负泊松比蜂窝结构的弹性分析 摘要： 本文提出一种新颖的负泊松比(NPR)蜂窝结构。相比过去研究的其他的
NPR蜂窝结构,这新结构可以非常容易地使用传统技术和材料进行大规模低成本的制造加工。先对蜂窝结构的几何结构进行描述,然后进行基于标准梁理论的弹性分析，建立其结构的杨氏模量和其相关几何参数和材料属性的关系。讨论了无量纲的几何参数对其结构杨氏模量的影响。为了验证理论分析结果，对蜂窝结构样品件进行压缩试验，且试件采用相同的铝合金材料和不同的几何参数。从理论计算和试验结果可以得到NPR蜂巢结构具有很明显的NPR行为效应。而且几何参数对其弹性模量有很大的影响，可以通过设计和控制蜂巢结构的几何参数来对其进行优化而实现一些特殊的应用。
1. 引言 蜂窝状细胞结构因其优越的力学性能和质量轻的优点而广泛应用于工程领域。近年来负泊松比蜂窝结构因其负泊松比带来的一系列吸引人的的特性，如较高的剪切模量、抗凹能力和断裂韧性。作为一类特殊的NPR材料，NPR蜂窝结构在工程应用中具有广阔的前景，如在传感和驱动装置、冲击保护装置、航空结构等。 蜂窝结构的NPR行为效应取决于其特殊的结构形式。到目前为止,各式各样的的几何形式用来构造NPR蜂窝结构。在许多重要的NPR类型的结构,如内凹结构、手性结构、旋转单元结构。基于这些结构，各式各样的NPR蜂巢结构和材料可以由高分子材料、金属材料、陶瓷材料和其他的材料构成。 然而高成本和低生产率仍然是NPR蜂巢结构和材料生产的主要障碍。尤其，大多数的细胞增大的蜂窝结构因其复杂的几何图形很难由金属材料采用传统的加工方法制造。尽管各种方法被采用并通过非传统的加工方法来加工制造NPR结构和材料，如选择性梁电溶解法、软微影技术、选择性激光熔结和真空铸造法，拥有大规模和低成本生产有效的方法仍然有限。 本文展示了由管和波纹板以一种简单的方式组成的NPR蜂窝结构，通过采用粘合或焊接的方法，简单的将金属管和波形板连接固定在一起而构成NPR结构。采用本文方法，NPR蜂窝结构可以很容易实现低成本下大规模生产。前面的工作中对其结构进行了几何和有限元分析，为了进一步研究其泊松比和杨氏模量，本文的重点工作是研究其结构的弹性分析。
2. 蜂窝结构的几何结构和NPR行为效应 如图1所示为NPR蜂巢结构的的横截面图，它是由直管和波纹板以每个直管与两个波形板相切连接构成。此结构来自复合强化的NPR 3D纺织结构。图2为结构的一个最小重复单元，如下参数被用来描述其几何特征,D为直管的外径；l为壁板的长度；1W为两相邻直管中心点x方向的距离；2W为两相邻直管中心点y方向的距离；θ为x轴与壁板正交方向的夹角。这个角度等价于波纹板和直管所形成的包角的一半。
图1 NPR蜂窝结构 图2 NPR一个最小的重复单元 如图3所示为载荷施加在结构垂直方向的NPR行为效应。可以看到当在垂直方向施加压缩载荷时，其结构在水平方向收缩，如3（a）示。当在垂直方向施加一个拉伸载荷时，其结构在水平方向往外扩张如图3（b）所示。需要注意结构的NPR行为效应不是各向同性的，而是取决于载荷的施加方向。本文仅仅研究在垂直方向施加压缩载荷时的细胞增大行为效应。
图3 结构的NPR行为（a）施加压缩载荷（b）施加拉伸载荷 3. 理论分析 根据Gibson和Ashby蜂窝结构力学理论，决定蜂窝结构线弹性变形的是细胞壁的弯曲。本文的NPR蜂窝结构也是如此，造成其结构变形的主要原因是波纹板的偏斜。为了进行理论分析，做了如下的假设。 1）NPR蜂窝结构由相同的管和波纹板构成，结构的所有的最小重复单元有相同的形状和尺寸，并且所有的管和波纹板采用相同的材料。 2）在未受力状态时，每个波形板形状是由直线和圆弧组成 3）管的弹性变形可以不考虑，所以直管在受载时外径保持不变，管的内径对分析没有影响，本文将其包括在研究之内。 4）因其变形量比较小所以波纹板的拉伸变形可忽略不计。 5）管和波纹板固定连接，所以在受载时管和板将不会发生滑移。
在垂直方向上施加压缩载荷时的结构变形图如图4所示，0l,0，10W，20W是结构为受力状态下的几何参数值，根据假设（2），在未受力时壁板是直的。然而，如图5所示，当在垂直方向对结构施加一个单向应力时，弯曲的壁板将会产生一个扭矩T。
图4 结构的变形图 图5 结构施加压应力受力图
结构的几何关系分析如下所示：
为了便于分析，引入如下无量纲参数： 如图4所示，当结构受力时，半包角θ将会增加，受力时壁板的两端将包裹到管的外管壁，壁板的长度l将会减小，减小量为： 其中 根据关系式（1）-（3），分析图4所示结构的变形情况，可得到结构x，y方向的应变：
