2014考研数学真题点评:矩阵的合同与相似
来源:文都教育
相似与合同是矩阵的两种重要关系,也是考研数学重要考点之一。今年线性代数的第二道大题考查的就是一般方阵相似的证明。下面我们把相似与合同的判定方法,以及它们之间的关系总结一下:
(1)n阶方阵A与B相似A与B特征值相同,反之不成立
(2)n阶方阵A与B特征值相同,且都可对角化n阶方阵A与B相似
(3)实对称矩阵 A与B相似A与B特征值相同
(4)实对称矩阵A与B合同A与B具有相同的正惯性指数和秩。
(5)实对称矩阵A与B相似实对称矩阵A与B合同,反之不成立。
(6)一般n阶方阵A与B相似A与B合同
一般n阶方阵A与B合同A与B相似
2014真题解析如下:
证明n阶矩阵111111111与n00200100相似。
【证明】
令111111111A,nB00200100,
由0||AE得A的特征值为nnn,011,
由0||BE得B的特征值为nnn,011。
因为AAT,所以A可对角化;
对B,因为1)()0(BrBEr,所以B可对角化,
因为BA,特征值相同且都可对角化,所以BA~。