大理学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＤＡＬＩ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ 第ｌ２卷第４期２０１３年４月
Ｖｏ１．１２ Ｎｏ．４ Ａｐｒ．２０１３
［ＤＯＩ］１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２—２３４５．２０１３．０４．００３
基于贝叶斯公式的决策研究 张嵘，李子萍 （临沧师范高等专科学校数理系，云南临沧６７７０００）
［摘要］贝叶斯公式可在客观调查的基础上修正先验概率，为决策者提供更为可靠的信息。列举了贝叶斯公式在经济决策中的 应用例子，同时也用贝叶斯公式对生活中信用及舆论方面的某些现象作了诠释。 ［关键词］贝叶斯公式；决策；概率 ［中图分类号］０２１１．９［文献标志码］Ａ［文章编号］１６７２—２３４５（２０１３）０４—０００６—０３
Ｄｅｃｉｓｉｏｎ－Ｍａｋｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｂａｙｅｓｉａｎ Ｆｏｒｍｕｌａ ＺＨＡＮＧ Ｒｏｎｇ，ＬＩ Ｚｉｐｉｎｇ （Ｌｉｎｃａｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ’ＣｏＨｅｇｅ，Ｌｉｎｅａｎｇ，Ｙｕｎｎａｎ ６７７０００，Ｃｈｉｎａ）
（Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ，ｗｅ ｃａｎ ｍｏｄｉｆｙ ｔｈｅ ｐｒｉｏｒｉ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｆｏｒｍｕｌａ，ａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅ ｍｏｒｅ ｒｅｌｉａｂｌｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍａｋｅｒｓ．Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｇｉｖｅｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｆｏｒｍｕｌａ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ ｅｃｏｎｏｍｙ ｄｅｃｉｓｉｏｎ—ｍａｋｉｎｇ，ａｎｄ ａｌｓｏ ｕｓｅｓ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｔｏ ｅｘｐｌａｉｎ ｃｅｒｔａｉｎ ｃｒｅｄｉｔ ａｎｄ ｐｕｂｌｉｃ ｏｐｉｎｉｏｎ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｉｎ ｌｉｆｅ． ［Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ］Ｂａｙｅｓｉａｎ ｆｏｒｍｕｌａ；ｄｅｃｉｓｉｏｎ；ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ
信息的准确性直接关系到决策者的成功与失 败。在不完全信息的状态下，决策者仅依据经验或 历史数据资料即先验信息来进行决策，存在主观成 分较大的问题，决策风险较大。利用贝叶斯公式［ ］ 可在客观调查的基础上修正先验概率，修正后的概 率即后验概率通常要比先验概率更可靠，结合了客 观调查，可有效降低决策风险。
１条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 定义ｌ［１］设Ａ，Ｂ是两事件，且Ｐ（Ａ）＞０，称 ＝ 为在事件 发生的条件下事件 发生的条件概率。 定义２［１］设实验Ｅ的样本空间为Ｓ，Ａ为实 验Ｅ的事件，Ｂ ，Ｂ：，…， 为Ｊｓ的一个划分，且 Ｐ（Ｂ ）＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ），则 Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ａ ｊ １）Ｐ（Ｂ】）＋Ｐ（Ａ ｊ ：）Ｐ（ ：）＋…＋ Ｐ（Ａ ｌ Ｂ ）Ｐ（Ｂ ） 称为全概率公式。 