作业1： 1、多目标优化的基本方法是什么？ 答：1）传统方法 绝大多数传统的多目标优化方法是将多个目标通过某种技术转换为一个或者一系列的单目标的

优化问题，然后再借助数学规划工具求解一个或一系列单目标优化问题来完成多目标优化问题的求解。常见的传统优化方法有：加权求和法、约束法和目标规划法。 (1)加权求和法 该方法就是将多目标优化中的各个目标函数加权(即乘以一个用户自定义的权值)然后求和，将其转换为单目标优化问题进行求解。 利用加权求和可以将多目标优化转化为以下形式：

xtosubjectxfXFMinimize

m

iii1

通过选取不同的权重组合可以获得不同的Pareto最优解。这也是最为简单有效的一种求解多目标优化问题的经典方法，而且对与Pareto最优前端为凸的多目标优化问题，这种方法可以保证获得Pareto最优解。 (2 )约束法 约束法的实质是在多目标优化问题中选取其中的一个子目标作为新优化问题的目标函数，将其它子目标转化为约束条件。设选取的子目标为第k个子目标，则其它n-1个子目标转化为约束条件。其表达式如下： max)min(& )1)(()(Nkxfxfyk

..ts ),2,1,,1()()(Nnkinixfxgiii

],,[21Ddxxxxx，，， ),,2,1(max-min-Ddxxxddd 其中，i为人为设定的下界，通过调节i搜索Pareto最优解。可见这种方法实现多目标最优化时也存在人为因素，同加权法一样需要技术人员的经验的积累。 (3)目标规划法 目标规划法则首先单独求出各子目标函数的最优解)(*xf然后进行归一化求和，最终实现多目标优化。其归一化求和表达式如下： 21**)()()()(NiiiixfxfxfxF 目标规划法的关键在于求的各个子目标函数的最优解)(*xf。这种方法虽然可以避免人为因素的影响，但归一化求和后所得的Pareto最优解往往不能满足多目标优化问题的实践要求。 2）多目标遗传算法 遗传算法GA(Genetic Algorithm)是受生物学进化学说和遗传学理论的启发而发展起来的，是一类模拟自然生物进化过程与机制求解问题的自组织与自适应的人工智能技术，是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随机的搜索算法。 (1)并列选择法 此方法先将种群中全部个体按子目标函数的数目均等分成若干个子种群，对各子群体分配一个子目标函数，各子目标函数在其相应的子群体中独立进行选择操作后，再组成一新的子种群，将所有生成的子种群合并成完整群体再进行交叉和变异操作，如此循环，最终求得问题的Pareto最优解。 (2 )非劣分层遗传算法 是一种基于Pareto最优概念的多目标演化算法。首先，找出当代种群中的非劣解并分配最高序号(如零级)，赋给该层非劣解集与当前种群规模成比例的总体适应值。为了保持解的多样性，所有该层非劣解基于决策向量空间距离共享此总体适应值。此后，该层非劣解集将不予考虑。然后，开始下一层非劣解集的搜索，在该层得到的非劣解集称为第二层 ，分配排列序号(如一级)，并赋给与该层种群规模(除去以上各层已被赋予适应度的非劣解)成比例的总体适应值，同样，必须在该层非劣解集中实行适应值共享。如此重复直到当前种群中最后一个个体被赋予适应度值。在前面的研究基础上，Deb等人于2002年又提出了一种非劣分层选择法2(NSGA-II)，这种方法的主要思想是对种群中的个体按Pareto进行排序，按照序值从小到大选择个体，若某些个体具有相同的序值，则偏好于那些位于目标空间中稀疏区域的个体。 （3）基于目标加权法的遗传算法 其基本思想是给问题中的每一个目标向量一个权重，将多有目标分量乘上各自相应的权重系数后再加和合起来构成一个新的目标函数，将其转化成一个单目标优化方法求解。若以这个线性加权和作为多目标优化问题的评价函数，则多目标优化问题可以转化为单目标优化问题。 （4）多目标粒子群算法 粒子群优化算法是一种进化计算技术。PSO初始化为一随机粒子种群，然后随着迭代演化逐步找到最优解。在每次迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”来更新自己，一个是粒子本身所找到的个体极值，另一个是该粒子所属邻居范罔内所有粒子找出的全局极值。。 (5)微遗传算法 它是一种包含小的种群和重新初始化过程的遗传算法GA，其过程如下：首先，产生随机的种群，并注入种群内存，种群内存分为可替代和不可替代两部分。不可替代部分在整个运行过程中保持不变，提供算法所需要的多样性；可替代部分则随算法的运行而变化。在每一轮运行开始，Micro—GA的种群从种群内存的两部分选择个体，包含随机生成的个体和进化个体；Micro—GA使用传统的遗传操作；其后，从最终的种群选择两个非劣向量，与外部种群中的向量比较，若与外部种群的向量比较，任何一个都保持非劣，则将其注入外部种群，并从外部种群中删除所有被它支配的个体。

