第七章 粘弹塑性模型的基本概念
7 . 1 引言
为了描述土体应力一应变关系受时间的影响，需要采用与时间有关的类模型（如粘弹胜模酬、粘塑性模型，粘弹塑隆模型）来描述土的性状。
弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质，各在定条件F 独自反映材料本构关系的一个方面的特性。理想弹性模型、理想塑胜模型（或称刚塑性模型）和理想粘性模型是反映这三种性质的理想模型，通常称为简单模型。实际工程材料的本构关系可以用这些简单模型的各种组合来构成。
理想弹性模型又称虎克弹性模型，通常用理想弹簧表示（图7-1( a )）。其本构方程为虎克定律。一维条件下，如单轴压缩和纯剪清况下，表达式分别为：
E （7.1.1）
G （7.1.2）
式中E —— 弹性模量、
G——剪切模量。
剪切模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：
21EG （7.1.3）
式中 ——泊松比。
三维条件下本构方程可表示为下述形式：
mK （7.1.4）
式中 K——体积弹性模量。
（a） （b）
图7-1 理想弹性模型
体积弹性模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：
312EK （7.1.6）
理想粘性模型又称牛顿粘滞体模型。通常用一粘壶（或称阻尼器）表示（图7-2 ( a ) ）。粘壶内充满粘滞液体和一个可移动的活塞。活塞在粘滞液体中的移动速度与所受阻力成正比关系，反映了粘性介质内一点的应力与该点处应变速率成正比例关系的性质。一维条件如单轴压缩或纯剪情况下，表达式分别为：
（7.1.7）
（7.1.8）
式中 、 ——粘滞系数。
由上两式可以看出，从数学表达的形式上与理想弹性体单轴压缩和纯剪时的本构方程相类似。
与理想弹性体的方程相对应，类似式7.1.3，存在下述关系：
*21 （7.1.9）
式中 * ——粘性应变速率的横向比值。
（a） （b）
图7-2 理想粘性模型
理想粘性体的体积变化与形状变化速率无关，即不具有体积粘性。因此，*应等于0.5 。于是式7.1.9成为：
3 （7.1.10）
这与弹性不可压缩时的E=3G相对应。
在三维条件下理想粘性体本构方程可表示为：
2ijijSe （7.1.11）
理想塑性模型又称Saint-Venant 塑性模型，或称刚塑性模型。通常采用两块接触的粗糙面表示（图7-3 （a））。面上存在有一称晰脚擦阻力，与作用在面上的法向压力无关，是一常数。若外作用力心婚此起始摩擦阻力，物体不发生变形。一维条件如单轴压缩或此钾扮况，当轴向应力或剪应力小于某一数值时，物体不发生变形．当软祠应力或剪应力等于某数值时，物体产生流动，变形无限制增长．理想塑性模刮的体积应变等于零，即体积不发生改变。在三维条件下理想塑性体的本构方程可表示为：
（a） （b）
图 7-3 理想塑性体模型
当 ijijSH时，0ije
当 ijijSH时，2ijijSe （7.1.12）
式中 ijH——起始摩擦阻力，或称塑性条件；
——比例常数。
式7.1.12表明，理想塑性体的塑性应变偏量的变化率与应力偏量成正比。
由理想弹性模型、理想粘性模型和理想塑性模型等简单模型可以组合成许多复杂模型。由理想弹性模型和理想塑性模型可以组合成理想弹塑性模型。由弹性模型和粘性模型可以组合成各种粘弹性模型。由粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘塑性模型。由弹性模型、粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘弹塑性模型。理想弹塑性模型已在第六章作了介绍。在以下几节将对几种由简单模型组成的粘弹性模型、粘塑性模型和粘弹塑胜模型作简单介绍。
利用简单模型可以组合成各种复杂模型，从而可以建立各种材料的本构方程。但是进一步的研究发现，许多材料的实际性状并不能满意地用简单的组合模型来描述，而目采用复杂的组合模型又常遇到数学上的困难。因此，常常在试验的基础上，通过假设一实验一理论的方法建立材料的本构力程。在本章的最后一节将简要介绍描述材料蠕变现象的蠕变力程。 7 . 2 粘弹性模型
既具有弹性又具有粘性的性质称为粘弹性。蠕变和应力松弛现象是人们熟悉的也是特别受重视的粘弹性胜质粘弹性性质的特点是在本构方程中除了有应力和应变项外，还包括有它们对时间导数的项。对线性粘弹胜材料，其本构方程的一般表达式为：
0101mnmnaaabbb （7.2.1）
式中 ,iiab ——与材料性质有关的参数。
