＢＡ－１ＣＡ

，

因此
ＡＣＢＤ＝ＡＣＢＤＡ－１ＯＯＡ＝ＥＣＡ
ＢＡ－１ＤＡ
＝Ｄ－ＢＡ－１ＣＡ．
证毕

定理３的证明：由矩阵Ａ可逆和ＡＢ＝ＢＡ易得
ＢＡ
－１＝Ａ－１
Ｂ，根据定理２的证明立得定理３
结论。

３
、定理的应用

例１计算行列式
．
３－５１０
－２３０１
４－９－３－７
２－６－３２

．

解由定理１得
原式
＝
－３－７－３!"２３－５－２!"３－４－９２－!"６＝１３
－１５２７
＝７２．

例２证明
０１１ａ
１０１ｂ
１１０ｃ
ａｂｃｄ

＝ａ
２＋ｂ２＋ｃ２
－２ａｂ－２ｂｃ－２ａｃ＋２ｄ．

证明：左式＝（－１）
２
ａ１１０
ｂ１０１ｃ０１１ｄｃｂａ＝１１ｂ!"ａａ１ｂ!"１－ｃ０
ｄ!"ｃ＝ａ＋ｂ－ｃ２２ａｂ－ｄａ＋ｂ－ｃ

＝（ａ＋ｂ－ｃ）２－２（２ａｂ－ｄ）＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２－２ａｂ－２ｂｃ－２ａｃ＋２ｄ＝右式．

例３计算
２５５１
１３５０
０１５６
１２３４

解：易看出Ａ＝２５１!"３可逆，且
Ａ
－１
＝
３－５
－１!"２
，因此有：

原式
＝
５６３!"４－０１１!"２３－５－１!"２５１５!"０２５１!"３＝５６３!"４－５－１０!"１＝０７
３３
＝－２１

例４计算阶行列式
ａｂ
……
ａｂ
ｂａ
……
ｂａ

ｎ
行

ｎ＋１
行

（ａｂ≠０）

第４期
泰州职业技术学院学报
６８
（上接第６１页）
参考文献
［１］罗萍香，梁春燕．异丙酚静脉麻醉下人工流产临床观察［Ｊ］．中国计划生育学杂志，２００１，９（５）：３０５．
［２］李促廉．临床疼痛治疗学［Ｍ］．天津：天津科学技术出版社，１９９４，３８５．
［３］袁桂莲，许我先．妇产科综合征［Ｍ］．北京：人民卫生出版社，１９９８，２２３－２２４．
［４］王育华，王波．无痛人工流产术的临床应用［Ｊ］．中国实用妇科与产科杂志，２００３，１９（１０）：５８９．
［５］
李俊岩．异丙酚复合芬太尼麻醉在早孕钳刮术中的应用［Ｊ］．中国计划生育学杂志
，２００３，９０（４）：２４２．

