㊀[收稿日期]２０１７Ｇ０７Ｇ２５;㊀[修改日期]２０１７Ｇ０９Ｇ１３
㊀[基金项目]合肥工业大学«线性代数»平台课程优化建设项目(K C WT １６１０
)㊀[作者简介]周江涛(１９７８－),男,讲师,从事运筹决策方向研究．E m a i l :c a r l z h o u ２７＠a l i y u n ．c o m ㊀[通讯作者]孙胜先(１９６３－),男,副教授,从事矩阵理论研究．E m a i l :１１６５５４１０＠q q
．c o m 第３３卷第５期
大㊀学㊀数㊀学
V o l ．３３,ɴ．５
２０１７年１０月
C O L L E G E MA T H E MA T I C S
O c t ．２０１７
二阶非对称实矩阵合同的充要条件
周江涛,㊀孙胜先
(合肥工业大学数学学院,合肥２３０００９
)㊀㊀[
摘㊀要]给出了二阶非对称实矩阵合同判定的充要条件．举例说明此方法简单,实用．[关键词]非对称实矩阵;合同;对角化
[中图分类号]O １７２㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１７)０５Ｇ００５２Ｇ０４
１㊀引㊀㊀言
由于非实对称矩阵合同的判定非常复杂,关于非实对称矩阵合同的判定方面的研究较少．最近文[１]仅在A s ,B s 为正定的前提下,给出了判别两非实对称阵A ,B 合同的一个充分条件,从文[１]例中可看出,即使是二阶非对称实矩阵,用文[１]的方法判定起来也是相当的麻烦．本文在A ,B 为二阶非对称实矩阵的情况下,给出了A ,B 合同的一个充要条件,
此方法简洁明了．为便于读者了解本文内容,本文中的记号同文[１]．
A ＝A ＋A T ２＋A －A T ２,㊀A s ＝A ＋A T ２,㊀A ω＝
A －A T ２
,
A s 为A 的对称部分,A ω为A 的反对称部分,
并用记号A ≃B 表示A 与B 合同,|A |表示A 的行列式．２㊀主要定理及证明
引理１㊀若A ≃B ,则A s ≃B s ,A ω≃B ω．
证㊀A ＝A s ＋A ω,B ＝B s ＋B ω,
若有P T A P ＝B ,则P T A s P －B s ＝B ω－
P T A ωP ,等式的左边为对称而右边为反对称,从而有P T A s P ＝B s ,P T A ωP ＝B ω．此引理为A ,B 合同的必要而非充分条件．
引理２㊀P 为二阶实矩阵,A ＝０a －a ０
éëêêù
ûúú,a 为正实数,则有P T A P ＝
A ,|P |＝１,
－A ,|P |＝－１．
{
证㊀设P ＝x １x ２x ３x ４éëêêùû
úú,x i 为实数i ＝１,２,３,４(),则P T A P ＝０a |P |－a |P |０éëêêùûúú
＝A ,|P |＝１,－A ,|P |＝－１．
{
引理３[２
]㊀若A ,B 为n 阶实对称阵,则A ,B 合同的充要条件为A ,B 有相同的正负惯性指数,即相同的正负特征值个数．
引理４[２]㊀若A 为n 阶实对称阵,
则有正交阵P 满足P T A P ＝Λ,㊀Λ＝λ１
λ２
⋱λn éë
êêê
êêùû
ú
úúú
ú,
其中λi 为A 的特征值．
定理１㊀设矩阵A ＝λ１a －a λ２éëêêùûúú,B ＝λ３b －b λ４éëêêùû
úú,
a ,
b 为正实数,则A ,B 合同的充要条件为A s 合同于B s 且b ２λ１λ２＝a ２
λ３λ４．证㊀先证必要性．A ,B 合同的充要条件为存在可逆阵P ,满足P T A P ＝B ,设P ＝x １x ２x ３x ４
éëêêùûúú
,则得A ,B 合同的充要条件为方程组
λ１x ２１＋λ２x ２
３＝λ３,λ１x １x ２＋λ２x ３x ４＝０,λ１x ２
２＋λ２x ２
４＝λ４,a (x １x ４－x ２x ３)
＝b ．ìîíïïïïï有解,由此得
λ３λ４＝(λ１x ２１＋λ２x ２３)(λ１x ２２＋λ２x ２
４)
＝(λ１x １x ２＋λ２x ３x ４)２＋λ１λ２(x １x ４－x ２x ３)
２
＝b ２a
２λ１λ２,即b ２λ１λ２＝a ２
λ３λ４．又由引理１知A s 必合同于B s ,
从而必要性得证．下证充分性．由于A s 合同于B s 即λ１００λ２éëêêùûúú合同于λ３００λ４
é
ëêêùûúú可分以下几种情况证明．(i )λ１λ３＞０,λ２λ４＞
０,取C ＝λ
３
λ
１００λ４λ２éë
êêêêêù
û
ú
úúú
ú,则有C T
A C ＝
B ．(i i )λ１λ４＞０,λ２λ３＞
０,取C ＝０
λ４λ１－λ３λ２０éëêê
êêêùûú
úúúú,则有C T
A C ＝
B ．(i i i )λ１＝λ４＝０,λ２λ３＞
０,取C ＝０－
b a λ２λ３λ３λ２
０éëêê
êêêùû
úúúúú,则有C T
A C ＝
B ．(i v )λ１＝λ３＝０,λ２ λ４＞
０,取C ＝b a λ
２
λ
４００λ４λ２éëêêêêêùû
ú
úúú
ú,则有C T
A C ＝
B ．(v )λ１＝λ２＝λ３＝λ４＝０,取
C ＝b a
００b a é
ë
êêê
êêù
û
ú
úúúú,则有C T
A C ＝
B ．３
５第５期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀周江涛,等:二阶非对称实矩阵合同的充要条件