图像的几何不变矩矩特征主要表征了图像区域的几何特征,又称为几何矩，由于其具有旋转、平移、尺度等特性的不变特征，所以又称其为不变矩。
在图像处理中，几何不变矩可以作为一个重要的特征来表示物体，可以据此特征来对图像进行分类等操作。
1.HU矩几何矩是由Hu(Visual pattern recognition by moment invariants)在1962年提出的，图像f(x，y)的(p+q)阶几何矩定义为Mpq =∫∫(x^p)*(y^q)f(x，y)dxdy(p，q = 0，1，……∞）矩在统计学中被用来反映随机变量的分布情况，推广到力学中，它被用作刻画空间物体的质量分布。
同样的道理，如果我们将图像的灰度值看作是一个二维或三维的密度分布函数，那么矩方法即可用于图像分析领域并用作图像特征的提取。
最常用的，物体的零阶矩表示了图像的“质量”：Moo= ∫∫f(x，y )dxdy一阶矩(M01，M10)用于确定图像质心( Xc，Yc)：Xc = M10/M00;Yc = M01/M00;若将坐标原点移至Xc和Yc处，就得到了对于图像位移不变的中心矩。
如Upq =∫∫[(x-Xc)^p]*[(y-Yc)^q]f(x，y)dxdy。
Hu在文中提出了7个几何矩的不变量，这些不变量满足于图像平移、伸缩和旋转不变。
如果定义Zpq=Upq/(U20 + U02)^(p+q+2)，Hu 的7种矩为：H1=Z20+Z02;H1=(Z20+Z02)^2+4Z11^2;......矩是描述图像特征的算子，它在模式识别与图像分析领域中有重要的应用．迄今为止，常见的矩描述子可以分为以下几种：几何矩、正交矩、复数矩和旋转矩．其中几何矩提出的时间最早且形式简单，对它的研究最为充分。
几何矩对简单图像有一定的描述能力，他虽然在区分度上不如其他三种矩，但与其他几种算子比较起来，他极其的简单，一般只需用一个数字就可表达。
所以，一般我们是用来做大粒度的区分，用来过滤显然不相关的文档。
比如在图形库中，可能有100万幅图，也许只有200幅图是我们想要的。
使用一维的几何矩的话，就可以对几何矩进行排序，建立索引，然后选出与目标图的几何矩最近的2000幅图作比较就好了。
而对于其他的矩来说，由于一般是多维的关系，一般不好排序，只能顺序查找，自然速度有巨大的差别.所以。
虽然几何矩不太能选出最像的，但可以快速排除不像的，提高搜索效率。
几种简单的几何矩：令平面上点坐标为P(x,y),重心为C(x!,y!),二阶行距：rowMoment = [∑（x- x!）*（x- x!）]/A二阶列距：colMoment = [∑（y- y!）*（y- y!）]/AA为点的个数。
由以上两个信息可以算出图形的圆度：circleDisgree = rowMoment /colMoment .如果图形的circleDisgree 越小于1，则它越趋向于长轴为y方向的椭圆。
如果图形的circleDisgree 越大于1，则它越趋向于长轴为x方向的椭圆.如果图形的circleDisgree 越接近于1，则它越趋向于圆。
所以我们可以使用圆度这种几何矩，对其进行索引，实现快速过滤。
//代码实例double* Getsquare(int **Array1,int Width,int Height//Array1图像灰度矩阵{int x,y;double pSum,dx,dy;int xmax,xmin,ymax,ymin,xSum,ySum,PointSum;double dd,n1,n2,xAve,yAve;pSum=Height*Width;xSum=0;ySum=0;PointSum=0;xmin=10000;ymin=10000;xmax=-1;ymax=-1;for (y=0 ;y<Height; y++){for (x=0; x<Width; x++){if (Array1[x][y]==255){continue;}xSum=xSum+x;ySum=ySum+y;++PointSum;if (x<xmin){xmin=x;}if (x>xmax){xmax=x;}}if (y<ymin){ymin=y;}if (y>ymax){ymax=y;}}if (pSum==0){goto Loop;}xAve=xSum/pSum;yAve=ySum/pSum;///////////////////////////////////////////上面为计算x,y平均值for (x=1; x<16; x++){SqureNumber[x]=0;}// 11 20 02 21+ 21- 12+ 12- 30+ 30- 03+ 02-for (y=0; y<Height; y++){for (x=0; x<Width; x++){if (Array1[x][y]==255){continue;}dx=x-xAve;dy=y-yAve;SqureNumber[1]=SqureNumber[1]+dx*dx; // 计算u(11) 11SqureNumber[2]=SqureNumber[2]+dx*dx; // 计算u(20) 20SqureNumber[3]=SqureNumber[3]+dy*dy; // 计算u(02) 02if (dy>0){SqureNumber[4]=SqureNumber[4]+dx*dx*dy; // 