由关系式（5），可得到结构的泊松比的计算公式： 结构的杨氏模量可通过能量法来计算，根据标准梁理论，壁板的两端产生的扭矩T为：
其中H为结构的宽度；SE为材料的杨氏模量。 因此壁板的内部能量U为：
同时，结构的应变能为：
其中E为结构的杨氏模量。 根据等式（8）（9），可以得到结构的杨氏模量E的计算公式（10），可以看出E是一个变量，随着壁板偏移角的变化而变化。 4. 结构几何参数对杨氏模量的影响 由式（10），可以得到几何参数对结构杨氏模量的影响情况，就关系式（2）所示，为了方便分析采用无量纲参数α，β，γ来表示结构初始几何形状参数。因此，具有相同的α，β，γ参数和不同的尺寸的结构有相同的几何形状。为了分析α，β，γ参数对结构杨氏模量的影响，采用E/Es-Δθ曲线进行分析。且对三种情况进行分析，一是保持β，γ值不变，改变参数α；二是保持α，γ不变，改变参数β；三是保持α，β不变，改变参数γ。
图6所示为不同α时的SEE/曲线图，其中β，γ给定不变（β=1.8，
γ=0.03）。可以看到SEE/随着α的减小而增加，α的减小又意味着壁板长度l的变小，从而造成结构的密度增大，因而杨氏模量随着α的减小而增大。其次所有的曲线的变化趋势是SEE/随着的增加而增加，从而可以得到在压缩载荷作用下的内凹效应。
图6 不同α时SEE/曲线图（β=1.8，γ=0.03）
图7所示为不同β时的SEE/曲线图，其中α，γ给定不变（α=2.4，
γ=0.03）。可以看到SEE/随着β的增加而减小，β的增加又意味着管的外径D增大，而管外径D的增加会使得波纹板更加的皱褶，从而使得波纹板容易被压缩，因此杨氏模量随着β的增加而减小。然而所有曲线的变化趋势是SEE/随着
的增加而增加，当β增加时这个趋势更加明显。
图7 不同β时SEE/曲线图（α=2.4，γ=0.03） 图8所示为不同γ时的SEE/曲线图，其中α，β给定不变（α=2.4，β=1.6）。可以看到SEE/随着γ的增加而增加，γ的增加又意味着波纹板的厚度t也会增加，从而使得波纹板很难弯曲，因此杨氏模量随着γ的增加而增大。所有曲线的变化趋势是SEE/随着的增加而增加，当γ增大时这个趋势更加明显。从而可以得到在压缩载荷作用下的内凹效应。 图8 不同γ时SEE/曲线图（α=2.4，β=1.6） 5. 对比试验 为了验证分析结果，试验用NPR蜂窝结构组成33单元细胞的两试件，两试件由相同的管、相同厚度的波纹板和相同的材料（铝合金材料sE=70Gpa）构成。为了便于加工制造，两试件采用相同的β、γ（β=1.64，γ=0.03）和不同的α（α=2.55和α=3.00），α的改变意味着蜂窝结构形状的改变。为了确保结构的完整性，添加两块平行板到试件两端，管、波纹板和平行板用改进后的的丙烯酸脂粘合剂粘合连接，粘合后在室温下放置几分钟。 NPR蜂窝结构试件放在英斯特5566电子万能试验机上进行试验，如图9所示为在测试机上安置的NPR蜂窝结构。压缩试验是将压缩载荷施加到上平行板的上表面，同时用数显卡尺测量每个载荷在y方向上的位移。为了防止试件在受到较大载荷时在y方向的出现偏斜，实验的最大的载荷要相对较小（20N），并将其分成20份增量。当结构的变形量较小时，结构的初始尺寸通常用来计算x和y方向的应变。计算作用在上平行板上表面的反作用力，并除以平行板整个初始表面的面积来求得其平均正应力。
图9测试机上安置的NPR蜂窝结构图 图10和图11分别为试件理论分析和实验结果的yx曲线。泊松比的值是由线性回归方程来决定。对于试件一，理论分析的泊松比为-11.0，实验结果为-13.5：对于试件二，理论分析泊松比数值为-12.9，实验结果为-14.5。对比由不同的几何参数组成的两试件的泊松比，可以得出当β、γ保持不变时结构的内凹效应随着α的增加而增加。α的增加意味着两相邻管的中心点在y方向的距离的增大，其距离的增大使得波形板减少褶皱。因此一个非常小的压应变可以导致结构在水平方向发生很大的一个变化。理论分析和实验结果都可以得到NPR蜂窝结构具有很好的NPR效应。
图10 试件一理论分析和实验yx
曲线图
图11 试件二理论分析和实验yx
曲线图
图12和图13分别为试件理论分析和实验结果的应力应变曲线。可以看到应力随着应变增加而线性增加。对于试件一，理论分析和实验结果的应力应变曲线