㊀[收稿日期]２０１７Ｇ０７Ｇ２５;㊀[修改日期]２０１７Ｇ０９Ｇ１３㊀[基金项目]合肥工业大学«线性代数»平台课程优化建设项目(K C WT １６１０)㊀[作者简介]周江涛(１９７８－),男,讲师,从事运筹决策方向研究．E m a i l :c a r l z h o u ２７＠a l i y u n ．c o m ㊀[通讯作者]孙胜先(１９６３－),男,副教授,从事矩阵理论研究．E m a i l :１１６５５４１０＠q q．c o m 第３３卷第５期大㊀学㊀数㊀学V o l ．３３,ɴ．５２０１７年１０月C O L L E G E MA T H E MA T I C SO c t ．２０１７二阶非对称实矩阵合同的充要条件周江涛,㊀孙胜先(合肥工业大学数学学院,合肥２３０００９)㊀㊀[摘㊀要]给出了二阶非对称实矩阵合同判定的充要条件．举例说明此方法简单,实用．[关键词]非对称实矩阵;合同;对角化[中图分类号]O １７２㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１７)０５Ｇ００５２Ｇ０４１㊀引㊀㊀言由于非实对称矩阵合同的判定非常复杂,关于非实对称矩阵合同的判定方面的研究较少．最近文[１]仅在A s ,B s 为正定的前提下,给出了判别两非实对称阵A ,B 合同的一个充分条件,从文[１]例中可看出,即使是二阶非对称实矩阵,用文[１]的方法判定起来也是相当的麻烦．本文在A ,B 为二阶非对称实矩阵的情况下,给出了A ,B 合同的一个充要条件,此方法简洁明了．为便于读者了解本文内容,本文中的记号同文[１]．A ＝A ＋A T ２＋A －A T ２,㊀A s ＝A ＋A T ２,㊀A ω＝A －A T ２,A s 为A 的对称部分,A ω为A 的反对称部分,并用记号A ≃B 表示A 与B 合同,|A |表示A 的行列式．２㊀主要定理及证明引理１㊀若A ≃B ,则A s ≃B s ,A ω≃B ω．证㊀A ＝A s ＋A ω,B ＝B s ＋B ω,若有P T A P ＝B ,则P T A s P －B s ＝B ω－P T A ωP ,等式的左边为对称而右边为反对称,从而有P T A s P ＝B s ,P T A ωP ＝B ω．此引理为A ,B 合同的必要而非充分条件．引理２㊀P 为二阶实矩阵,A ＝０a －a ０éëêêùûúú,a 为正实数,则有P T A P ＝A ,|P |＝１,－A ,|P |＝－１．{证㊀设P ＝x １x ２x ３x ４éëêêùûúú,x i 为实数i ＝１,２,３,４(),则P T A P ＝０a |P |－a |P |０éëêêùûúú＝A ,|P |＝１,－A ,|P |＝－１．{引理３[２]㊀若A ,B 为n 阶实对称阵,则A ,B 合同的充要条件为A ,B 有相同的正负惯性指数,即相同的正负特征值个数．引理４[２]㊀若A 为n 阶实对称阵,则有正交阵P 满足P T A P ＝Λ,㊀Λ＝λ１λ２⋱λn éëêêêêêùûúúúúú,其中λi 为A 的特征值．定理１㊀设矩阵A ＝λ１a －a λ２éëêêùûúú,B ＝λ３b －b λ４éëêêùûúú,a ,b 为正实数,则A ,B 合同的充要条件为A s 合同于B s 且b ２λ１λ２＝a ２λ３λ４．证㊀先证必要性．A ,B 合同的充要条件为存在可逆阵P ,满足P T A P ＝B ,设P ＝x １x ２x ３x ４éëêêùûúú,则得A ,B 合同的充要条件为方程组λ１x ２１＋λ２x ２３＝λ３,λ１x １x ２＋λ２x ３x ４＝０,λ１x ２２＋λ２x ２４＝λ４,a (x １x ４－x ２x ３)＝b ．ìîíïïïïï有解,由此得λ３λ４＝(λ１x ２１＋λ２x ２３)(λ１x ２２＋λ２x ２４)＝(λ１x １x ２＋λ２x ３x ４)２＋λ１λ２(x １x ４－x ２x ３)２＝b ２a２λ１λ２,即b ２λ１λ２＝a ２λ３λ４．又由引理１知A s 必合同于B s ,从而必要性得证．下证充分性．由于A s 合同于B s 即λ１００λ２éëêêùûúú合同于λ３００λ４éëêêùûúú可分以下几种情况证明．(i )λ１λ３＞０,λ２λ４＞０,取C ＝λ３λ１００λ４λ２éëêêêêêùûúúúúú,则有C TA C ＝B ．(i i )λ１λ４＞０,λ２λ３＞０,取C ＝０λ４λ１－λ３λ２０éëêêêêêùûúúúúú,则有C TA C ＝B ．(i i i )λ１＝λ４＝０,λ２λ３＞０,取C ＝０－b a λ２λ３λ３λ２０éëêêêêêùûúúúúú,则有C TA C ＝B ．(i v )λ１＝λ３＝０,λ２ λ４＞０,取C ＝b a λ２λ４００λ４λ２éëêêêêêùûúúúúú,则有C TA C ＝B ．(v )λ１＝λ２＝λ３＝λ４＝０,取C ＝b a００b a éëêêêêêùûúúúúú,则有C TA C ＝B ．３５第５期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀周江涛,等:二阶非对称实矩阵合同的充要条件显然(i )~(v )中C 均为可逆阵,从而充分性得证．