［６］周荣向，陈洪贵，高清花，等．异丙酚配伍米索前列醇用于无痛人工流产术的临床观察［Ｊ］．中国计划生育学杂志，２００３，８８（２）：９９．

ＴｈｅＡｎａｌｙｓｉｓｏｎ１７０ＰａｔｉｅｎｔｓｗｉｔｈＰａｉｎｌｅｓｓＡｂｏｒｔｉｏｎ
ＬＩＵＬａｎ－ｑｉｎ
（ＴｈｅＰｅｏｐｌｅ
’
ｓＨｏｓｐｉｔａｌｏｆＴａｉｚｈｏｕ，ＴａｉｚｈｏｕＪｉａｎｇｓｕ２２５３００，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔｓ：Ｐｕｒｐｏｓｅ：Ｃｏｍｐａｒｅｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｎａｒｃｏｔｉｃｓｒｅｓｕｌｔｂｙｏｂｓｅｒｖｉｎｇｄｉｆｆｅｒｅｎｔｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｕｎｅｒｉｎｅｎｅｃｋｏｒｉｎｖｅｉｎ．Ｍｅｔｈｏｄ：
Ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｔａｋｅｓ３４０ｐａｔｉｅｎｔｓａｓｔｈｅｓｕｂｊｅｃｔｓ．Ｔｈｅｙａｒｅｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｔｗｏｇｒｏｕｐｓｒａｎｄｏｍｌｙ：ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｇｒｏｕｐａｎｄｔｈｅ
ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｇｒｏｕｐ．Ｔｈｅｆｏｒｍｅｒａｒｅｏｐｅｒａｔｅｄｗｉｔｈｐａｉｎｌｅｓｓａｂｏｒｔｉｏｎｂｙｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｖｅｉｎａｎｄｔｈｅｌａｔｔｅｒｗｉｔｈｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｕｎｅｒｉｎｅ
ｎｅｃｋ．Ｒｅｓｕｌｔ：Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｉｓｏｂｖｉｏｕｓｂｙｃｏｍｐａｒｉｎｇｔｈｅｔｗｏｇｒｏｕｐｓ＇ｒｅｓｕｌｔｓｏｎｒｅｌｉｅｖｉｎｇｐａｉｎ．Ｔｈｅｆｏｒｍｅｒｉｓｂｅｔｔｅｒｔｈａｎｔｈｅｌａｔｔｅｒ．
Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ：ｔｈｅｐａｔｉｅｎｔｓｆｅｅｌｎｏｐａｉｎｄｕｒｉｎｇｔｈｅｏｐｅｒａｔｉｏｎｗｉｔｈｔｈｅａｉｄｏｆａｎａｅｓｔｈｅｔｉｃ，ｗｈｉｃｈｇｅｔｒｉｄｏｆｔｈｅｉｒｆｅａｒｆｏｒｔｈｅｏｐｅｒａ－
ｔｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｕｎｅｒｉｎｅｎｅｃｋ；ｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｖｅｉｎ

（责任编辑崔洁）

周从会：几类分块矩阵的行列式第４期
解记
Ａ＝
ａ…ａ，Ｂ＝ｂ
…
ｂ
．由ａｂ≠０易得Ａ可逆，且与Ｂ可交换，根据定理３
得

原式
＝
Ａ

２－Ｂ２

＝ａ２－ｂ２…ａ２－ｂ２＝（ａ２－ｂ
２）ｎ

从以上各例可以看出利用上面给出的三个定理计算一些特殊的行列式可简化计算过程。
参考文献：
［１］同济大学数学教研室．工程数学线性代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９．

ＤｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｏｆＳｏｍｅＢｌｏｃｋＭａｔｒｉｃｅｓ
ＺＨＯＵＣｏｎｇ－ｈｕｉ
（ＢａｓｉｃＳｃｉｅｎｃｅｓＤｅｐｔ．，ＬｉａｎｙｕｎｇａｎｇＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，ＬｉａｎｙｕｎｇａｎｇＪｉａｎｇｓｕ２２２００６，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅａｕｔｈｏｒｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｏｆｓｏｍｅｂｌｏｃｋｍａｔｒｉｃｅｓｂｙｕｓｉｎｇｓｐｅｃｉａｌｃａｓｅｏｆＬａｐｌａｃｅｄｅｖｅｌｏｐ－
ｍｅｎｔｔｈｅｏｒｅｍ：Ｔｈｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｏｆｂｌｏｃｋｔｒｉａｎｇｌｅｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｔｈｒｅｅｔｈｅｏｒｅｍｓｈａｖｅｂｅｅｎｇｉｖｅｎａｎｄａｐｐｌｉｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｓｏｍｅｓｐｅ－
ｃｉａｌｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｓｏａｓｔｏｓｉｍｐｌｉｆｙｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｌｏｃｋｍａｔｒｉｃｅｓ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ；ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓ

（责任编辑刘红）

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