引言
图像重建技术在诸多领域中发挥着重要作用，在重建算法的研究
和实现过程中，存在着是一系列极其复杂的图像处理问题和数学计算
问题。由Math Works公司推出的Matlab工具软件具有强大的数学计
算和图像处理功能，运用该软件进行图像重建可使编程的工作量大大
减小。本文所述的是在Matlab环境下进行滤波反投影重建算法的实
现过程。
图像重建基本原理
图像重建算法的基础是Fourier中心切片定理，也称投影定理。
其具体含义是：待重建图像f (x,y)在角度θ得到的投影函数
p
θ
(t)的一
维傅利叶变换，等于在同一角度下进行的 二维傅利叶变换的一条直线。
如图1所示，其中t为投影值与中心射线的距离。
线SF与y轴的夹角，γ为射线间夹角。针对扇束中的某一射线SA，
若视A点的投影数据是沿着平行射线产生的话，则投影值应是由θ和
t确定的p
θ
(t)的值。利用(β,γ)和(θ,t)的关系，借助平行投影的重建算
法推导出扇束投影的重建算法。
基于平行束的图像重建算法主要分为三步：
①对某θ角度下的投影
p
θ(t)作一维傅立叶变换，记为Sθ
(ω)；
（式1-1）
②将①的变换结果乘上一维权重因子，并对加权结果，作一维傅
利叶反变换，记为Qθ(t)——即：加权滤波处理；
（式1-2）
③将②中滤波后的投影进行反投影计算，得到断层图像f(x,y)。
（式1-3）
由图3所示，PQ垂直于SA，且OB长度为t，则有：
θ=β+γ和r = Dsinγ
（式1-4）
根据图像重建理论，并由平行束重建公式推导出扇束重建公式，
（式1-5）
由图4所示，公式可化简为：
（式1-6）
其中：
（式1-7）
滤波反投影图像重建算法分析
及MATLAB现实
朱立平 林志英
图像重建是CT技术的一个研究热点。重建算法的现实是对算法研究的一个重要环节。由
Math Works公司推出的MATLAB工具软件具有强大的数学计算和图像处理功能，并为算法提供了
一个方便有效的研究和实现的平台。本文在图像重建分析的基础上，运用MATLAB实现了基于扇
束的滤波反投影重建算法的计算机模拟。
图１ 中心切片定理图解
（a）等角射线型 （b）等距射线型
图２ 扇束投影的两种类型
基于扇束滤波反投影算法分析
根据探测器安放的方式，扇束投影又分等角射线型和等距射线型。
等角射线型的探测器安置在以扇束顶点为中心的圆弧上，并以等弧排
列，如图2（a）所示；等距射线型的探测器以等间距方式安置在一条
直线上，如图2（b）所示。本文只讨论等角射线型的情况。
设Rβ(γ)表示某一扇束投影，如图3（a）所示，其中β为中心射
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08 / 2013 / China Computer&Communication
由于数字图像处理的离散化特点，在图像重建实现的过程中，需
将上将公式转化成离散化形式。
扇束重建算法的计算机现实
1. 模拟产生投影值
在Matlab环境中，利用phantom函数和fanbeam函数，创建
N×N的Sheep Logan头模型图像（如图5所示）及其扇束的投影数
据（如图6所示）。
主要代码如下：
N=128;
f=phantom(N);
figure,imshow(f);
D=250;
dgama=0.3;
r=fanbeam(f,D,'FanSensorSpacing',dgama);
figure,imshow(r,[]);
（式1-10）
4. 滤波运算
为了避免卷绕误差，需将修正的投影
R
βi
(nγ) 序列后添零延拓成长
度不小于（2N-1）的序列
R''
βi
(nγ) 。滤波计算的离散化公式为：
（式1-5）
在Matlab库函数中，选用快速离散傅利叶变换函数fft、快速离
散反傅利叶变换函数ifft及窗函数（如汉明窗）。
5. 加权反投影运算
重建图像是由每个滤波投影
Q
βi( γ' ) 的反投影组合而成，Qβi
( γ' )
是对应于βi的滤波投影，位于与中心射线夹角为γ'的射线上所有点(x,y)
的值均等于
Q
βi
(γ)，但通过计算得出的γ'的值并非正好为nγ，因此，与
γ'
相对应的
Q
βi
( γ' ) 需用适当的插值方法求得，如：线性插值。反投影
的离散化公式为：
（式1-6）
由（式1-6）可知，在反投影计算过程中，需要计算出两个关键
的数据：
① 每一个像素点C(x,y)与射线源S之间的距离L
② 穿过每一个像素点C(x,y)的射线与中心射线SA的夹角
由图4所示，对于某βi，计算出(
x
0,y0)即：x0=Dsin(βi),y0
=Dcos(βi)，
则L2=(x0+x)2+(y0-y)2，γ'=arctan)2(00ixxyyβπ−−+−。
最后，利用Matlab库函数interp2进行插值，完成图像的重建过程。
按照上述算法，采用D=250，γ=0.3，γ=30，
β
m
=360的重建效果如图7
所示。
图３ 等角扇束投影重建算法推导参数图解图４ 象素点几何图示
图５ １２８×１２８的Ｓｈｅｅｐ Ｌｏｇａｎ头模型图像图６ 扇束射角增量为０．３°投影值
2. 选取滤波函数，并离散化处理，如：R-L滤波函数，则离散化
形式为：
（式1-8）
其中：
（式1-9）
3. 修正投影值
对于某β角的投影数据
R
βi(nγ) 进行修正，记为：R'βi
(nγ)。
图７ 重建效果图
总结
本文在分析基于扇束滤波反投影算法的基础上，详细介绍了该算
法“模拟产生投影数据——修正投影——加权滤波——反投影重建”
整个计算机现实过程，并充分利用Matlab强大的图像处理功能，无
需大量的编程，现实了图像重建算法的计算机模拟。Matlab作为一种
高效的工程计算语言，它从本质上提供了对图像的支持，使用它可以
对数字图像形成的离散数据矩阵进行一次性的处理，较其他高级语言
有着明显的优势。
（北京联合大学 电子信息技术实验实训基地）
作者简介：朱立平（1971－ ），女，北京人，讲师，硕士，主要
研究方向：计算机应用，图像处理；林志英（1970— ），女，北京人，
讲师，硕士，主要研究方向：多媒体技术，图像处理。
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信息与电脑 /
2013 / 08
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