总第２６９期
２０１２年第３期 计算机与数字工程 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ＆Ｄｉｇｉｔａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｖ０１．４０ Ｎｏ．３ １１
基于谱的三维随机海浪数值模拟研究
刘鹏吴训涛 （９１５５０部队９１分队大连１１６０２３）
摘要为有效地模拟三维波浪，从已有的统计观测结果出发，应用Ｐ—Ｍ谱和ＳＷＯＰ方向函数的基础上，建立了风浪的三维随机波面
数学模型，该模型采用多个随机余弦波叠加来模拟随机波浪曲面。最后利用Ｍａｔｌａｂ实现了该算法。结果表明这种方法能有效地模拟三维随 机海浪。 关键词海浪谱；方向谱；三维随机海浪模拟 中图分类号ＴＰ３９１
Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ３Ｄ Ｒａｎｄｏｍ Ｗａｖｅ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｗａｖｅ Ｓｐｅｃｔｒｕｍ
ＬＩＵ Ｐｅｎｇ ＷＵ Ｘｕｎｔａｏ （Ｕｎｉｔ ９１５５０ Ｅｌｅｍｅｎｔ ９１ ｏｆ ＰＬＡ，ＤａＬｉａｎ １ １６０２３）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｏ ｓｉｍｕｌａｔｅ ３Ｄ ｗａｖｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｖｉｅｗｐｏｉｎｔ ｏｆ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｒｏｍ ｏｃｅａｎｏｇｒａｐｈｙ，ａ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ３Ｄ ｗｉｎｄ－ｄｒｉｖｅｎ ｒａｎｄｏｍ ｗａｖｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｗａｓ ｂｕｉｌｔ ｕｐ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｐｉｅｒｓｏｎ－Ｍｏｓｃｏｗｉｔｚ ｒａｎｄｏｍ ｗａｖｅ ｈｅｉｇｈｔ ｅｎｅｒｇｙ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｎｄ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｕｇｇｅｓｔｅｄ ｂｙ Ｓｔｅｒｅｏ Ｗａｖｅ Ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ Ｐｒｏｊｅｃｔ（ＳＷＯＰ）．Ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｍａｋｅｓ ｕｓｅ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｃｏｎｓｉｎｅ ｗａｖｅｓ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｎｇｔｏ ｓｉｍｕｌａｔｅ ｒａｎ— ｄｏｍ ｗａｖｅ ｓｕｒｆａｃｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｉｓｐｌａｙ ｏｆ ３Ｄ ｒａｎｄｏｍ ｗａｖｅ ｗｅｒｅ ｒｅａｌｉｚｅｄ ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ Ｍａｔｌａｂ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｍａｘｉｍａｌ ｗａｖｅ ｈｅｉｇｈｔ ｗａｓ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｗａｖｅ ｈｅｉｇｈｔ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｌｅｖｅ１ ｗａｖｅｓ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｓｉｍｕｌａｔｅ ３Ｄ ｒａｎｄｏｍ ｗａｖｅ． Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ ｏｃｅａｎ ｗａｖｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ，ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ，３Ｄ ｒａｎｄｏｍ ｗａｖｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ Ｃｌａｓｓ Ｎｕｍｌ￣ｒ ＴＰ３９１
ｌ 引言
海浪是一种非常复杂的自然现象，受到多种力的作用
与影响，如重力、风力、水下地形的阻力（地形的摩擦力）、以
及地球自转带来的动力等，导致海浪波动规律十分复杂。 国内外的研究者提出了各种不同的模型与算法，大致可归
为四大类：基于几何模型的方法、基于物理模型的方法、基
于统计模型的方法和基于纹理的模拟方法。海浪没有固定
的形状，也无法用经典的几何理论去表示，而且在时间和空
间上都表现出极大的随机性，用一般动力学模型来仿真海
浪，需要解大量偏微分方程组，求解难度很大，经过大量科
研工作者半个多世纪的不懈努力，用统计理论来描述海浪
取得了丰硕的成果，是一种行之有效的方法［１ ５￣８］。
２基于统计模型的海浪仿真理论
海浪是随机的，具有统计规律，这一特点使得应用随机
过程理论来研究海浪成为可能。当一个随机过程的统计特
性不随时间的迁移而变化，称该过程是平稳的。由于海上
的气候条件有季节性的变化，海浪从较短时间可以认为是
一个平稳随机过程。此外，观测证实，波幅 （ ）是正态分布
的。于是，波浪的长期状态可以看成是由许多短期海况的
序列组成，在每一短期海况中，波浪是一个均值为零的平稳 正态随机过程，且此随机过程具有各态历经性。各态历经
性保证某一随机过程的一个具体样本能代替总体，通过这
个样本能推出随机过程的统计特性。对某一海域的仿真研
究就可简化为对该海域一定的时问段内任意一点的统计特
性的研究和仿真。
２．１定点波面模拟模型
根据随机过程理论，可用无限个随机的余弦波的叠加
来描述某一定点波面，其基本的数学模型¨２］：
（￡）一 Ⅱｎｃｏｓ（￣ｔ＋ ） （１） ｎ一１ 式中，ｅ 是Ｏ～２ｎ区间内均匀分布的随机相位；ａ ， 是组
成波的振幅和圆频率。
在研究海浪的特征时，我们通常是对它进行谱分析，即 用谱函数来描述。所谓谱分析就是阐明海浪的能量相对于
波浪频率、波浪传播方向其他独立变量的分布规律，建立函
数关系。对式（１）所表示的波面，它所具有的能量可表示为
Ｅ一∑Ｅ一∑专 ：
一１ ＂＝１ 式中，｜Ｄ表示海水的密度；ｇ为重力加速度。定义一个∞的
函数：
凶 （ ）一 １∑ｎ： 幽一
＊收稿日期：２０１１年９月８日，修回日期：２０１１年１Ｏ月１５日 作者简介：刘鹏，男，硕士，助理工程师，研究方向：计算机仿真。吴训涛，男，工程师，研究方向：航天飞行器结构设计。
１２ 刘鹏等：基于谱的三维随机海浪数值模拟研究 第４Ｏ卷
显然 （ ）与波面在间隔△ 内的平均能量成正比，可
以将它等价为波浪的能量密度，它就是海浪仿真研究的核
心，即海浪谱。
当△ 趋近于无限小时，在△ 区间内的波趋于确定频率
的谐波，故上式可变为： 一￣／２ｓ（ ）△ 。所以，式（１）改写为