定义３（ 设实验Ｅ的样本空间为．ｓ，Ａ为实 验Ｅ的事件， 。， ，…， 为Ｓ的一个划分，且Ｐ（Ａ） ＞Ｏ，Ｐ（Ｂ ）＞０（ １，２，…， ），则 Ｐ（Ｂ ＩＡ）： ， １ ２一， ∑Ｐ（Ａ １ Ｂｉ）Ｐ（Ｂｉ） Ｊ：１ 称为贝叶斯公式。 ２贝叶斯公式的应用 ２．１在经济决策中的应用 案例１某玩具厂面临两种选择：生产新系列 产品还是保持生产原系列产品。未来新系列产品的 销售状况直接关系到玩具厂的决策，而如何判断销 售状况成为了问题的关键（ 。厂长依经验判断新 系列产品要比原系列产品好卖，故认为生产新系列 产品决策（Ｊｓ。）的可能性Ｐ（Ｓ。）＝０．６，保持生产原系列 产品决策（５ ）的可能性Ｐ（Ｓ：）＝０．４。但由于主观判断 较强，若贸然大量生产，风险过大，故厂长可以先生 产小部分新产品与原系列产品同时进行销售，再进 行市场调查，统计出两系列产品的实际销售情况， 假设统计的Ｐ（ １ Ｊｓ ）。见表１。
６ 总第１１２期 张嵘，李子萍基于贝叶斯公式的决策研究 第１２卷 表１ 不同决策情况下销售情况的概率分布 Ｐ（ １．ｓ ） ０．８ Ｏ．６ Ｏ．１５ ０．１ Ｏ．０５ ０－３ 由全概率公式［ 尸（尺。）＝ Ｒ。５ ）＋ Ｒ Ｌｓ：）＝尸（ｓ ）尸（尺 Ｉ ５ ）＋ Ｉｓ ）Ｐ（Ｒ。ｌ Ｊｓ：） ＝０．６×０．８＋０．４×０．６＝０．７２． 尸（ ）＝ ）＋尸（尺２５：）＝尸（．ｓ。） Ｒ ｌ ｓ ）＋ ｓ ）尸（尺 Ｉ ） ＝Ｏ．６×０．１５＋０．４×０．１＝０．１３． 尺 ）＝ ３．ｓ ）＋ Ｒ ：）＝ ｓ ） Ｒ，ｌ ｓ。）＋ Ｊｓ：） ｌ ５ ） ＝０．６×０．０５＋０．４×０．３＝０．１５． 再用贝叶斯公式即可算出修后的先验概率，即后验 概率： Ｐ（Ｓｉ ＝ ＝ ， 例：Ｐ（ｓｌ ）＝ ＝ ＝ ：鱼 ：墨：０．６６７。 ０．７２ 所得后验概率Ｐ（Ｓ ｌ尺 ）见表２。 表２不同销售情况下决策情况的概率分布 Ｐ（Ｓ ｌ Ｒ ） ＿０ｌ６６７ ＿０＿６９２ －０．２ －０．３３３ ＿０＿３ｏ８ ＿０．８ 最后可根据各销售状态下的盈利值就可算出 决策下的平均盈利值。 假设各销售状态下的盈利值见表３。 表３两种决策的盈利表 ７ 平均盈利值： Ｅ（Ｓ１）＝Ｏ．６６７ａ１＋Ｏ．６９２￣＋０．２叻， Ｅ（Ｓ２）＝０．３３３ｂ １＋０．３０８ｂ２＋０．８ｂ３。 比较Ｅ（Ｓ。）与Ｅ（５２）的大小，选择期望值大的方 案为最终决策。 ２．２在信用方面的应用 信用在人际关系、信贷、 商战等中占有重要地位。如果持续地恶意欺骗，终 将导致信用等级降低，对自身造成不良影响。 案例２有个典故叫“烽火戏诸侯”，指西周时 周幽王因宠爱褒姒，为褒姒一笑，多次点燃烽火台， 戏弄诸侯，虽博得褒姒一笑，但却失信于诸侯。最终 诸侯众叛亲离，申侯串通西戎、戎狄入侵周朝，周幽 王虽点燃烽火，却没有救兵前来，最终于骊山下被 杀。用概率的观点来解释可信度及诸侯决策的变化 情况。 设Ａ表示“周幽王戏弄诸侯”，Ｂ表示“外敌确 实人侵”，假设据以往经验，点燃烽火时，尸（ ）＝０．９９。 Ｐ（ＡＩＢ）＝０．００１，Ｐ（ＡＩＢ）＝０．０１，诸侯的决策：主动发兵 救援。 第一次戏弄诸侯后，点燃烽火表示外敌入侵的 可信度的变化情况如下，根据贝叶斯公式： Ｐ（ Ａ）： ｉ旦２ ｉ Ｊ旦２ ： Ｐ（Ｂ）Ｐ（ＡＩＢ）＋Ｐ（ ）Ｐ（ ｌ ）
０ ９９ ０ ００１ Ｏ １ ０ Ｏ１＿０．９０８３。 ．×． ＋０．×． ……
在第一次戏弄诸侯的前提下，点燃烽火表示外 敌入侵的可信度由以前的Ｐ（Ｂ）＝０．９９降为了Ｐ（／￣Ａ）
＝０．９０８３。诸侯在遭一次戏弄后修正了点燃烽火表示 外敌入侵的可信度，即认为Ｐ（曰）＝０．９０８ ３。同时，诸
侯也可能将Ｐ（ＡＩ 与Ｐ（ＡＩ Ｂ）调高。假设修正后 Ｐ（ＡＩＢ）＝Ｏ．００２，Ｐ（ＡＩＢ）＝Ｏ．１。诸侯虽气愤，但决策仍 为：主动发兵救援。 第二次戏弄诸侯后，点燃烽火表示外敌人侵的 可信度的变化情况如下，根据贝叶斯公式： Ｐ（ Ａ）： ！旦２ ！ ！旦２ ： Ｐ（ ）Ｐ（Ａｌ ）＋Ｐ（ ）Ｐ（ ｌ ） ０．９丽０８３ ｘ０ ．００２ ＝０．１６５３。 Ｏ
．９０８３×Ｏ．０Ｏ２＋０．０９１７×０．０１ ……
