第２８卷第３期 ２０１０年９月 太原大学教育学院学报
Ｊ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ Ｄ ＳＴｎ Ｉ－Ｉ．１ｃ ０Ｆ ＴＡｌＹＵＡＮ ＵＮｒｖＥＲＳｒＩＹ Ｖ０１．２８ Ｎｏ．３
Ｓｅｐｔ．２０１０
数学猜想教学浅谈 栗裕 ，郭红梅２ （Ｌ山西体育彤｝业学院，山西太原０３０００６； ２．山西生物应用职业技术学院，山西太原０３００３１）
（摘要】数学猜想是数学思维的一种重要形式，它为促进数学发展做出了巨大的贡献。数学教学实践 中教学猜想的作用是不容忽视的．对其分析研究也是必要的。文章结合实例阐述了数学猜想的重要性及教学 猜想建立的基本途径和方法。 ［关键词）数学；猜想；途径；方法 ［中图分类号】０１－０ （文献标识码】Ａ （文章编号】１６７３—７０１６（２０１０）０３—０９９—０３
数学猜想是关于数学教学的一种理念、策略和 方法，其教学过程是以问题为载体。创设一种探索 和研究的情景，让学生通过收集、分析和处理相关 信息，猜测、论证并得出结论，从而实际感受和体 验数学知识的产生和解决的过程． 数学猜想和证明是数学学习和研究中相辅相 成、相互联系的两个方面．数学猜想的方法和合情 的推理在数学教学中是极其重要的．数学猜想是对 研究的对象或问题进行观察、分析、实验、比较、 类比、归纳。再依据已有的知识和材料做出合情的 推测性想象的化归思维方法．数学猜想是一种合情
推理．属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级 认知过程．数学猜想是在数学问题解决之前构想数 学问题解决方法的思维过程． 猜想是数学思维的一种重要形式。它为促进数 学发展做出了巨大的贡献。例如著名的欧拉定理四 色问题、费尔马猜想、歌德巴赫猜想等．教学实践 中数学猜想的作用是不容忽视的，对其分析研究也 是必要的． 一、
建立数学猜想的基本途径
观察是思维的基础，分析是实验的先决条件， 在解决许多数学问题时。我们要通过观察、分析建
参考文献： ［１］徐锦芳．大学外语自主学习理论与实践ｆＭ］．北京：中国社会 科学出版社．２００７． 【２】宋丽丽．一种推动自主学习的英语课堂教学新模式——清 华大学试点班情况报告Ｕ］．清华大学教育研究，２００２，（１）．
【３］严明．大学英语自主学习能力培养￣ｆｆＥ［Ｍ］．哈尔滨：黑龙江 大学出版社．２００８． 【４１１Ｌ．维国．自主学习——学与教的原理和策略【Ｍ】．上海：华东 师范大学出版社．２００３．
Ａ Ｓｔｕｄｙ ｏｎ Ｈａｌｆ－ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ Ｔｅａｃｈｉｎｇ Ｍｏｄｅｌ ＬＩＵ Ｊｉａｎ－ｊｉｎ （Ｆｏｒｅｉｇｎ Ｓｔｕｄｉｅｓ ｏｆ Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ ５１０４２０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｈａｌｆ－ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｏｄｅｌ ａｉｍｓ ｔｏ ｃｕｈｉｖａｔｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｌｅａｒｎｉｎｇ ａｕｔｏｎｏｍｙ；ｍｅａｎｗｈｉｌｅ ｉｔ ｓｔｒｅｓｓｅｓ ｔｈｅ ｔｅａｃｈｅｒ’Ｓ ｈｅｌｐ ｉｎ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｉｔ ａｒｇｕｅｓ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ａｎｄ ｔｅａｃｈｅｍ ｓｈｏｕｈｌ ｐａｔ’ｆｉｃｉｐａｔｅ ｉｎ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ａｎｄ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｔｈｅｙ ｓｈｏｕｌｄ ｐｒｅｐａｒｅ ｃｌａｓｓｅｓ，ｈｏｓｔ ｃｌａｓｓｅｓ ａｎｄ ｅｖａｈｍｔｅ ｃｌａｓｓｅｓ ｔｏｇｅｔｈｅｒ． Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：ｈａｌｆ－ａｕｔｏｌｌｏｍｏｔｔｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｏｄｅｌ；ｐｒｅｐｍ’ｉｌｌｇ ｃｌａｓｓｅｓ；ｈｏｓｔｉｎｇ ｃｌａｓｓｅｓ；ｅｖａｌｕａｔｉｎｇ Ｇｌａｓｓｅｓ
