多相物质的有效导热系数󰂍

周孑民　李长庚　刘健君

(中南工业大学应用物理与热能工程系,长沙,410083)

摘　要　对由固体球状颗粒和经历了相变的充填物所组成的多相充填床建立了数学模型,对充填物的熔化和凝固过程进行了数值计算,并在此基础上计算了由不同相所组成的区域内的有效导热系数.运用特殊的数学方法处理相变过程中潜热的释放或吸收,分析了导热参数的变化对有效导热系数的影响.得出有效导热系数的计算结果:对于玻璃球2冰充填床,为1156W/(m・K),和实验结果的相对误差为215%;对玻璃球2水充填床,为0178W/(m・K),和实验结果的相对误差为318%.这表明:用数值计算的方法研究多相物质的有效导热系数是一种行之有效的手段.关键词　多相充填床;数学模型;数值计算;相变;有效导热系数分类号　TF061121

在分析多孔物质导热过程时,其有效导热系数

是一个十分重要的参数.人们对由球状粒子和静止

流体所组成充填床中的热传递过程进行了深入的研

究,推导出计算充填床有效导热系数的方法[1～3].

当一种液体充填于充填床中的空隙处,并且整个充

填床的温度在(液体)凝固点附近变化时,充填床的

空隙处便有相变发生,整个充填床的热传递过程也

变得相当复杂.除了固体粒子和充填物热物性之间

存在差别之外,重要的是在空隙中产生了一个随时

间变化而移动的相界面,并把其分成有不同热物性

的两相,三相物质的热物性将影响热量的吸收、释

放和相界面的移动.在这种情况下,充填床的有效

导热系数在球粒子2液体区和球粒子2固体区的值是

不相同的.为此,作者运用建立的数学模型模拟在

充填床中的导热和相变过程,计算不同相所组成区

域的有效导热系数,考察不同因素影响有效导热系

数的程度.

1　数学模型和方程

111　计算区域

为了简化模型,假定充填床由大小均匀的球粒

子以立方格子堆积而成,所组成的容器中空隙率为

4716%.加热从容器顶端表面均匀地进行,在底端表

面冷却,容器侧面无热量损失.系统的每单位容积是

包含1个球且边长等于球直径的立方体.这是1个

三维几何问题,为了简化,很有必要把它转化成具有圆柱对称性的二维几何问题.为了做到这一点,假想

有这样1个圆柱体:其在z轴方向的高度等于球的直径;在径向r方向,其半径为球的半径加上液体

层的厚度;而液体层的容积为边长等于球的直径的立方体容积与高和直径都等于球的直径的圆柱体容

积之差,可以算出液体层的厚度为球直径的618%.

由于在圆周φ方向的热流量很小,所以假定温度沿

φ方向是均匀分布的.运用这种处理方法,可得到1

个二维的计算区域.在计算时,轴向和径向被分别分

成48个和30个控制容积.

112　数学模型

由于计算区域是三维的柱坐标系中任意通过圆

柱轴的1个半平面,因而在计算区域内的热传导方

程即可通过柱坐标系中的热传导方程去掉φ方向

的分量而得[4]:

ρcp5T5t=55r(κ5T5r)+1r(κ5T5r)+55z(κ5T5z)

(1)

式中:r为径向坐标;z为轴向坐标;ρ为密度;cp为比热容;T为热力学温度;t为时间;κ为导热系数.要解这个方程,应对球区域和空隙区域(可能是液体或固体)采用相应的正确的热物性数据.方程式(1)给出了研究凝固过程、熔化过程和热平衡的基本方程,代入正确的初始条件和边界条件便可对这3种过程分别进行数值计算.

a1

凝固过程:

t=0,T=Tm;

t>0,z=0,T=Tc

收稿日期　1998206203 第一作者　周孑民,男,49岁,教授,博士生导师󰂍国家自然科学基金资助项目第30卷第2期1999年4月 中南工业大学学报J.CENT.SOUTHUNIV.TECHNOL. Vol.30　No.2April　1999r=rmax,5T5r=0.

b1熔化过程:

t=0,T=Tm;

t>0,z=2r,T=Th>Tm;

r=rmax,5T5r=0.

c1热平衡过程:t>0,z=0,T

z=2r,T>Tm;

r=rmax,5T5r=0.

