建模方法的选择
刘永贵 贺晓东
（永城职业学院 476600）
关键字：数学建模、数学模型、建模方法
大家知道，数学最重要的一个特点是它的思维的抽象性、推理的
严谨性和应用的广泛性。这是数学在其发展的漫长的历程中渐渐形成
的。它主要来自人们对生产和生活的需求。是对有关的空间结构、数
量关系的共性的抽象、升华从而形成了当今的数学。它为我们在更深
的层次上认识世界提供了一条重要的方法。其抽象性和严谨性的特性
也成为我们科学地思维和组织构造知识的一个有效的方式。数学的广
泛应用性也为各学科和人们的生产、生活以及社会活动在定量方面向
深层次发展奠定了坚实的基础。但是在过去的时代由于各种原因，这
个特点在人们的思想中反映得并不那么充分。往往只把数学理解为训
练人们科学思维的一种工具，致使人们经常感到学了大量的数学知识
和方法却不会用或者用不上。当前，在数学与其它科学技术及经济建
设紧密结合变得更加需要和可能的今天，学术界在研究数学科学的技
术基础以及其对经济竞争力的作用时指出：“在经济竞争中数学是不
可少的，数学科学是一种关键性的、普遍的、能够实行的技术。”“高
技术的出现把我们的社会推进到数学技术的时代”。数学的应用特征
在当今尤其显得突出和重要。
数学建模是应用数学知识和计算机解决实际问题的一种行之有
效的重要方法，而建模方法的选择也可能使问题简单或复杂，精确或
粗放。请看下面几个例子。例如十字路口的交通问题，为使路口的交
通顺畅，需要制定一个路口的最佳交通流的控制方案。可以使用的方
法很多，其中之一是将几种不同的交通控制的设计方案交给交通队进
行实地试验观测，然后找出最优的方案。很明显，这种办法不仅费时
费力，而且还会造成该路口和临近地区的交通混乱，以至根本无法执
行。另一种办法就是由研究人员调查路口的车流规律，收集有关的数
据资料，例如车流密度、车辆速度、大小以及路口状况等，然后使用
数学和统计学的方法手段提炼出这些量之间的关系，再使用计算机进
行分析比较，这样就可以找到最优的控制管理方案。这种方法就是交
通管理的数学模型。又比如生物医学专家掌握了药物浓度在人体内随
着时间和空间的变化而变化的数学模型，就可以分析药物的疗效，从
而有效地指导医院的临床用药。而厂长和经理们掌握了工厂、企业的
生产与销售的数学模型，就可以用计算机控制生产和销售以获取尽可
能高的经济效益，从而增强他们在经济活动中的竞争力。
应用数学知识及计算机去解决各种科学和社会生产活动中的实
际问题时，首先要对实际问题进行分析研究，组建用来描述这种问题
的数学模型，应用数学的理论及方法或编程、计算，并对模型分析，
继而得到结果，然后回去解决实际问题。因此数学模型、数学建模是
使用数学的理论知识及计算机解决实际问题的重要方法和手段。很多
事实说明，掌握了数学知识只是解决实际问题的一个必要条件。在当
今数学作为一种技术的手段的过程中应用数学知识解决问题的能力
的培养更是特别重要的。尤其是数学模型的相关知识及数学建模能力
的培养。
我们所说的数学模型，是指通过抽象和简化，应用数学语言对实
际问题的一个大概的描述，使人们更深刻地把握所研究的对象。当然
数学模型也不是对现实问题的简单的描述，而是对现实问题所包含的
信息进行提炼、分析、归纳、翻译的结果。它使用数学语言准确地反
应问题的内在特征。并通过数学演绎推理和分析求解，使我们深化对
所研究的问题的认知。力学中牛顿第二定律使用公式F＝mdx2/dt2反
应受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型，x(t)指运动物体在
时刻t的位置,m是运动物体的质量，F指在运动期间运动物体受到的
外力。模型并不考虑物体的形状及大小。这一模型以物体受力运动的
关键因素为主，从而深化了力与物体运动之间的关系。而在描述人口
N(t)随时间t的变化而变化的数学模型dN(t)／dt＝rN(t)，没有考虑性
别、年龄、社会经济及自然界约束条件等诸多因素，从而大大简化了
实际人口的动态变化。可所揭示出的人口成等比级数的增长的理论却
是我们所要面对的严酷事实。
数学模型的好不好，并不是说它使用了多么高深的数学。作为一
