《自动化技术与应用》２０１２年第３１卷第２期　控韦ｌＪ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｔ　理论与应用　ｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　具有执行器故障的Ｄ　ｅ　ｌ　ｔ　ａ算子系统　Ｄ稳定Ｈ∞鲁棒容错控制　张洛花，李晓辉　（河南城建学院，河南平顶山４６７０３６）　★　摘要：研究Ｄｅｌｔａ算子描述的不确定线性系统在区域极点约束和Ｈ　范数界约束下的鲁棒容错控制问题。利用线性矩阵不等式（ＬＭＩ）　理论，给出了在执行器失效情况下Ｄｅｌｔａ算子不确定系统在区域极点约束下的鲁棒Ｈ　容错控制存在的充分条件，并可通过求　解ＬＭＩ得到鲁棒容错控制器的设计。所得结果可将连续系统和离散系统的有关结果统一到Ｄｅｌｔａ算子框架中。数值算例验证　了该方法的可行性。　关键词：Ｄｅｌｔａ算子；容错控制；　控制；鲁棒控制；区域极点约束　中图分类号：ＴＰ２７３　文献标识码：Ａ　文章编号：１００３　７２４１（２０１２）０２～０００６—０５　Ｄ．ｓｔａｂｌｅ　Ｈ　Ｒｏｂｕｓｔ　Ｆａｕｌｔ．ｔｏｌｅｒａｎｔ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　０ｆ　Ｄｅｌｔａ　∞　ｕａｔｏｒ　Ｆａｉｌｕｒｅｓ　ＺＨＡＮＧ　Ｌｕｏ－ｈｕａ，ＬＩ　Ｘｉａｏ－ｈｕｉ　（Ｈｅｎａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｕｒｂａｎ　Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，Ｐｉｎｇｄｉｎｇｓｈａｎ　４６７０３６　Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｒｏｂｕｓｔ　Ｈ　ｆａｕｌｔ　ｔｏｌｅｒａｎｔ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｒｅｇｉｏｎａｌ　ｐｏｌｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ　ｆｏｒ　ｄｅｌｔａ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎ　ｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｉｎ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　ａ　ＬＭＩ　ａｐｐｒｏａｃｈ，ａ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ａ　ｒｏｂｕｓｔ　ｆａｕｌｔ—ｔｏｌｅｒａｎｔ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｅｌｔａ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ｉｔ　ｃａｎ　ａｓｓｕｒｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｄｅｌｔａ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｓａｔｉｓｆｙ　ａ　ｒｅｇｉｏｎａｌ　ｐｏｌｅ　ｃｏｎ　ｓｔｒａｉｎｔｓ　ａｎｄ　Ｈ．