收稿日期：２０１０—０４—２１ 作者简介：栗裕（１９６５一），男，山西太原人，山西体育职业学院讲师。
．－－——９９－－－—— ２０１０年 栗裕，郭红梅：数学猜想教学浅谈 第３期 立猜想，再通过数学实验完成猜想．建立数学猜想 的途径，可以是探索试验、类比、归纳、构造、联 想以及它们之问的组合等．数学猜想是有一定规律 的，如类比的规律、归纳的规律等，并且数学猜想 要以数学知识和经验为支柱．一般来说在解决一个 数学问题之前，可以探索猜想这个『ｎＪ题的结论：在 完成结论之后，应给出猜想解决探索的思路。并最 终得出正确的证明或正确方法过程． 例ｌ：设刷＝者，求和 ） ）
）＋．．・坝 ）． 分析：直接求和很困难．通过观察可发现 ＋ ０＝－１， ＋ ． 猜想：当 。慨ｚ＝ｌ时，如果 一） ２）是一个常数， 则以上和式容易求出．事实上，如果 。帆 ＝ｌ，则 ２）：｝＋ ：＃＋拿：善 ４’＋２ ４ ＋２ ４。＋２ ４。＋２ ４。＋２ １ ＋－－ ＝Ｊ．
４’＋２
冈此求出：Ｊｒ ）七厂‘ ） ‘（ ｉｕ一）＋… ｝） ０ ［Ｉ＿ｌ以上例题可见．观察、分析是数学教学Ｌ｛＿Ｉ发 现规律必不可缺的，在观察、分析的基础上进行数 学实验，是获得数学经验材料的基本途径，也是得 出数学发现、建立数学猜想ｎ勺 本途径． 二、建立数学猜想的基本方法 列举几种建立数学猜想的基木方法如下： １．类比法 类比法是进行数学研究的重要的思维方法之 一，
在实际问题巾， 要角ｆｆ决问题Ｑ时，我们通
过观察、分析会联想到一个已 的或易于解决的问 题Ｐ，闪为数学概念以及解决数学问题的方法郝不 是孤立静止的，而是融会贯通的。许多数学问题的 解决，只要将问题与已有知识进行类比，便可悟出 解决新的数学问题的思路．我们在空问解析儿何的 研究【ｆＩ。经常将所研究的问题与平面解析几何巾的 有关 题年¨比较．例如在平面ｌ｝』直线方程为Ａｘ＋Ｂｙ＋ Ｃ＝Ｏ，空问ｑ１平面方 为 十 ｙ十 十Ｄ＝Ｏ。在平面 ｆ ４． ＋Ｂ，ｖ＋Ｃ．＝０ 巾两直线的交点为方程组｛，１ 斛 ： ＋ｃ ：０的解，
一１（）（）～
于是我们猜想：空间中两平面的交线方程为方程组 竺 慨平面内两直
ｘ＋Ｂｌ Ｇｌ＝０和Ａ２ 十 ２ｙ＋Ｃ￣－－Ｏ相互平行的充要条件 是 ： ＢＩ，于是可猜想：两平面 。 榴。），＋ｃ。 ＋
Ｄ，＝０‘和 ＋ ｃ２ ＝０相互平行的充要条件也
皂一 Ｉｉｉｉ 特 卜Ｉ，俩１ ｌ—Ｂ—ＣＩ 是
一次项系数成比例 Ａ 若・２ ＤＩ Ｈ Ｉ
． 许多的新知识、新发明都是由已知知识通过类
比联想得到的，事物之问的这种类比性，在我们数 学学习过程中起着极其重要的作用． ２．归纳法 ． 归纳是通过对特殊的事例进 行分析．经数学猜想得出普遍的 结论．数学中许多公理、概念的 形成，性质、公式的发现，都是 归纳、猜想、总结的贡献． “ ，，
例２：正三角形内的任意一点Ｐ到三边的距离 之和为一定值．（图１）
教学时先ｉ｝：学生证明：ｐ却 十，Ｊ ＝ Ｕ （ｈ为△ＡＢＣ的高）
通过思考并证明后。教师引导学生对上面定理 进行归纳推理．做出如下猜想： 猜想１：当点Ｐ在ｊ角形外 部时如何？ ～ 猜想２：正凡边形内任意一 点到各边的距离之和是否也为一 定值？ （图２） 猜想３：正四面体内任意一点到其四个面的距 离之和为一定值？ 通过推理论证．猜想ｌ、２、３都是正确的．从 此例我们可以深刻体会到合情的数学猜想是非常有 意义的．不同的学生会有不同的猜想，但都是学生 的主动思维过程，都包含有创新因子的存在．所以 数学猜想是培养学生发散性思维和创造性思维的一 种重要手段． ３．探索性演绎法 探索性演绎法是指依据已有的知识和经验。合 理运刚数学知识，探索并尝试．ｘｑ６Ｊ［－究的对象或问 题做出逼近结论的方向性的猜想方法．探索性猜想 是一种需要按照探索分析的深入程度加以修改而逐 太原大学教育学院学报 ２０１０年第３期（总第９６期） 步增强其可靠性或合理性的猜想．改进猜想、增强 其可靠性的主要方法是“探索性演绎法”．它不是 直接对所得出的猜想Ａ去进行检验，而是由Ａ出 发去演绎出进一步的结论Ｂ、Ｃ、Ｄ…如果Ｂ、 Ｃ、 Ｄ…中的某一个已被证明为假．则可判断原来的猜 想可能为假；而如果Ｂ、Ｃ、Ｄ…都为真，则Ａ为 真的可能性就增大了．探索性猜想与探索性演绎是 相互交叉地进行的．在对一个问题的结论或证明的 方法没有可明确表达的猜想时。可以先给山探索性 猜想．再用探索性演绎来验证或改进这个猜想． 例３：设 为实数。求、／ ＋ＶｘＬ１０ｘ＋３４ 的最小值． 分析：根据多项式及根式直接计 算上式的最小值较为烦琐。但原 式配方变形可得：