其中:Tm为空隙处液体的凝固/熔化相变温度;Tc为凝固过程中施加于充填床下端面的温度,其值小

于Tm;Th为熔化过程中施加于充填床上端面的温

度,其值大于Tm.

由于采用了几何对称,故没有径向的热流通过

计算区域的侧向边界.在空隙中的固液界面处,有热

量的传递.在凝固过程中,释放的热量传导给下面较

冷的边界Tc,而在熔化过程中,热量从热的上边界

Th传递给相界面.相界面的温度一直维持在Tm,区

域中各点的温度值只有在该点的相变过程完全完成

后才会发生变化.为了准确地描述这个现象,定义一

个很小的温度变化值ΔT,在2ΔT范围内相变过程

发生,且在此范围内潜热被认为是一个特殊的比热

容,用如下条件进行描述:

a1T>Tm+ΔT,cp=cpl;

b1Tm+ΔT≥T≥Tm-ΔT

cp=(cpl+cps)/2+L/(2ΔT);

c1T

其中:cpl和cps分别为空隙中物质的液态和固态的比

热容;L是其单位质量的相变潜热能.计算中取ΔT

=01001K.

对每一个控制容积,可将方程(1)转化为有限差

分方程.在运用块修正方法防止迭代过程中的发散

后,可用TDMA法(三对角矩阵算法)求解这些方程

组[5].研究相界面的等温线很有意义,因为它表明了

热源或热汇的位置.在凝固过程中相界面是热源,在

熔化过程中为热汇.相界面的位置和温度值是定义

和计算充填床有效导热系数重要的参数.相界面的

位置除了由实验方法确定之外,也可从等温线的位

置进行确定.

113　有效导热系数

对于经历相变的各向同性的材料,用分析解的方法求解热传导方程,在许多文献中均有报道.作者

以M.N.Ozisik的分析为基础[6],从实验数据推导出

计算相界面处固相或液相的有效导热系数,其表达

式为[7]:

κ=φρLΔx/ΔtΔT/Δx(2)

式中:φ为空隙率;Δx为容器内相界面与相变起始

位置之间的距离;ΔT是在Δx上的热力学温度差.

计算时,取2r=015mm,Δt=0.01s.

2　结果与讨论

图1显示了在一个计算区域中玻璃球2水2冰系

统组成充填床中热传递过程数值计算的结果.其初

始条件如下:假设空隙处的水全部凝固且系统温度

保持在0℃.当t=0时,在z=2r的顶端处,温度突

然升高到3℃,热量进入这个系统一部分是通过球

的传导,另一部分是通过熔化冰的界面.经过20s

后,系统的等温线如图1a所示,经过25s之后系统

的等温线如图1b所示.其中,z2r平面代表通过圆柱

轴的1个半平面.

a—t=20s;温度θ/℃:1—011875;2—013570;3—015625;4—017500;5—019375;6—111250;7—113125;8—115000;9—116875;10—118750;11—210625;12—212500;13—214375;14—216250;15—218125b—t=25s;温度θ/℃:1—013750;2—015625;3—017500;4—019375;5—111250;6—113125;7—115000;8—116875;9—118750;10—210625;11—212500;12—214375;13—216250;14—218125;15—310000图1　充填床热传递的等温线512第2期 周孑民等:多相物质的有效导热系数 从图1可以看出:在20s时,等温线1(见图1a)

已到达球的下端面,相界面已通过第1个球,这意味

着熔化过程结束,但等温线在玻璃球2水区域的分布

并不是很均匀;而在25s时,其温度分布要相对均匀

一些,这从等温线分布的比较便可得出.经计算,大

约经过50s后其等温线的分布是一些相对平行的曲

线.由于玻璃球的导热系数比水的大,在玻璃球表面

的热量大部分传导给球,所以等温线在球的表面有

一定程度的弯曲.从图1可以清楚地看到1个半球

的轮廓.