计算u(21)+ 21+ }else{SqureNumber[5]=SqureNumber[5]+dx*dx*dy; // 计算u(21)- 21-}if( dx>0 ){SqureNumber[6]=SqureNumber[6]+dx*dy*dy; // 计算u(12)+ 12+ }else{SqureNumber[7]=SqureNumber[7]+dx*dy*dy; // 计算u(12}- 12-}if (dx>0 ){SqureNumber[8]=SqureNumber[8]+dx*dx*dx ;// 计算u(30)+ 30+ }else{SqureNumber[9]=SqureNumber[9]+dx*dx*dx; // 计算u(30)- 30-}if (dy>0){SqureNumber[10]=SqureNumber[10]+dy*dy*dy ;// 计算u(03)+ 03+}else{SqureNumber[11]=SqureNumber[11]+dy*dy*dy;// 计算u(03)- 03-}}//end for x}// end for y;for (x=1; x<12; x++){SqureNumber[x]=SqureNumber[x]/pSum;}///////////////////////////////////////////////////////计算图像的各阶矩for (x=12; x<21; x++){SqureNumber[x]=0;}SqureNumber[12]=((SqureNumber[2]-SqureNumber[3])/(SqureNumber[2]+SqureNumber[3]))/2; //长宽比特征dd=sqrt((SqureNumber[2]-SqureNumber[3])*(SqureNumber[2]-SqureNumber[3])+4*SqureNumb er[1]*SqureNumber[1]);dd=dd+(SqureNumber[2]-SqureNumber[3]);SqureNumber[16]=2*atan(dd/(2*SqureNumber[1]))/M_PI; ///字型倾斜度dd=sqrt((SqureNumber[2]-SqureNumber[3])*(SqureNumber[2]-SqureNumber[3])+4*SqureNumb er[1]*SqureNumber[1]);n1=((SqureNumber[2]+SqureNumber[3])+dd)/2;n2=((SqureNumber[2]+SqureNumber[3])-dd)/2;SqureNumber[14]=(n1-n2)/(n1+n2); //拉长度n1=sqrt((ymax-ymin)*(xmax-xmin));dd=sqrt((SqureNumber[2]+SqureNumber[3])/PointSum);SqureNumber[15]=dd/n1; //伸展度dd=(SqureNumber[8]-SqureNumber[9])/(SqureNumber[8]+SqureNumber[9]);SqureNumber[16]=(dd+1)/2; //水平偏移度dd=(SqureNumber[10]-SqureNumber[11])/(SqureNumber[10]+SqureNumber[11]); SqureNumber[17]=(dd+1)/2; //垂直偏移度dd=(SqureNumber[4]-SqureNumber[5])/(SqureNumber[4]+SqureNumber[5]);SqureNumber[18]=(dd+1)/2; //水平伸展度度dd=(SqureNumber[6]-SqureNumber[7])/(SqureNumber[6]+SqureNumber[7]);SqureNumber[19]=(dd+1)/2; //垂直伸展度Loop:;}2.Zernike矩在模式识别中,一个重要的问题是对目标的方向性变化也能进行识别。
Zernike 矩是一组正交矩,具有旋转不变性的特性,即旋转目标并不改变其模值。
由于Zernike 矩可以构造任意高阶矩,所以Zernike 矩的识别效果优于其他方法.Zernike 提出了一组多项式{ V nm ( x , y) } 。
这组多项式在单位圆{ x2 + y2 ≤1} 内是正交的,具有如下形式: V nm ( x , y) = V nm (ρ,θ) = Rnm (ρ) exp ( jmθ) ,并且满足∫∫x^2+y^2 <= 1 [( V nm ( x , y) 的共轭]* V pq ( x , y) d x d y. = [pi/(n+1)]*δnpδmq .if(a==b) δab = 1 else δab = 0，n 表示正整数或是0；m是正整数或是负整数它表示满足m的绝对值<=n 而且n-m的绝对值是偶数这两个条件；ρ表示原点到象素（x，y）的向量的距离；θ表示向量ρ跟x 轴之间的夹角（逆时针方向）.对于一幅数字图象,积分用求和代替,即 A nm =∑x∑y f(x,y) *[( V nm (ρ,θ) 的共轭],x^2+y^2 <=1实际计算一幅给定图象的Zernike 矩时,必须将图象的重心移到坐标圆点,将图象象素点映射到单位圆内。