诸侯在遭两次戏弄后修正了点燃烽火表示外 敌人侵的可信度，即认为Ｐ（Ｂ）＝Ｏ．１６５ ３。此时诸侯已 总第１１２期自然科学 大理学院学报 对周幽王信号产生怀疑，决策为：迫于王者压力发兵 救援。 由此可见，诸侯经多次被戏弄后，已经不再信任 周幽王，决策由主动发兵到迫于压力发兵到最后不 再发兵。 ２－３在舆论方面的应用 正所谓“众口铄金，积毁销 骨”，当决策者受周边的信息所影响，且对信息间的 关系作出错误判断时，往往会作出错误的决策。所 以，有些人正是利用了贝叶斯公式的这种作用，通过 改变先验信息，以达到有利于自己的目的［９－－１０￣ｏ如在 商战决策中，部分商人会利用商业间谍或“托”来影 响所针对的对象，以使其作出有利于己方的决策。 案例３利用贝叶斯公式，分析“指鹿为马”典故 中决策者受周边信息影响而产生的决策变化情况。 可设 表示“此动物是鹿”， 表示“第ｉ个人说 是马”。假设决策者秦二世初始睛况下认为此动物是 鹿的概率Ｐ（Ａ）＝０．９９９，大臣们都较正直，不会相互勾 结，发表的都是自己的真实观点，即各Ｂ 相互独立。
设Ｐ（Ｂ￣Ｉ）＝０．０００ １，Ｐ（Ｂ￣４）＝Ｏ．０００５，ｉ＝ｌ，２，３，…。 当听到第一个人说动物是马时，决策者认为此 动物是鹿的概率为： Ｐ（Ａ］Ｂ ）： ｉ ！ ｉ旦 ２ ： Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ。ＩＡ）＋Ｐ（ ）Ｐ（Ｂ。ＩＡ）
０丽．９９ ９ｘ ０．０丽００ １ ＝０．９９５；
Ｏ．９９９×Ｏ．０ＯＯ１＋Ｏ．０Ｏ１×０．０００５ 。 ‘’
若决策者受事件 影响而作出调整，将Ｐ ）作
为新的Ｐ（Ａ），则此时Ｐ（Ａ）＝０．００５。当听到第二个人 说动物是马时，决策者认为此动物是鹿的概率为： Ｐ（ＡＩＢ，）： ｉ ２ ｉ旦 ２ ： Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ＩＡ）＋Ｐ（ ）Ｐ（Ｂ￣Ａ） 丽 ０．９ ９５ｘ而０．００ ０１丽 ＝０．９７５５； ０
．９９５）（ｏ．０００ ｌ＋０．ｏ０５×０．０００５ ’
同理，若决策者又受事件日：影响而作出调整，将
Ｐ（Ａ￣２）＝０．９７５５作为新的Ｐ（Ａ），则此时Ｐ（Ａ）＝０．０２４ ５。 当听到第三个人说动物不是马时，决策者认为此动 物是鹿的概率为：
Ｐ（Ａ］Ｂ３）： ｉ ２ ！旦 ｌ ２ ： Ｐ（Ａ）Ｐ（剧Ａ）＋Ｐ（Ａ）Ｐ（ ｌ Ａ）
： Ｚ ： ０．９７５５ｘ０．９９９９＋０．０２４５ｘ０．９９９５
０．９７５５０９６； 可以看出当受到正确的信息影响时，决策者判 断正确的概率也同时会增大。 同理，当再连续听到５个人都说动物是马时，可 算得决策者认为此动物是鹿的概率仅为０．０１２６。究其 错误原因，正是因为决策者错误地判断了Ｐ（Ｂ ）与 Ｐ（ ）及各 之间的关系。 可见核实信息准确性的重要性，尤其在商战决 策中要谨防商业间谍及“托”。当谣言盛行时，应通过 网络、媒体等大众途径传播正确的信息，这样可以使 更多的人接收到正确的信息以影响及纠正错误的谣 一 口ｏ
［参考文献］
［１］盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：高等 教育出版社，２００８． ［２］茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程［Ｍ］．北 京：高等教育出版社，２００５． ［３］茆诗松．贝叶斯统计［Ｍ］．北京：中国统计出版社，２００５． ［４］蒋承仪，陈光蓉，徐安农，等．概率论与数理统计（３）［Ｍ］．重 庆：重庆大学出版社，２００２． ［５］叶鹰，李萍，刘小茂．概率论与数理统计［Ｍ］．２版．武汉：华 中科技大学出版社，２００４． ［６］姜颖，王晓锋．以概率论的视角理性看待社会热点［Ｊ］．沈阳 师范大学学报：自然科学版，２０１２，３０（１）：２７—３１． ［７］杨华，彭庆荣．风险投资项目的风险测定与决策［Ｊ］．武汉水 利电力大学学报：社会科学版，２０００，２０（３）：２４—２６． ［８］李德荣，刘鹤．关于全概率公式和贝叶斯公式的一种新讲 解［ｎ内蒙古统计，２００９（６）：４２． ［９］张嵘．浅谈后验概率在信息选取和风险决策中的应用［Ｊ］． 商业经济，２０１２（１０）：３６—３８． ［１０］杨静，陈冬，程小红．贝叶斯公式的几个应用［Ｊ］．大学数 学，２０１ １，２７（２）：１６６—１６９．