图2显示了熔化过程中在3个球的计算区域进

行数值计算所得的结果,其顶端的温度也为3℃.可

以看出:在最初的几秒钟,由于计算的不规则性,κe随时间显著变化,在20s之后,κe趋近于常数;在t

=50s时,热流开始通过最下面一个球的底端面,

并

且也随时间发生显著变化;在80s之后,熔化过程结

束,热流趋近为常数,系统进入稳定导热状态,这时

可用Fourier第一定律求有效导热系数.

1—κe2t;2—Φ2t;3—d2t图2　熔化过程有效导热系数κe、热流量Φ、

相界面位置d与时间t的关系

对于凝固过程,也可以得出相似的图.只不过由

于冰的导热系数比水的要大,所以其凝固过程比熔

化过程要快.

为了验证(2)式的正确性,对纯水和纯冰的相变

进行数值计算,得到的有效导热系数在误差允许的

范围内即为纯水和纯冰的导热系数.变动格点的数

目观察其对κe的影响,发现格点数目在30～100之

间变动时对κe的影响相对误差不超过5%.如果球

的塑性形变较大且其导热系数远远大于充填物的导

热系数,则必须考虑球与球之间接触面积的影响,球与球之间通过接触面积传导的热量成为不可忽视的

因素,它影响κe的大小.在本文设定的条件下,接触

面积对κe的影响不超过1%.

将数值计算所得结果和实验所得的结果相比较

可知[7]:对玻璃球2冰充填床所计算的κe为1156

W/(m・K),实验结果为1160W/(m・K),二者相对

误差为215%;而对玻璃球2水充填床计算的κe为

0178W/(m・K),实验结果为0181W/(m・K),相对

误差为318%.可见,计算结果和实验结果比较吻合.

3　结　论

a1对充填床建立一个数学模型,在这个模型的

基础上,能对充填床中所发生的热传递与相变过程

进行数值计算.经过检证,这个模型是合理的、有用

的,数值计算的结果是准确可靠的.运用这个模型还

能求解包括熔化、凝固、相平衡、无相变的瞬时热传

递、稳态热传递的所有过程.

b1推导出的有相变充填床有效导热系数的表

达式正确、可靠,可用来计算实际充填床空隙处熔化

或凝固过程的有效导热系数,并可分析导热的参数

变化时对κe的影响.

c1数值计算的结果能和实验结果或文献中的结

果很好地相吻合,误差小,说明采用数值计算的方法

研究多相物质的有效导热系数是行之有效的.

参　考　文　献

1　WakaoN,KatoK.Effectivethermalconductivityofpackedbeds.JChemEngofJapan,1969,2(1):24～332　DuncanAB,PetersonGP,FletcherLS.Effectivethermalconductiv2itywithinpackedbedsofsphericalparticles.TranscactionsoftheASME,1989,111(11):830～8363　HadleyGR.Thermalconductivityofpackedmetalpowders.IntJHeatandMassTransfer,1986,29(6):909～9204　陶文铨.数值传热学.西安:西安交通大学出版社,1988.79～825　PatankerSV.Computationofconductionandductflowheattrans2fer.MapleGrove:InnovativeResearchInc,1991.84～886　OzisikMN.Heatconduction.NewYork:WileyInterscience,1980.

102～1057　LamvikM,ZhouJM.Experimentalstudyofthermalconductivityofsolidandliquidphaseatthephasetransition.IntJofThermophysics,1995,16(2):567～576612中南工业大学学报 第30卷