ｆ（ ）一＞： ２ｓ（ ） ｃｏｓ（ａ￣，，ｔ＋ｅ ） （２） ｎ‘。一＝ｌ ２．２大面积波面模拟模型 式（２）用于描述固定点的波面，不能反映海浪内部相对
于方向的结构，无法描述大面积内的波面。对于大面积波面
的计算需要考虑方向谱，则式（２）中ｓ（ ）替换为Ｓ（ ， ）一Ｓ
（ ）Ｇ（ ， ），其中Ｇ（ ， ）为方向函数，满足：ｓ（ ）一ｌ ｓ＆ｏ，
０）ｄ０。方向谱的海浪能量和为：∑∑ ， 一ｓ（ ， ０ ）△ ，从而得到ａｍ． 一 ＝＝＝ ，式（２）改写为
ｅ（ｚ，Ｙ， ）一∑∑ ｍ一１＂一ｌ ×ＣＯＳ［ 一ｋ （ｘｃｏｓ０．＋ｙｓｉｒ￣．）＋ ， ］（３）
其中：ａ…， ， ， 分别为单元规则波的波幅、角频率、波
数、传播方向和相位，Ｅｍ， 为随机相位，ｍ、 为频率分割数和
方向分割数， ∈［－－￣／２， ／２］，根据线性波理论可得：ｋ
： ／ｇ。式（３）即大面积波浪高度计算模型。
３基于Ｐ—Ｍ谱的三维海浪模拟
３．１方向谱 Ｐ＿Ｍ谱是Ｍｏｓｃｏｗｉｔｚ于１９６４年对北大西洋上１９５５～ １９６０年的观测资料进行４６０次谱分析求得的ｌ＿２ ］，它代表
充分成长的风浪，在海浪研究及相关的工程问题中得到广
泛运用，Ｐ＿Ｍ谱如式（４）
ｓ（ ）一 ｅｘｐ（－－ｆｌ ） （４）
式中ａ＝８．１×１０＿ ，口一０．７４；Ｕ为海面１９．５ｍ高处的风速。
为了更充分的描述海浪特性，使用方向谱Ｓ（ｏＪ， ）一Ｓ （叫）Ｇ（ ，目），其中Ｇ（ ， ）为方向分布函数，采用波浪立体观
１ 测计划ＳＷＯＰ的公式：Ｇ（ ， ）一 （１＋ｐｃｏｓ２０＋ｑｃｏｓ４０）， Ｊ【 ４ 其中 一０．５＋０．８２ｅｘｐ（～０．５ ），ｑ一０．３２ｅｘｐ（一０．５
＿『Ｏ）４）， 为谱峰频率，满足 ｌ 一０。对方向谱进行 “ “ ＩⅢ一“ 离散化，依据式（３）模拟海浪。
３．２仿真角频率和方向角的确定
Ｐ＿Ｍ谱是窄带谱，频率很低和很高的海浪对波幅的影
响不大，只需选取具有代表性的一段频率进行仿真，就可以 满足精度要求。文中确定端频率的规则为： （ｃＵ）ｌ 一
ｎｓ（ ）， 为谱峰频率， 、 为端频率，由ａ的取值来决
定，这里取０．Ｏ１。频谱离散化时，海浪频率、方向角间隔的
划分采用频率等分法，即：
一—（（０２－－—０）１）， 一 ＋ ｆｎ ｆ ｒＬ
Ａ０一卫，０ｉ一一要＋ ３．３三维波浪模拟 选取长宽为１５０ｍ的海面网格，频率划分为３Ｏ份，方向
角划分为３Ｏ份，通过海况确定风速（表１［ ），运用式（３）利
用Ｍａｔｌａｂ ６．５实现海面波高的计算，计算结果见图１。
表１风浪海情关系表
蒲氏风级
４
８ 风速（ｍ／ｓ） （１．６。３．３） （３．３．５．４） （５．５。７．９） （８．０，１０．７） （１０．８，１３．８） （１３．８，１７．１） （１７．２，２Ｏ．７） 浪高（ｍ）
（０．１，０．５）
（０．５，１．２５） （１．２５，２．５）
（２．５，４．Ｏ）
（４．０，６．０）
图１中模拟的海面宽度为２００ｍ×２００ｍ的正方形区
域，分别为￡一０ｓ和￡一ｌｓ时刻的海面。根据海浪具有各态 历经性，计算仿真区域的三分之一有效波高为：０．７９ｍ（ｔ一
０ｓ）和０．７２ｍ（ 一Ｉｓ）。两者之间的差别主要是因为选择的
计算区域不够大，当计算区域足够大时，在任意时刻的有效
波高是一致的。将仿真所得的有效波高值与标准浪级的波
高参考值进行对比，可以看出，模拟所得结果是可信的。 ｔ＝０时海浪模拟结果 ｆ＝１ ｓ时海浪模拟结果
００
图１ ３级海况仿真结果
４结语
本文从波谱理论出发，利用波谱与波浪振幅的转换关
系，同时考虑海浪内在的方向性，实现了逼真的波面模拟。
该算法中为提高仿真精度，需要增加分频数和分角数，计算
量也将随之变得无法忍受，将导致实时性变差，今后将在波
谱频带的划分和波高的实时模拟开展进一步的研究。
参考文献
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