ｎｏｒｍ　ｂｏｕｎｄ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｅｖｅｎｔ　ｏｆ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ　ａｎｄ　ａｃｔｕａｔｏｒ　ｆａｉｌｕｒｅｓ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ　ｃａｎ　ｂｅ　ｄｅｓｉｇｎｅｄ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ＬＭＩ．Ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｃａｎ　ｕｎｉｆｙ　ｐｒｅｖｉｏｕｓ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ　ｏｆ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｔｉｍｅ　ａｎｄ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｔｉｍｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｉｔｈ　ｆａｕｌｔ－ｔｏｌｅｒａｎｔ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｄｅｌｔａ　ｆｒａｍｅｗｏｒｋ．Ａ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈｅ　ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｄｅｌｔａ　ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｆａｕｌｔ—ｔｏｌｅｒａｎｔ　ｃｏｎｔｒｏｌ；Ｈ　ｃｏｎｔｒｏｌ；ｒｏｂｕｓｔ　ｃｏｎｔｒｏｌ；ｒｅｇｉｏｎａｌ　ｐｏｌｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ　１　引言　容错控制是提高复杂控制系统的可靠性和安全性　的一种重要途径。我们在设计系统时，不仅关心系统在　有故障时的稳态性能，而且系统对外部干扰信号的抑制　能力或抗干扰能力也非常关注。　控制就是如何设计　控制器使得外部干扰对输出函数的影响达到最小或限　制在某个指定的范围内。目前关于容错控制系统的日　・基金项目：河南省教育厅自然科学研究计划资助项目（编号　２　０１　０Ａ５１　０　０Ｉ　７）院科研基金项目（编号２　０１１　ＪＹＢ０　０４）　收稿日期：２　０１卜ｌ　Ｏ一１　４　设计问题也取得了不少研究成果。文【ｌ】基于ＬＭＩ方法，　研究了线性系统在区域极点约束下的　控制问题。韩　笑冬等人【　】讨论了在极点约束下的鲁棒满意容错控制。　如文［３１针对一类线性不确定系统，利用区域极点和鲁棒　控制理论，研究了系统存在执行器故障时的鲁棒容错　控制器的设计。但目前基于Ｄｅｌｔａ算子系统的　痞错控　制的研究还不多见。　Ｄｅｌｔａ算子作为一种统一模型的描述形式，已被广泛　应用于控制领域【引。既可以避免基于传统移位算子描述　模型给出的控制算法，在采样周期很小时将引起病态条　