2、通过一个实例，叙述该混合遗传算法的基本思想是什么？其基本构成原则是什么？ 答：实例：基于混合遗传算法的随机结构可靠性优化设计 问题描述：针对结构系统刚度以及外荷载、强度等在应用中所表现出的随机性，提出了考虑随机因素的结构系统优化设计方法。 如图1所示，16杆静不定桁架结构，全部杆件的屈服应力均为σ= ±276ＭＰａ，屈服应力的变异系数为05.0CV；弹性模量为aMPE1006.2，材料比重为33/107.2mkg；载荷均值为kNFi45.44，载荷变异系数为1.0FCV。设计变量连接关系为:16131512119108761443521,,,,,,,AAAAAAAAAAAAAAAA，具有连接关系的杆件强度之间完全相关，否则相互独立.系统的可靠性指标限制为265.4as(即510afP)，323-12102.0103.0)16,2,1(1200，，，icmA

i。

图1 16杆椼架结构 试用混合遗传算法进行基于可靠度的结构重量优化分析。其中，取个体数Ｍ=100。采用ffPffffkffkc,{)max)(max(13,，式（1）和ffPffffkffkm,{)max)(max(2

4,

 式（2）的自适应算子，Ｌ=0.5(个

体之间的距离)，20min10),(jiXXF(罚函数)。式（1）中，α<1;maxf是群体中的最大适应值;f是群体的平均适应值;f是两个用于交叉个体中的较大适应值.这样，当ff时，对于适应值较高的个体，可适当增加其交换概率以加快其进化速度.调整α和1k的值，可以改变cP随()/()(maxmaxffff变化的剧烈程度和幅度，进而保证cP值在合理的范围内。 式（2）中，β>1;f为变异个体的适应值.对于性能较好的个体可减小其变异概率以避免破坏高性能的结构模式.式(1)、(2)中的参数与,,,,4321kkkk可根据不同的优化问题作相应的调整，一般可根据经验取值。 分别采用最佳矢量法、标准遗传算法和混合遗传算法进行优化分析，结果见表1。从表1可知，

3种算法的优化结果都满足约束条件。其中最佳矢量法、标准遗传算法和混合遗传算法的目标函数分别为18.19、17.79和17.44，表明混合遗传算法的优化结果有所改善，较标准遗传算法减少1.97%，较最佳矢量法减少4.12%;进化代数分别为16、40和14，混合遗传算法的迭代次数减少，明显优于标准遗传算法。 表1

杆件号 2/mmA

i

最佳矢量法 标准遗传算法 混合遗传算法 1 3.475 3.512 3.512 2，5 8.630 8.201 7.513 3，4，14 4.744 4.744 4.744 6 1.678 1.678 1.678 7，8，10 3.889 3.654 3.654 9 2.752 2.740 2.712 11，12，15 1.448 1.448 1.448 13，16 0.720 0.740 0.740

混合遗传算法的思想：遗传算法具有全局搜索、高度适应性、较强鲁棒性以及隐含并行性的优点。但由于遗传算法收敛相对较慢，编码长度对精度影响大等因素， 对非线性方程组求解， 与传统数值方法相比并不具有优势。另外，遗传算法也无法避免多次搜索同一个可行解，这也是影响遗传算法运行效率的一个因素。在遗传算法的搜索过程中融合这些牛顿法的思想、构成一种混合遗传算法以提高遗传算法运行效率和求解质量。 另一方面，除了牛顿法，梯度法、爬山法、模拟退火算法、列表寻优法等—些优化算法也具有很强的局部搜索能力，将 GA与其它启发式的搜索方法相结合构成混合遗传算法的主要目的是改善基本GA的局部搜索能力 ，进一步提高优化质量和搜索效率 ，以弥补单一优化方法的某些不足之处 ，如遗传算法与模拟退火法的集合、遗传算法与列表寻优法的集合。 混合遗传算法的基本构成原则： 1）尽量采用原有算法的编码。这是为了有利于利用原有算法的相关知识，也方便实现混合遗传算法。 2）充分利用原有算法的优点。这是为了保证由混合遗传算法所求到的解的质量不会低于用原有算法所求得解的质量。 3）改进遗传算子。设计能适应新编码方式的遗传算子，且在遗传算子中融入与问题相关的启发式知识，以使混合遗传算法既具有遗传算法全局寻优的优点，又具有较强的局部搜索能力，从而提高运行效率。 3、试对平面连杆机构进行优化设计，要求采用两种方法：传统的优化设计方法和遗传算法。 一曲柄摇杆机构，M为连秆BC上一点，mm为预期的运动轨迹，要求设计该曲柄摇杆机构的有关参数，使连杆上点M在曲柄转动一周中，其运动轨迹(即连杆曲线)MM最佳地逼近预期轨迹mm。 设计一再现预期轨迹mm的曲柄摇杆机构。已知xA＝67mm，yA＝10mm，等分数s＝12，对应的轨迹mm上12个点的坐标值见表，许用传动角[γ]＝30°。