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2014考研数学真题点评矩阵的合同与相似

2014考研数学真题点评:矩阵的合同与相似

来源:文都教育

相似与合同是矩阵的两种重要关系,也是考研数学重要考点之一。今年线性代数的第二道大题考查的就是一般方阵相似的证明。下面我们把相似与合同的判定方法,以及它们之间的关系总结一下:

(1)n阶方阵A与B相似A与B特征值相同,反之不成立

(2)n阶方阵A与B特征值相同,且都可对角化n阶方阵A与B相似

(3)实对称矩阵 A与B相似A与B特征值相同

(4)实对称矩阵A与B合同A与B具有相同的正惯性指数和秩。

(5)实对称矩阵A与B相似实对称矩阵A与B合同,反之不成立。

(6)一般n阶方阵A与B相似A与B合同

一般n阶方阵A与B合同A与B相似

2014真题解析如下:

证明n阶矩阵111111111与n00200100相似。

【证明】

令111111111A,nB00200100,

由0||AE得A的特征值为nnn,011,

由0||BE得B的特征值为nnn,011。

因为AAT,所以A可对角化;

对B,因为1)()0(BrBEr,所以B可对角化,

因为BA,特征值相同且都可对角化,所以BA~。

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