件的问题，又可以将离散系统和连续系统统一进行讨　控制理论与应用　Ｃｏｎｔ　ｒｏｌ　Ｔｈｅｏ　ｒｙ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　自动化技术与应用》２０１　２年第３１卷第２期　论。张端金等人［　１研究了Ｄｅｌｔａ算子描述的线性不确定　系统在多指标约束下的鲁棒　。。控制问题。文［６］讨论了　状态不确定Ｄｅｌｔａ算子系统的Ｄ稳定鲁棒容错控制问　题。本文在此基础上，提出Ｄｅｌｔａ算子不确定系统在区　域极点约束下满足　性能的鲁棒容错控制问题。　２　问题描述　考虑Ｄｅｌｔａ算子不确定线性系统　Ｉ　（ｆ）＝（Ａ－Ｉ－ＡＡ）ｘ（ｔ）＋（Ｂ＋ＡＢ）ｕ（ｔ）＋Ｇｗ（ｔ）　Ｉ　ｚ（ｔ）＝Ｃｘ（ｔ）　其中：　即Ｄｅｌｔａ算子，定义为　＝（ｑ一１）／　，式中丁　为采样周期，ｑ为前向移位算子；　（ｆ）∈Ｒ　为系统状态变　量。　（　）∈Ｒ　为控制变量；ｗ（ｆ）∈Ｒ　为干扰信号；　ｚ（ｆ）∈Ｒｐ为控制输出；Ａ，　，Ｇ，Ｃ为适当维数的已知定　常矩阵；△Ａ，　为系统不确定性，具有形式如下：　［ＡＡ　］＝ＤＦ［Ｅ１　Ｅ２］，其中Ｄ，Ｅ１，Ｅ２为已知定　常矩阵，表示系统不确定性的结构信息，　为满足　Ｆ　Ｆ　Ｉ的适当维数的不确定性参数矩阵，，为单位矩阵。　引入状态反馈　Ｏ）＝Ｋｘ（ｔ）　考虑执行器有可能失效，引入表示执行器故障的开　关矩阵Ｌ，并把其放在状态反馈增益矩阵　和输入矩　阵　之间，其形式为　Ｌ＝ｄｉａｇ（１１，ｆ２＇．……ｚ　）　其中：　｛　雾　冀釜蓍　＝。，　…，　用Ｑ表示所有可能的执行器故障开关阵Ｌ组成的　集合（Ｌ＝０除外），则含执行器故障的Ｄｅｌｔａ算子闭环系　统可表示为　ｆ　（　）＝Ａ　（　）＋Ｇｗ（ｔ）　【ｚ（ｆ）＝Ｃｘ（ｔ）　Ａ　＝Ａ＋△Ａ＋　Ｊ乙　＋△　Ｌ　苴申．　。’　＝Ａ＋ＢＬＫ＋ＤＦ（Ｅｌ＋Ｅ２ＬＫ）。　３　主要结果　引理１［　矩阵Ａ的所有特征根位于圆盘Ｄ（ａ，ｒ）内当　且仅当存在正定对称矩阵Ｐ满足　）　亍Ｐ　）一　，其　＝生　。　由引理ｌ我们可推得如下定义：　定义１　Ｄｅｌｔａ算子描述的故障闭环系统（２）状态反　馈二次可Ｄ鲁棒容错镇定（即Ａ（Ａ　）ｃ　Ｄ（ａ，ｒ）），当且　仅当存在对称正定矩阵尸满足　［　＋　＋（　＋ＡＢｒ）ＬＫ］　Ｐ＋尸［　＋　＋（　＋　）　＋　＋鲍＋（　＋ＡＢｒ）ＬＫ］　＋　＋（　＋ＡＢｐＬＫ］＜０　引理２［　］给定适当维数的矩阵　，Ｆ，王厂，其中Ｆ是　对称的，则Ｆ＋ＸＨＹ＋ＹＴＨ　Ｘ　Ｔ＜０　对所有满足日　Ｈ　Ｉ矩阵日成立，当且仅当存在　一个常数占＞０使得Ｆ＋　＋　－１Ｙ　Ｙ＜０　引理３［　］（Ｄｅｌｔａ算子界实引理）考虑线性系统　（　）的［ｃ　Ａ打］能检测实现　ｆ　ｐｘ（ｔ）；Ａ打　（ｆ）＋Ｇｗ（ｆ）　Ｉ　Ｚ（ｆ）＝Ｃｘ（ｆ），　（０）＝０　如果存在对称矩阵Ｐ　０和实数７，＞０使得　…Ａ　Ｐ＋ＰＡ　＋ＴＡ打Ｔ　ＰＡ　＋（　＋ＴＡ　）ｒ　ＰＧ　（　】　一ＴＧ　ＰＧ）一　Ｇ　Ｐ（Ｉ＋ＴＡ　，）＋Ｃ　Ｃ＜０　（ｉｉ）７￣Ｉ—ＴＧ　ＰＧ＞０　则Ａｂ，稳定且ｌＴｗｚ（　）　ｃ（　一Ａ打）～ＧＩＩ　，ｅｌ。　本章所研究的容错控制目的是求解状态反馈控制　，使得Ｄｅｌｔａ算子描述的故障闭环系统（２）对所有容许　的故障和不确定性同时满足以下约束条件：　ａ）从扰动输入ｗ（　）到控制输出ｚ（ｆ）的传递函数　（　）的Ｈ　范数满足　ｌｌ　（　）ｌｌ　＝ＩＩＣ　（ｒ／一Ａ　）－１Ｇｌｌ　＜７１　其中：　（７）的日　范数定义参见文献［５］．　ｂ）对任意的Ｌ∈Ｑ，闭环系统（２）是稳定的，所有极　点位于以（　，Ｏ）为圆心、ｒ为半径的圆形区域Ｄ（ａ，ｒ）　内，即Ａ（Ａ　）ｃ　Ｄ（ａ，ｒ）。　为简便计算，引入记号　＝尘　ｒｌ　＝　ｒｌ，△Ａ。＝　ｒｌ，　，＝　ｒｌ　＝ＴＢ，Ｄｒ＝　Ｄ　ＴＤ，Ｄｒ　＝　ＧＩ＝ＴＧ　定理１　考虑Ｄｅｌｔａ算子描述的故障系统（２），对给　定的　和任意Ｌ∈Ｑ，若存在正定对称矩阵Ｐ及正实　数　，　２使得下面矩阵不等式组有解。