原式＝Ｖ６￣－ｆｆ＋ｌ＋、／ ＋９， 直观发现两根式变形后与两点问 距离公式相仿．
Ｙ ■ ，ｃ（２．０） Ａ （１．－ｔ）
猜想：上式可视为平面直角坐标系中轴上某点 Ｐ ．ＤＪ到点Ａ（１，１）与Ｒ（５，一３）的距离之和（如图 ３），如此猜想将数量关系迁移成图形问题． 先做Ａ（１，）关于 轴的对称点Ａ（１，一１），连接 ／Ｉ ，则ＡＢ与 轴的交点ｃ（２，ｏ）到Ａ， 之距离之 和为最小．且易知最小值为４、／２．
若构造图３之后，利用对称性，作 （５，３）关 于 轴的对称点 （５，一３），连接ＡＢ，则ＡＢ与 轴的交点ｃ（２，ｏ）到 ，Ｂ之距离之和为４、／ ，也 是最小值． 三、结论 ． 在实际运用数学猜想过程中．每一种猜想方法 都不是孤立存在的．解决某一问题可能要用到以上 各种方法．总之，数学猜想是一种提出假设的方法， 具有探索真理的作用．我们要通过数学思考进行合 理猜想，注重经历猜想的全过程，无论这个猜想是 否正确．在研究它的过程中对数学的发展将起到不 可估量的作用．我们需要大胆猜想．但猜想绝不是 无源之水、无根之木，它是立足于已有知识经验和 数学思考下的合理推测，要有丰富的知识和敏锐的 观察力，只要我们把这种思维方法运用好．必将真 正提高我们的创造性思维能力和解决实际问题的 能力．
参考文献： ［１】张国勇．高等数学（普通高等学校“十一五”规划教材）［Ｍ】．北 京：教育科学出版社．２００８． 【２】元裕鑫．数学教学中的创新教育Ｕ】．天津师范大学学报， ２００９，（５）． 【３】赵华．数学思维方法解析【『】．内蒙古师范大学学报，２００７，（７）．
Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｎ Ｔｅａｃｈｉｎｇ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅ ＬＩ Ｙｕ ， ＧＵＯ Ｈｏｎｇ—Ｍｅｉ （１．Ｓｈａｎｘｉ Ｓｐｏｒ￣Ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌ ＣｏＨｅｇｅ，Ｔａｉｙｕａｎ ０３０００６，Ｃｌｆｉｎａ； ２．Ｓｈａｎｘｉ ｈｌｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｂｉｄｏｇｉｃａｌ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔａｉｙｕａｎ ０３００３ １，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅ ｉｓ ａｌｌ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆｏｒｍ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔｈｉｎｋｉｎｇ．Ｉｔ ｈａｓ ｎｌａｄｅ ａｌｌ ｅｎｏｒｎｌｏｕ８ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｐｒｏｌｎｏｔｅ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｔｈｅ ｒｏｌｅ ｍａｔｈｃｎｍｆｉｃａｌ ｃｏｎｊｅｅｔｕｔ＇ｅ ｉｎ ｔｅ？ｃｈｉｎｇ ｃａｌｌ ｎｏｔ ｂｅ ｉｇｎｏｒｅｄ ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｎｅ ｃｅｓｓａｎｙ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ｉｔ．Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｅｘｐｌｏｒｅｓ ｗｉｔｈ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｔｉｌｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｏｆ ｎｍｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅ ｔｏ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｇａｔｅｗａｙ ａｌｌ（］ｍｅｄｌｏｄ． Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ；ｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅ；ｇａｔｅｗａｙ；ｍｅｔｈｏｄ