2014考研数学真题点评：矩阵的合同与相似

来源：文都教育

相似与合同是矩阵的两种重要关系，也是考研数学重要考点之一。今年线性代数的第二道大题考查的就是一般方阵相似的证明。下面我们把相似与合同的判定方法，以及它们之间的关系总结一下：

（1）n 阶方阵A 与B 相似⇒A 与B 特征值相同，反之不成立

（2）n 阶方阵A 与B 特征值相同，且都可对角化⇒n 阶方阵A 与B 相似

（3）实对称矩阵 A 与B 相似⇔A 与B 特征值相同

（4）实对称矩阵A 与B 合同⇔A 与B 具有相同的正惯性指数和秩。

（5）实对称矩阵A 与B 相似⇒实对称矩阵A 与B 合同，反之不成立。

（6）一般n 阶方阵A 与B 相似⇒A 与B 合同

一般n 阶方阵A 与B 合同⇒A 与B 相似

2014真题解析如下：

证明n 阶矩阵

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛n 00200100 相似。 【证明】 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111111 A ，

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n B 00200100 ， 由0||=-A E λ得A 的特征值为n n n ====-λλλ,011

， 由0||=-B E λ得B 的特征值为n n n ====-λλλ,011

。 因为A A T =，所以A 可对角化；

对B ，因为1)()0(==-B r B E r ，所以B 可对角化，

因为B A ,特征值相同且都可对角化，所以B A ~。