顺风向结构风致响应公式推导
0 引言
近些年来，由于全球气候变暖,风灾变得更为频繁,在所有自然灾害中，风灾造成的经济损失已经跃居各种自然灾害之首。每年造成全球经济损失达数百亿甚至千亿美元,而我国东南沿海地区又是受风灾影响比较严重的区域。同时，随着土木工程结构向着高、大跨、柔、轻质和低阻尼方向发展，结构对风的敏感性大大增强，与结构损坏有关的风灾屡见不鲜，风荷载正在逐渐成为结构设计时的控制荷载之一，国内外工程技术人员对建筑物的抗风设也计越来越重视。
在研究风对结构的作用时，一般将其分为平均风和脉动风。本文主要讨论顺
风向的结构风致响应。顺风向的结构风致响应是在平均风和脉动风共同作用下产生的。我国建筑和在规范规定，对于高度高于30m且高宽比大于1.5的房屋结构，对于基本自振周期不大于0.25s的塔架、桅杆、烟囱等高耸结构，应考虑到风压脉动引起的结构动力效应。由于脉动风的卓越周期在一分钟左右，而高、柔、大跨度结构的基本周期也只在几秒这个数量级，因此结构愈柔，基本周期愈长，顺风向的风致响应就愈大。目前关于结构顺风向风致响应的计算方法一般是基于加拿大Davenport在20世纪60年代提出并不断发展完善的。依据该方法，顺风向的结构总风致响应由平均风响应、脉动风响应组成，其中脉动风响应包括背景响应和共振响应。图0-1（A）表示了时域内的平均响应r、背景响应Br和共振响应Rr，图0-1（B）表示了频域内的背景均方响应2Br、前三阶共振均方响应21Rr、22Rr和23Rr。下面主要探讨下单自由度和多自由度结构的顺风向风致响应。
图0-1 平均、背景和共振响应 1 单自由度结构顺风向风振响应
结构的自由度数等于确定其各部分位置所需参数的数目。有很多结构，将其假定为单自由度结构，在计算其顺风向动力响应时能获得合力准确的计算结果。在计算结构的顺风向响应时，仅考虑顺风向部分的湍流速度分量u，其他湍流分量对结构的振动响应影响不显著。
一般单自由度结构可视为点状结构，计算模型可假定为质量为m的质点支承在刚度系数为k的弹簧上，同时与弹簧平行的方向有阻尼系数为c的黏滞阻尼。位移u的运动方程为：
totFkuucum... （1.1）
式中，totF为作用在结构上的顺风向荷载。荷载totF的表达式为：
2.)(21uvUACFDtot （1.2）
式中，DC为空气阻力系数；A是垂直平均风方向的结构受荷载面积。顺风向荷载取决于风与结构的相对速度，即与结构振动的速度.u有关系。因为，一般情况下平均风速U比纵向湍流的速度v要大得多，所以有如下近似：
.22.22)(uUUvUuvU （1.3）
全部的风荷载可分为三部分：平均风荷载qF、由湍流产生的脉动荷载tF及气动阻尼所产生的荷载aF：
atqtotFFFF （1.4）
221UACFDq （1.5）
vUACFDt （1.6）
..ucuUACFaDt （1.7）
UACcDa （1.8）
气动阻尼常数ac与结构自身阻尼c相加可得合租尼0c： ccca0 （1.9）
所以有平均风位移响应：
221UACkkFDq （1.10）
结构位移的自谱)(nS表达式为：
)(|)(|)(2nSnHnSF （1.11）
式中，)(nH为结构的频率响应函数；)(nSF为函数自谱。
风荷载自谱可由下式确定：
)(4)()()(222nSUFnSUACnSuquAF （1.12）
因此，位移u的方差可通过对式（1.11）中的自谱积分求得：
dnnSnHkUkFdnnSuuuq0222222202)(|)(|4)( （1.13）
再将湍流强度UIuu代入上式，并利用式（1.10），可得：
dnnSnHkIuuu0222)(|)(|2 （1.14）
所以，总的风致响应：
dnnSnHkIuuu0222)(|)(|2
顺风向的结构总风致响应由平均风响应、脉动风响应组成，其中脉动风响应包括背景响应和共振响应。
一、平均风响应
在顺风向，平均风致响应可通过平均风荷载与影响函数得到
iiiHdzzzizpzr),()()(0 （1）
式（1）中：
)(zr表示在结构z高度处的某一响应均值
)(izp表示作用于结构高度iz处的线平均风力
),(izzi表示在iz高度处作用一单位力在z高度处产生的某一响应值，也称影响函数，包括位移、剪力和弯矩影响函数等，其任意高度z的表达式如下：
0z-z 0-0z1z 01)()(),(iiii*）时，取；当时，取（当弯矩或）时，取；当时，取剪力（当或阶位移第zzzzzzzzjKzzzziiijijji（2）