定理２㊀若A ,B 为二阶非对称实矩阵,设A ω＝０a －a ０éëêêùûúú,㊀B ω＝０b －b ０éëêêùûúú,则A ,B 合同的充要条件为A s ≃B s 且b ２A s ＝a ２B s ．证㊀因为０a －a ０éëêêùûúú~r １↔r ２－a ００a éëêêùûúú~c １↔c ２０－a a ０éëêêùûúú,即０a －a ０éëêêùûúú正交合同于０－a a ０éëêêùûúú,故不妨设a ＞０,b ＞０,又由于A s ,B s 均为实对称阵,由引理２,引理４知存在正交阵P ,Q 满足P T A P ＝λ１００λ２éëêêùûúú＋０a －a ０éëêêùûúú＝λ１a －a λ２éëêêùûúú,Q TB Q ＝λ３００λ４éëêêùûúú＋０b －b ０éëêêùûúú＝λ３b －b λ４éëêêùûúú,其中λ１,λ２,λ３,λ４分别为A s ,B s 的特征值．由定理１知存在可逆阵C ,使得C T (P T A P )C ＝Q T B Q ,由此得(Q C T P T )A (P C Q T)＝B ．令D ＝P C Q T,则有D T A D ＝B ．而D 显然可逆,所以A 合同于B ．下面以文[１]中的两个例子来说明本文判别法的实用性．例１㊀判断矩阵A ＝１４０１éëêêùûúú与B ＝１６０１éëêêùûúú是否合同．因为A s ＝１２２１éëêêùûúú,㊀A ω＝０２－２０éëêêùûúú,㊀B s ＝１３３１éëêêùûúú,㊀A ω＝０３－３０éëêêùûúú,A s ＝－３,B s ＝－８,a ＝２,b ＝３,b ２A s ＝－２７,a ２B s ＝－３２,b ２A s ʂa ２B s ,所以A 与B 不合同．此例也说明了即使A s ≃B s ,A ω≃B ω,但A ,B 却不一定合同．例２㊀判断矩阵A ＝１８２２２éëêêùûúú与B ＝１０２＋２２－２２éëêêùûúú是否合同．解㊀A s ＝１８２２２éëêêùûúú,㊀A ω＝０２－２０éëêêùûúú,㊀a ＝２,㊀㊀B s ＝１０２２２éëêêùûúú,㊀B ω＝０２－２０éëêêùûúú,㊀b ＝２．显然A s ,B s 正定,所以A s ,B s 合同．而b ２A s ＝a ２B s ＝６４,所以A ,B 合同．３㊀结㊀㊀论由以上例子可看出,本文关于两矩阵合同的判别方法,简单实用．但在二阶矩阵前提下才成立的引理２是本文结论的关键．对于三阶及三阶以上的矩阵,很难建立类似的结论,在一些特定的条件下,可以建立判别两矩阵合同的充分条件．文[１]就是在矩阵A s ,B s 均正定的前提下,给出了A ,B 合同的充分条件．４５大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３３卷[参㊀考㊀文㊀献][１]㊀李成博,等．非对称实矩阵合同的条件[J ]．大学数学,２０１５,３１(４):７９－８２．[２]㊀姚慕生,吴泉水,谢启鸿．高等代数学[M ]．３版．上海:复旦大学出版社,２０１４:３６２－４２９．[３]㊀天津大学数学系代数教研组．线性代数及其应用[M ]．北京:科学出版社,２０１０:２５３－２５４．AN e c e s s a r y a n dS u f f i c i e n tC o n d i t i o n s o n t h eC o n gr u e n c e o f N o n Ｇs ym m e t r i cR e a lM a t r i c e s Z H O UJ i a n g Ｇt a o ,㊀S U NS h e n gＧx i a n (S c h o o l o fM a t h e m a t i c s ,H e F e iU n i v e r s i t y o fT e c h n o l o g y,H e f e i ２３０００９,C h i n a )A b s t r a c t :W i t h i n t h ek n o w l e d g e o f l i n e a r a l g e b r a c o u r s e s ,N e c e s s a r y a n dS u f f i c i e n tC o n d i t i o n s o n t h eC o n gr u e n c e o f N o n Ｇs y m m e t r i cR e a lM a t r i c e s a r e g i v e n ．S o m e e x a m p l e s s h o wt h a t t h e s i m p l e a n d p r a c t i c a lm e t h o d i s e a s yt ob em a s t e r e d b y e n g i n e e r i n g st u d e n t s ．K e y wo r d s :n o n Ｇs y m m e t r i c r e a lm a t r i c e s ;c o n g r u e n c e ;d i a g o n a l i z a t i o n ５５第５期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀周江涛,等:二阶非对称实矩阵合同的充要条件。