下面首先介绍几种简单的粘弹性模型，然后再介绍较复杂的情况。
7.2.1Maxwell 模型
Maxwell 模型又称松弛模型。它是由线性弹簧和牛顿枯壶串联组成，如图7
-4 (a）所示。在串联条件下，作用在两元件上的应力相同，而总的应变应为两个元件应变的和，即
（7.2.2）
或
（7.2.3）
式中 ,——分别为线性弹簧和粘壶的应变；
,——分别为线性弹簧和粘壶的应变率。
考虑到线性弹簧有/E和牛顿粘壶有/，则式7.2.3可改写成：
E （7.2.4）
（a） （b） （c）
图7-4 Maxwoll 模型
写成如式7.2.1的标准形式，上式可改写为：
n（7.2.5）
式中 n——松驰时间，nE，量纲为时间。
式7.2.5称为Maxwell方程。
若物体获得初始应变0以后总应变保持不变（图7-4b) ，即0，式7.2.5成为：
0n （7.2.6）
积分上式，得
/tnCe （7.2.7)
式中 C——积分常数。
应用初始条件，0t，0代人式7.2.7解出C，再代人式7.2.7 , 得
/0tne (7.2.8 )
式7.2.8表示，Maxwell模型在保持总应变不变的条件下，发生应力随时间衰减的松弛现象，如图7-4c所示。
若物体获得初始应力0以后，保持应力不变，即0，则式7.2.5成为：
0 （7.2.9 )
式7.2.9表示材料应变率为常数，即应变随时间成比例地增长，因此变形随时间无限地发展。
下面讨论松弛试验的情况。在松弛试验中，首先对试件施加应变0，然后保持应变为定值，进而测量作为时间函数的应力值，确定松弛规律。松弛试验中应变可记为：
0ut (7.2.10)
式中 ut ——单位阶梯函数。
单位阶梯函数定义为：
1110,1,ttutttt （7.2.11）
在松弛试验中10t1utt可表示为ut。
将式7.2.10代人式7.2.5，得
Etn （7.2.12）
式中 t——脉冲函数，dtutdt。
脉冲函数定义为：
0,0,0ttt （7.2.13）
1ttdt （7.2.14）
脉冲函数具有下述性质，对于任何连续函数ft，当1tt时，有
111tftdftutt （7.2.15）
利用式7.2.15，积分式7.2.12，可得
/0tntEeut （7.2.16）
式7.2.16表示Maxwell模型的应力松弛规律，简记为：
0tt （7.2.17）
式中 t——松弛函数，其表达式为
/tntEeut （7.2.18）
7.2.2 Kelvln 模型
Kelvln模型又称非松弛模型。这种模型曾由W . Voigt 和Kelvin 提出，故又称为Voigt—Kelvin模型。它是由线性弹簧和牛顿粘壶并联组成，如图7-5
(a）所示。在并联条件下，两个元件的应变相同，而总的应力应为两个元件的应力之和，即
E （7.2.19）
若在0t时，瞬时地加上应力0，并保持不变，则由式7.2.19可得
0E （7.2.20）
积分上式，得
01teE （7.2.21）
式中
——衰减系数，1En；
n——滞后时间。
（a） （b）
图7-5 Kelvln模型
由式7.2.21可知，当t，应变趋于个稳定值0/E。
若物体获得初始弹性应变0之后保持应变不变，即0。由式7.2.19得
0E常量 （7.2.22）
上式表明在这种情况下应力不衰减。
下面讨论蠕变试验的情况。在蠕变试验中，首先对试件施加应力0，然后保持应力为定值来量取作为时间函数的应变值。若取瞬时加载的时刻为0t，则加载过程可表示为：
0ut （7.2.23） 式中 ut——单位阶梯函数。
将式7.2.23代人式7.2.19，得
0ut （7.2.24）
注意到单位阶梯函数有如下性质
111tttfutdutfd （7.2.25）
此处为积分变量。积分式7.2.24，得
01tteutE
（7.2.26）
式中1En
式7.2.26表示Kelvin 模型的蠕变规律，可简记为：
tt （7.2.27）
式中 t——蠕变函数。
蠕变函数的表达式为
11tteutE （7.2.28）
7.2.3 三元件粘弹性模型
图7-6a 表示个三元件粘弹性模型。它是由线性弹簧和Kelvin模型串联组成，包括二个线性弹簧和一个牛顿粘壶，共三个元件，故称三元件粘弹性模型。用表Kelvin模型的应变，表示与Kelvin模型串联的线性弹簧的应变，表示Kelvin模型中线性弹簧中的应力，表示牛顿粘壶中的应力，和分别表示总应力和总应变。分析各元件的应力或应变相互间关系，不难得到下列各式：
（7.2.29）
（7.2.30）
E （7.2.31）
E （7.2.32）
（7.2.33）
式中 E——与Kelvin模型串联的线性弹簧的弹性模量；
E——Kelvin模型中线性弹簧的弹性模量；