个好的模型最好是直接针对某个实际问题的，该模型应经过实际的检
验，表明它是可以接受的；数学模型应能使人们对所研究的问题有更
深的认识，并尽可能的简单，从而便于使用者理解和接受。
例如2007年全国大学生数学建模试题；
人口预测是国家工作中的重点，关系着国家的发展方向和命运。
我国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之
一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对我国人口做出分析和预
测是一个重要问题。
近年来我国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程
加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些
都影响着我国人口的增长。2007 年初发布的《国家人口发展战略研
究报告》对此做出了进一步的分析。
从我国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考相关数据，
建立我国人口增长的数学模型，并由此对我国人口增长的中短期和长
期趋势做出预测；特别注意指出模型中的优点与不足之处。
这是一个我们常要面对的社会问题，同时也是一个有很大难度的
数学建模问题，一个社会人口的变化是一个随时间的发展而变化的过
程，是很多因素影响的结果，社会制度、自然环境、生活水平、科学
文化水平、战争、自然灾害以及移民等，都在影响社会人口的发展。
人的生老病死、居民的迁移也决定着这个社会人口的变化。当今我国
老龄化进程加速、出生人口性别比例的持续升高，乡村人口城镇化等
因素，都在直接或间接地表现出来。综合研究这些因素对人口构成的
影响就成为选择符合中国国情的人口增长模型的重要问题。
建立数学模型要对人口发展过程进行定量预测，即根据现有的人
口统计资料及原始数据，把握当前实际的人口状况，并充分考虑将来
的人口发展状况，从而给出合理的控制要求和假定，使用科学的手段，
推理测算将来几年、几十年乃至上百年的人口发展变化趋势，其中包
括人口的总数、人口性别比例、年龄结构、城乡结构，人口的生老病
死和自然增长率的变化及其在将来的人口结构中劳力和抚养水平及
老化水平等的变化。
因此为了解决这个问题，我们不妨作如下合理假设：
1. 题中所给数据要反映中国人口变化的基本状况；
2. 暂不考虑某些重大事件，比如战争和自然灾害等对人口变化
的影响；
3. 所有的数据都是年终数据，也就是下一年的年初数据，例如
2001 年的总人口数其实也是2002年的年初的总人口数；
4. 当年所统计的i岁的人口到次年的年初都是i 1岁；
5. 生育模式并不随时间的变化而变化。
在以上工作的基础上，我们就可以做一些模型建立的工作了。这
部分工作往往由数预处理、模型选择、模型求解、数据分析与检验、
模型优缺点分析等部分组成。一个问题往往可以采用多种不同的模型
来解决，它们会有不同的特点，有的简单易行但精确度不高，有的判
断准确，数据精准，但运算量大，运算模式较为复杂。我们应该根据
具体对数据的要求选取适当的数学模型，力求达到简单易行而又能满
足问题解决所要求的精确度。本例就是这样，既可以采用基于传统的
logistic 模型，所需数据少，具有简洁易行等特点，使求解难度大
大降低，也可以采用构造复杂，所需数据种类多、量大，求解也较复
杂，需要用到专门的数学软件的另一种数学模型。
参考文献：
1、《数学模型与数学建模》刘来福、曾文艺 1997年北京师范
大学出版社。
2、《数学建模方法》杨学桢 2000年河南大学出版社
3、《基于差分方程的人口预测模型》2007年文峰、郭宪、刘飞。
作者简介：
刘永贵（1967年出生），河南省永城市人，1989年河南师范大学
数学系本科毕业。现任永城职业学院高级讲师。研究方向：数学教育。
贺晓东（1972年出生），河南省永城市人，1995年河南师范大学
数学系本科毕业。现任永城职业学院讲师。研究方向：数学教育。
通信地址：河南省永城市永城职业学院（476600）