第九章 流动与传热的数值计算
§9-1 数值计算的基本思想 *§9-2 流动与传热的数值计算 §9-3 Saints2D软件简介
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HUST Lab of Thermal Science & Engineering
首先，我们以导热问题为例，介绍计算区域离 散化的概念、内节点与边界节点方程式的建立 方法、节点方程组的求解过程，以及非稳态导 热问题的显示与隐示差分格式。 然后，介绍在上述思想的基础上开发的流动与 传热计算软件Saints2D，并给出传热问题虚拟 实验的计算示例。
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在图中可以看出有限差分表示的温度场与真实 温度场的区别。图中用T0、T1、T2…表示连续 的温度场T；Δx为步长，它将区域的x方向划分 为有限个数的区域，Δx0、Δx1、Δx2…，它们 可以相等，也可以不相等。 当Δx相等时，T1处的真实 变化率a可以用平均变化 率b、c或d来表示，其中b、 c和d分别表示三种不同差 分格式下的温度随时间的 变化率
τ
N W N W N
P P
E
S E
Δy
W
P
S E
K-1时刻 K时刻 K+1时刻 x
S
Δx
计算区域就被这些网格线分隔成一系列的小的 区域，称为控制面积，对于三维情况则为控制 体积或控制容积，因而在一般意义上称之为控 制体；控制体的中心点称为节点。
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传 热 学
主讲：刘志春 能源与动力工程学院 华中科技大学
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从上面的分析不难看出，当我们要对流动与传 热问题进行数值求解时一定要采取三个大的步 骤，即：
a) 研究区域的离散化； b) 散点（节点）差分方程的建立； c) 节点方程（代数方程）的求解。
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T
a
T0 b
T1
T2
c T3
d
Δ x0 Δ x1Δ x2 Δ x3
x
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b为向后差分格式
dT1 T ( x1 ) T ( x1 x) dx x
a T0 b T1 T2 c T3
c为向前差分格式
dT1 T ( x1＋x) T ( x1 ) dx x
T
d
d为中心差分格式
dT1 T ( x1 x) T ( x1 x) dx 2x
Δ x0 Δ x1Δ x2 Δ x3
x
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1 时间与空间的离散化 进行数值求解Байду номын сангаас,首先是 在所研究的时间和空间 区域内把时间和空间分 割成为有限大小的小区 Δ y 域。 图表示了长柱体矩形截 面上区域离散化的情况。 τ
这种差分格式可推广到高阶微商（导数）。 对于二阶导数的差分格式可以在一阶差分格式 的基础上得出：
d 2T1 T ( x1 x) 2T ( x1 ) T ( x1 x) 2 dx (x) 2
这样处理后，反映温度场随时间、空间连续变 化的微分方程就可以用反映离散点间温度线性 变化规律的代数方程来表示。 当利用相应的数学办法求解这些代数方程组之 后，我们就能获得离散点上的温度值。这些温 度值就可以近似表示温度场的连续的温度分布。
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控制体的形状是随着坐标系的不同而改变的， 这里的控制体是一个个的矩形面积。网格的步 长在每一个方向上可以均匀划分，也可以不均 匀的划分；所得到网格，相应地被称为均匀网 格或者非均匀网格。 选用不同的步长和不同的划分方法，可以将同 一区域划分出不同大小、不同数目的控制区域， 以及不同数目的节点数。
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§9-1 数值计算的基本思想
数值求解通常是对微分方程直接进行数值积分 或者把微分方程转化为一组代数方程组再进行 求解。这里要介绍的是后一种方法。 如何实现从微分方程到代数方程的转化又可以 采用不同的数学方法，如有限差分法、有限元 法和边界元法等。这里仅向读者简要地介绍用 有限差分方法从微分方程确立代数方程的处理 过程。
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有限差分法的基本思想是把原来在时间和空间 坐标中连续变化的物理量（如温度、压力、速 度和热流等），用有限数目的离散点上的数值 集合来近似表达。 有限差分的数学基础是用差商代替微商（导 数）。 几何意义是用函数在某区域内的平均变化率代 替函数的真实变化率。
y
N W N W N W
P P S E P
E
S E
K-1时刻 K时刻 K+1时刻 x
S
Δx
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y
对于给定的空间区域， 在x方向上的步长为Δx， 在y方向上的步长为Δy， 用它们作为空间尺度可 以将矩形区域划分成纵 横交错的网格系统。