　自动化技术与应用》２０１　２年第３１卷第２期　｝空韦Ｕ理论与应用　＋ｒ；２ＧＩＧ，￣＋ｅｉＤ１￣＋￡２尽群　（，＋　辟　０　０　昌霹０　砰　，＋　譬０　Ｑ　—ｌ　０　０　（，＋　）　一Ｐ‘　／　Ｅ　ＣＰ－　船　０　ｐ－　０　０　—￡、ｌ　＜０　ｌ一　＋ｒｌ　Ｇ１Ｇ　＋￡１Ｄ１Ｄ　（，＋　）０］　ｙ２＝ｌ　（，＋　）　一　＋Ｃ　ｃ　Ｅ　Ｉ　当存在一个￡２＞０使得　（３）　＋￡ｚ［量］　。Ｅ　＋￡　［　］　。　＜。　ＴＧＧ　一Ｐ一　＜０　（４）　则存在状态反馈增益Ｋ使系统满足ｌＪ　（ｒ）ｌ　７　的约束。　证明：由Ｄｅｌｔａ算子界实引理即引理３可知，系统　（２）满足　。。范数界约束，则需满足　＝　Ｐ＋　４ｃ＋　Ｔ　＋Ｃ　Ｃ　＋（，＋　）　ＰＧ（ｖ２１　１一ＴＧ　ＰＧ）－１Ｇ　Ｐ（Ｉ＋　４ｒ）　＝（，＋　）　～一　）一（，＋　）一　十ｃ　Ｃ＜０　（５）　由Ｓｃｈｕｒ补定理，式（５）等价于　ｉ—ｐ１［－１＇ｙｌ＇－２Ｇ】１Ｇ　一　Ｉ＋ＴＡＴＡ　Ｃ；】Ｃ　ｌ＜。　（６）　ｌ　［，＋　】　一尸ｌ＋　Ｊ　其中：一　＋ｒａ２Ｇ　＜０，则该式等价于式（４）。　将　带／ｋ（６）式后展开并令　ｙ一＿＿尸１　＋ｙ　Ｇ１Ｇ　（，＋ＴＡ＋ＴＢＬＫ）Ｉ　ｌ（，＋ＴＡ＋ＴＢＬＫ）　一Ｐ１＋Ｃ　Ｃ　ｌ　式（６）等价于　＋　［ｏ（Ｅ＋Ｅ２ＬＫ）］＋　。］＜０（７　因为ＦｒＦ　Ｉ，所以由引理２知式（７）成立当且仅　当存在一个￡ｌ＞０使得　［准¨　兰　＋唰＜０（８，　即　［一　ＬＫ）１＜ｏ（９）Ｉ　（，＋　＋　＿曰Ｌ　一　＋ｃ　ｃ＋￡　（Ｅ＋ＥＬ目　（Ｅ＋Ｅ　ｌ、　Ｊ　由Ｓｃｈｕｒ补定理，上式等价于　ｆ　＋　ｑ　＋　（Ｉ＋ＴＡ＋ＴＢＬＫ）０　］　Ｉ（Ｉ＋ＴＡ＋ＴＢＬＫ）　－ｐ，＋Ｃ￣Ｃ　（　＋￣Ｌｈ３　ｌ＜０（１０）　１　０　（巨十　ＬＫ）　，　ｌ　ｌ一　＋　ｑ　＋ｑ日　＋　耳　（，＋　鼋　］　鼋ｌ＜０（　２）　ｌ　Ｅ２　一￡】Ｊ＋岛　ｌ　由Ｓｃｈｕｒ补定理可得　Ｔ　＋　ｑ碍＋　日　＋　马　（，＋　龟马巧０　０　（，＋　一ｅｌｆ　Ｃｒ　Ｋ　ｇ２Ｅ２群　目　一ＥＩＩ＋Ｅ２　豸０　０　０　Ｃ　０　－１　０　０　Ｋ　０　０－￣，２１　对式（１　３）分别左乘右乘ｄｉａｇ（Ｉ，尸～，，，，，，）即可　得式（３）。定理１得证。　定理２　考虑Ｄｅｌｔａ算子描述的故障系统（２），任意　Ｌ∈Ｑ，对给定圆形区域极点指标Ｄ（　，ｒ），存在状态　反馈增益　使系统（２）满足条件（ｂ）约束的充要条件是：存　在正定对称矩阵Ｐ及正实数￡３，￡４使得下面矩阵不等　式有解。　７＂／ｒｌ＋Ｆ＿．３Ｄｄ　＋　孵（，　０　Ｐ￣ｑ＋Ｔ４）Ｔ　—Ｐｑ／Ｔ　ｐ琏　Ｐ　，４ｒ￣ｇ　Ｅ　一　＋ｅ　透０　０　Ｋｐ　０　－ｅ４１　（１４）　证明：由定义１和Ｓｃｈｕｒ补定理可知，Ｄｅｌｔａ算子系　统（２）满足区域极点配置（即Ａ（Ａ　）ｃ　Ｄ（ａ，，．）），当且仅　当存在对称正定矩阵Ｐ满足　ＴＡ　Ｐ　／Ｔ　ｆ＜。　１５　ｌ｛¨　，）　一　ｌ　（’　其中：ａｃ　＝　＋Ｂ　ＬＫ＋Ｄ，Ｆ（巨＋Ｅ２ＬＫ）。　因为Ｆ　Ｆ　Ｉ，由Ｓｃｈｕｒ补定理和引理２可知，上　式成立当且仅当存在一个￡　＞０使得　ｏ］＋　＋　＋￣Ｌ／Ｏ］＜ｏ（　其中：