杆件的塑性变形 15.1 概 述 工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但有些问题确须考虑塑性变形。

15.2 金属材料的塑性性质 图15.1是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有

pe

（15.1）

弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图15.2）。 下面是几种常见的塑性材料模型。

图 15.1 低碳钢拉伸的应力-应变曲线 图15.2 弹塑性应力-应变 有时也把应力-应变关系近似地表为幂函数，幂强化材料的应力-应变关系曲线如图15.7所示。 n

c

15.3 拉伸和压缩杆系的塑性分析 现以图15.8所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析，当载荷P逐渐增加时，杆件两端的反力是

baPaRbaPbR21 (a) P力作用点的位移是

baEAPabEAaR1 (b)

如ab则21RR。随着P的增加，AC段

图

图图 图图图的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷

为1P，载荷作用点的位移为1，由（a）、（b） 两式求得

bbaAPAbabPRs1,S111



Eas1 由平衡方程可知

S2APR

(c)

载荷作用点c的位移为 EAbPP11



(d)

CB段也进入塑性阶段时，S2AR，由（c）式求出相应的载荷为

S22AP 载荷达到2P后，整个杆件都已进入塑性变形。 例18.1 在图15.9a所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同

为A。试求使结构开始出现塑性变形的载荷1P、极限载荷pP。 解：以1N和2N分别表AC和AD杆的轴力，3N表AB杆的轴力。令s1EE，s1AA，得

图3332

212cos1,cos21cos

PNPNN

(e)

当载荷逐渐增加时，AB杆的应力首先达到s，这时的载荷即为1P。由（e）式的第二式得

31

S3cos21

PAN

由此解出 3

S1cos21AP

载荷继续增加，中间杆的轴力sN保持为SA,两侧杆件仍然是弹性的。直至两侧的杆件的轴力1N也达到SA，相应的载荷即为极限载荷PP。这时由节点A的平衡方程知 1cos2cos2SSSPAAAP

加载过程中，载荷P与A点位移的关系已表示于图15.9b中。

15.4 圆轴的塑性扭转 圆轴受扭时，横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布，即 PIT (a) 随着扭矩的逐渐增加，截面边缘处的最大剪应力首先达到剪切屈服极限s



（图15.10a）。若相应的扭矩为1T，由（a）式知

S3PS121rrIT (b) 极限扭矩PT，其值为 AspAdT

取ddA2代入上式后完成积分，得

s3P32rT (15.4) 达到极限扭矩后，轴已经丧失承载能力。 例18.2 设材料受扭时剪应力和剪应变的关系如图15.11a所示，并可近似地表为

Bm 式中m和B皆为常量。试导出实心圆轴扭转时应力和变形的计算公式。

图 解：根据圆轴扭转的平面假设，可以直接引用3.4中的（b）式，求得横截面上任意点处的剪应变为

dxd (d) 式中dxd是扭转角沿轴线的变化率，为横截面上一点到圆心的距离，ρ即为该点剪应变。（d）式表明，沿横截面半径，各点的剪应变是按直线规律变化的（图15.11b）。由（c）、（d）两式求出

dxdBmρ (e) 或者写成

m1dxdB (f) 横截面上的扭矩应为 AρdAT

取dAd2,并以(f)式代入上式，

m13mm1m12mm1rmmdxdBddxdBT1322r

o



(g)

从（f）和（g）两式中消去m1dxdB，得剪应力的计算公式 m13132rmmrT (h) 令r，得最大剪应力为

图15.1mmITrmmrT413132P3max



当1m时，材料变为线弹性的，上式变为

PmaxI

rT

由（e）式知 rdxdBmmax

故有

mPmax4131mmITrrBrBdxdm 积分求得相距为l的两个横截面的相对扭转为

rlmmITrBmP4131 (i) 当1m，GB时，上式化为

PGIlT

这就是公式（3.17）。

15.5 塑性弯曲和塑性铰 15．5．1纯弯曲

根据平面假设，横截面上距中性轴为y的点的应变为

y

(a)

式中1是曲线的曲率。静力方程： A0Ad

(b) AMAdy

(c)

在线弹性阶段，有

IyM

(d)

若以1M表示开始出现塑性变形时的弯距，由（d）式知

maxS1y

I

M

(e)

载荷逐渐增加，横截面上塑性区逐渐扩大，且塑性区内的应力保持为S（图15.12b）。最后，横截面上只剩下邻近中性轴的很小区域内材料是弹性的。此时，无论在拉应力区或压应力区，都有

S

如以1A和2A分别表示中性轴两侧拉应力区和压应力区的面积，则静力方程（b）化为 

21AAA21sss12

0AAAAAdAdAd

若整个横截面面积为A，则应有 AAA21

故有

221AAA

(15.5) 极限情况下的弯矩即为极限弯矩pM，由静力方程（c）得

A2121sAAssp12yAyAydAydAAdyM 式中1y和2y分别是1A和2A的形心到中性轴的距离。利用公式（18.5）又可把上式写成

21SP21yyAM (15.6) 【例15.3】在纯弯曲情况下，计算矩形截面梁和圆截面梁开始出现塑性变

图图 形时的弯矩1M和极限弯距pM。 解：对矩形截面梁（图15.13），由（e）式得开始出现塑性变形的弯矩1M为

S2maxS16bhy

IM

由公式（15.13）求得极限弯矩pM为

S2S21SP444212

1bhhhbhyyAM

1M和pM之比为

5.11PM

M

所以从出现塑性变形到极限情况，弯矩增加了50%。 对圆截面梁,

S3maxS14ry

IM

S3S321SP343434212

1rrrryyAM

7.13161PM

M

从开始塑性变形到极限情况，弯矩增加70%。 15.5.2 横力弯曲 横力弯曲情况下，弯矩沿梁轴线变化，横截面上除弯矩外还有剪力。图15.14a中阴影线的部分，为梁内形成的塑性区。把坐标原点放在跨度中点，并将坐标为x的横截面上的应力分布情况放大成图15.14b。在这一截面的塑性区

图 内，S；弹性区内，yS。为塑性区和弹性区的分界线到中性轴的距离。故截面上的弯矩应为

S22









3422A0Sh/2Shb

bdyyybdyydAyM

(15.7) 还可由载荷及反力算出这一横截面上的弯矩为



xlPM

22

令以上两式相等，得

S223422hbxlP (f) 这就是梁内塑性区边界的方程。设开始出现塑性变形的截面的坐标为a，在（f）

式中，令ax，2h，得 S2622bhalP



由此求得塑性区的长度为 

max1S214612MMlPlbhla

式中 4,6maxS21PlMbhM

随着载荷的增加,跨度中点截面上的最大弯矩最终达到极限值pM。

15.6 梁的塑性分析

对图15.14a中的静定梁，跨度中点截面上的最大弯矩为4maxPlM。当maxM达到极限弯矩pM时，梁就在最大弯矩的截面上出现塑性铰。这就是梁的极限状态，