式（2)中，)()(ijjzz和表示某高度处的第j阶阵型坐标，*jK代表第j阶广义刚度。在竖向悬臂结构中，一般考虑第一阶阵型的影响。在（2)中，最为关心的是顶部（z=H)位移、底部（z=0)剪力与弯矩的影响函数。
二、脉动风响应
一竖向悬臂结构，在与风垂直的迎风表面xz上，1M点和2M点的坐标分别为),,''zxzx）和（（，准定常假定成立，作用于迎风面上这两点的脉动风压分别为),,(),,(''tzxwtzxw和，其表达式为
(b) ),()()(),,((a) ),()()(),,(''2''1tzzMCtzxwtzzMCtzxwDD
由强风观察结果分析得出，式（a)和式（b)中的流脉动风速),),('tztz（和大体上服从正态分布规律，脉动风速的均值0)(E，并且由前述脉动风的记录可近似作为平稳各态历经的随机过程。
1、运动方程
工程中受风敏感的高层建筑或高耸结构，属竖向一维悬臂结构，这类结构沿竖向的质量和刚度分布可以不均匀，随高度发生变化，现将其抽象为一维悬臂的无限自由度体系。
由随机振动的振型分解方法，任意高度z处的水平位移),(tzyd可表示为
11)()(),(),(jjjjdjdzqztzytzy （3）
式中 ),(tzydj——第j振型的动位移；
)(zj——第j振型z高度处的坐标；
)(zqj——第j振型的广义坐标。
假设振型)(zj对质量分布和刚度分布正交，阻尼项采用瑞雷阻尼，可得第j振型的运动方程：
)()()2()()2(2)(2tFtqntqntqjijjjji （4） 式中，HBjjjzdxdzztzxwMtF00*)()(),,(1)( （5）
式中 ),,(tzxw——脉动风压；
zB——建筑物z高度处的迎风面宽度；
H——建筑物总高；
*jM——建筑物第j振型的广义质量，其表达式如下：HjjdzzzmM02*)()( （6）
式中，)(zm为建筑物z高度处单位长度的分布质量。
2、位移响应根方差
由维纳-辛钦关系式，第j振型和第k阶振型广义力互谱密度)(nSkjFF由其互相关函数),,,,(''zzxxRkjFF得到：
detFtFdezzxxRnSnikjniFFFFkjkj22'')()(),,,,()( （7）
由式（5）和（7）可进一步写作
dzdxdzdxnzzxxSzzMMdzdxdzdxMMdetzxwtzxwzzdeMdzdxztzxwMdxdzztzxwnSwkHHBBjjjjjnikHHBBjnijHBkjHBjFFzzzzzzkj'''''0000**''**2'''00002*00'''''*00),,,,()()(1]),,(),,([)()(])(),,()(),,([)()()'()()'()()(•
（8）
式（8）中，),,,,(''nzzxxSw为21,MM两点脉动风压互谱密度，为
detzxwtzxwdezzxxRnzzxxSniniww2''2'''']),,(),,(),,,,(),,,,( （9）
式（9）中，),,,,(''zzxxRw为21,MM两点脉动风压互相关函数。
由式（a)和（b)，可写出： ),,,,()()()()(),,()()(),,()()(),,,,('''2122'''21''nzzxxSzzMCMCdetzxzMCtzxzMCnzzxxSDDniDDw （10）
引入脉动风相干函数的平方根),,(21nMMRxz后，
)(),,()()(),,(),,(),,(),,(),,,,(2121''21''nSnMMRnSnSnMMRnzxSnzxSnMMRnzzxxSxzxzxz （11）
将式（10）连同式（11）带入式（8）中，可得：
dzdxdzdxnMMRnSzzMCMCzzMMnSxzDDkHHBBjjjFFzzkj''21'212'0000**),,()()()()()()()(1)()()'(（12）
忽略交叉项后，式（12)写为
)()()()(),,())(()()()()()(2*2212''212''00002*2212)()'(nJMnSMCMCdzdxdzdxnMMRHzzzzMnSMCMCnSjHDDxzkHHBBjjHDDFzzj
（13）
式（13）中，)()(21MCMCDD和分别为21MM和的平均压力系数，)()(,)()('-H'--H-HzzHzz，这里，-H为来流在建筑物顶部高度的平均风速。
按阵型分解随机振动理论，结构水平动位移响应的功率谱密度),(nzSy为
(14) )()()H(-)()(),(kk11nSininHzznzSkjFFjmjmjjy
]2)(1[)n(21)(]2)(1[)n(21)(-22k22jkkkkjjjjnninninHnninninH