2014考研数学真题点评：矩阵的合同与相似

来源：文都教育

相似与合同是矩阵的两种重要关系，也是考研数学重要考点之一。今年线性代数的第二道大题考查的就是一般方阵相似的证明。下面我们把相似与合同的判定方法，以及它们之间的关系总结一下：

（1）n阶方阵A与B相似A与B特征值相同，反之不成立

（2）n阶方阵A与B特征值相同，且都可对角化n阶方阵A与B相似

（3）实对称矩阵 A与B相似A与B特征值相同

（4）实对称矩阵A与B合同A与B具有相同的正惯性指数和秩。

（5）实对称矩阵A与B相似实对称矩阵A与B合同，反之不成立。

（6）一般n阶方阵A与B相似A与B合同

一般n阶方阵A与B合同A与B相似

2014真题解析如下：

证明n阶矩阵111111111与n00200100相似。

【证明】

令111111111A，nB00200100，

由0||AE得A的特征值为nnn,011，

由0||BE得B的特征值为nnn,011。

因为AAT，所以A可对角化；

对B，因为1)()0(BrBEr，所以B可对角化，

因为BA,特征值相同且都可对角化，所以BA~。