２０１０年１２月 噪声与振动控制 第６期
文章编号：１００６—１３５５（２０１０）０６—００３４—０５
液压Ｓｔｅｗａｒｔ平台谐振频率优化设计研究
彭利坤，吕帮俊，熊先锋，邢继峰
（海军工程大学船舶与动力学院，武汉４３００３３）
摘要：将Ｓｔｅｗａｒｔ平台的液压分支作为假想的单开链，由空间机构的位姿关系建立其组成构件的局部坐标系 （ＬＲＦｓ），并利用ＲＰＹ角描述方法，通过转移矩阵将各构件的刚度及质量矩阵依次转移到固定坐标系（ＦＲＦ）中，得到了 系统谐振频率的计算公式。在此基础上考虑机构的工作空间、液压缸长等约束条件，构建了综合衡量Ｓｔｅｗａｒｔ平台谐振 频率的优化模型，分别采用拟牛顿优化算法（ＱＮＡ）ｆＵ遗传算法（ＧＡ），对系统的最小谐振频率最大化问题实现优化设
计。优化结果表明，最小谐振频率与Ｔ作空问是互相制约的，在设计时需综合权衡。 关键词：振动与波；Ｓｔｅｗａｒｔ平台；谐振频率；遗传算法 优化设计 中图分类号：ＴＰ１ ｌ３．１ 文献标识码：Ａ ＤＯＩ编码：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６．１３５５．２０１０．０６．００８
Ｏｐｔｉｍａｌ Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆＨｙｄｒａｕｌｉｃ Ｓｔｅｗａｒｔ Ｐｌａｔｆｏｒｍ Ｂａｓｅｄ Ｏｎ
Ｒｅｓｏｎａｎｃｅ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ － ●
ＰＥＮＧ Ｌｉ－ｋｕｎ， Ｂａｎｇ－ｊｕｎ，ＸＩＯＮＧ Ｘｉａｎ—ｆｅｎｇ，ＸＩＮＧ Ｊｉ—ｆｅｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＮａｖａｌ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ ａｎｄ Ｍａｒｉｎｅ Ｐｏｗｅｒ，Ｎａｖａｌ Ｕｎｉｖ．ｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｕｈａｎ ４３００３３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｌｅｇｓ ｏｆ ａ Ｈｙｄｒａｕｌｉｃ Ｓｔｅｗａｒｔ ｐｌａｔｆｏｒｍ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｓ ｖｉｒｔｕａｌ ｓｉｎｇｌｅ ｏｐｅｎ—ｌｏｏｐｓ．Ｌｏｃａｌ
ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｆｒａｍｅｓ（ＬＲＦｓ）ｏｆ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ａｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ
ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓ．ＲＰＹ ａｎｇｕｌａｒ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ａ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｍａｔｒｉｘ ｗｈｉｃｈ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ ｔｈｅ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍａｔｒｉｘ
ａｎｄ ｍａｓｓ ｍａｔｒｉｘ ｏｆ ｅａｃｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｆｒｏｍ ＬＲＦｓ ｔｏ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｆｌａｍｅ（ＦＲＦ），ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ
ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ａｎ ｏｐｔｉｍａｌ ｍｏｄｅｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｗｏｒｋｓｐａｃｅ，ｃｙｌｉｎｄｅｒ ｓｔｏｋｅ ｅｔｃ ｉｓ
ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｔｏ ｓｙｎｔｈｅｔｉｃａｌｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｔｅｗａｒｔ ｐｌａｔｆｏｒｍ．Ｑｕａｓｉ—Ｎｅｗｔｏｎ
ａｌｇｏｒｉｔｈｍ（ＱＮＡ）ａｎｄ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ（ＧＡ）ａｒｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｍａｘｉｍｉｚｅ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ
ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎｄ ｗｏｒｋｓｐａｃｅ ａｒｅ
ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｏｒｙ ｆａｃｔｏｒｓ ａｎｄ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｓｙｎｔｈｅｔｉｃａｌｌｙ ｉｎ ｄｅｓｉｇｎ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｗａｖｅ；ｓｔｅｗａｒｔ ｐｌａｔｆｏｒｍ；ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ；ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｏｐｔｉｍａｌ
ｄｅｓｉｇｎ
载人的大惯量Ｓｔｅｗａｒｔ平台多采用液压驱动，其
必然存在液压机械综合谐振问题，这是由于油液可
压缩性、传动铰链弹性及负载惯性等引起的。虽然
液压Ｓｔｅｗａｒｔ平台具有承载能力强、自重负荷比小、
误差不累积等优点，但用于动态响应要求高的运动
收稿日期：２０１０—０１—１３；修改日期：２０１０—０３—２２ 资助项目：国防预研基金（５１４１４０３０１０５ＪＢｌ１０９），海军工程大 学自然科学基金（ＨＧＤＪＪ０７叭３）
作者简介：彭利坤（１９７５一），男，博十，讲师，主要研究方向为 机电液控制与仿真、并联机构。 Ｅ—ｍａｉｌ：ｐｅｌｉｋ＠１６３．ｃｏｌｎ 模拟器时，又存在谐振频率低成本高的缺点，所以很
有必要对其谐振频率进行优化设计从而满足控制要
求。 在Ｓｔｅｗａｒｔ平台等并联机器人机构的结构优化
问题研究方面，已有一些学者取得了不小的进展 。Ｊ。
ＺｈａｏＩ４ 采用变量最小数方法对空间并联机构的分支
长度进行优化用以得到灵活工作空间。Ｌｏｕ【５ 提出
了随机搜索方法来对Ｄｅｌｔａ机器人和Ｇｏｕｇｈ．Ｓｔｅｗａｒｔ
平台进行多维非线性的运动学优化。Ｓｔｏｃｋ 将操纵
性和工作空问指标进行加权线性组合使优化设计成
为混合的多准则优化问题。最近，Ｇａｏ【
利用人工神 液压Ｓｔｅｗａｒｔ平台谐振频率优化设计研究 ３５
经网络方法，从刚度和灵活性角度对Ｓｔｅｗａ￣机构进
行了单目标和多目标优化设计。总的来说，虽然并
联机构的优化研究不少，但考虑液压Ｓｔｅｗａ￣平台谐
振频率及其优化方面的研究却很鲜见。
本文首先建立系统的固定坐标系和局部坐标
系，再依次推导出三维万向铰链和液压弹簧刚度的
数学模型，后通过转移矩阵得到系统谐振频率的计
算公式。在此基础上构建了综合衡量Ｓｔｅｗａ￣平台
谐振频率的优化模型，分别采用拟牛顿算法和遗传
算法进行了优化设计。
１数学模型建立
１．１坐标系
液压Ｓｔｅｗａ￣平台由上平台（运动平台）、下平台
（固定基础）以及六个相同的分支构成。每个分支中
间为液压缸（１自由度），通过球铰（３自由度）和虎克
铰（２自由度）分别与上、下平台连接。根据空间机构
的自由度计算公式可知上平台有６自由度的空间运
动。在其作为模拟器的运动基时，其上平台（包括负
载）的质量一般比分支液压缸大得多，故可忽略液压
缸的惯性，只考虑分支的弹性及阻尼，且阻尼假设为
粘滞型的，此时分支液压缸对上平台的作用力沿各
缸的轴线方向。在此将上平台（及负载）、下平台（及
基础）假定为绝对刚体，且下平台质量为无穷大；并
且在某个工作点，振动的位移和角位移均很小，且构
件的弹性模量和阻尼系数是常量。
取上平台及其负载相对于固定坐标系Ｂｘｙｚ沿
坐标轴的平动Ｘ一＿ｑ ｇｚ ｇ。］ 和绕坐标轴的转动
一 ｇ ｇ。］１六个量ｘ一［Ｘ ］ 作为描述上平
台运动的广义坐标。此处建立的固定坐标系和局部
坐标系分别如图１所示，其中：上ｌｚｗ为固定坐标
系，坐标原点选在下平台铰链中心点外接圆的圆心；
Ｐ￣＇ｙｚ为与上平台及其负载的三个惯性主轴平行的
局部坐标系，原点Ｐ为上平台铰点外接圆的圆心；
Ａ ｘｙｚ，Ｂ ｉｙｚ，Ｃ ｙｙｚ，Ｄ ，Ｅ ｘｙｚ为与第ｉ个液压缸
的球铰、虎克铰、下液柱、，ｈ液柱、活塞杆惯性主轴重
合的局部坐标系，原点Ａ ，Ｂ ， ，Ｄ ，Ｅ 分别为对应
单元的中心点或质心点，其中 轴沿液压缸轴向， 轴
平行于Ｂｘｙ平面，ｖ轴由右手定则确定。
在图１中选取上下平台外接圆半径 、ｒ ，半径
夹角，ｌ ，ｌ ，作为确定系统的发计参数。这四个参数
加上液压缸的约束条件，整个系统结构即可确定。
为得到系统的谐振频率，下面先建立铰链、液压柱的
刚度模型。 １ Ｓｔｅｗａ￣平台的局部坐标系与 定坐标系
Ｆｉｇ．１ ＬＲＦｓ ａｎｄ ＦＲＦ ｏｆ Ｓｔｅｗａ￣ｐｌａｔ￣ｒｍ
１．２万向铰链刚度
在Ｓｔｅｗａ￣平台中经常使用万向铰链，这种铰链
大多使用虎克铰（二维）或虎克铰与转动副组合（三
维），且一般用滚动副代替滑动副以便预紧并可消除
间隙。此处以三维万向铰链为例推导其刚度计算公
式。如图２所示，轴承Ａ，Ｂ，Ｃ的转角分别用
， ，）， 表示．由图可知，轴承Ｂ仅受径向力，轴承Ｃ
仅受轴向力，轴承Ａ所受径向力和轴向力随 角的变
化而变化．在此定义铰链受力（Ｆ，，Ｆ ，Ｆ ）、变形
（ ， ， ）和刚度（ＫＬ，，Ｋ ，Ｋ ）的方向与轴承Ａ一致。
图２铰链受力、变形与刚度示意图
Ｆｉｇ．１ Ｓｃｈｅｍｅ ｏｆｊｏｉｎｔ ｆｂｒｃｅ．ｄｅ￣ｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｔｉｆｎｅｓｓ
考虑到轴承承受径向力时都是由两个轴承并联
分担，受轴向力时仅有一个轴承承担，故可计算出铰
链的刚度分量Ｋｒ和Ｋ 分别为：
１Ｋ一去＋去＋去 ㈩ ｒ ２Ｋ ２Ｋ Ｋ …
及 ２０１０年１２月 噪声与振动控制 第６期
１＝ ＋去＋去 （２） Ｋ Ｋ ２Ｋ Ｋ …
其中右上标表示轴承Ａ，Ｂ，Ｃ；相应的变形分量
币口 分另０为：
一丁Ｆｊ ｃｏｓｇＢ， 一百ＦＩ ｓｉｎｆｌｕ（３）
铰链总变形量为：
，＝√ ＋ （４）
从而得铰链刚度为：
Ｋ，＝ ｆｊ：—— 一（５） ／ ＋（ 一Ｋｆｆ）ｓｉｎ。
在计算过程中，需要计算出给定轴向预紧力Ｆ 。
时，圆锥滚子轴承轴向刚度 。和径向刚度Ｋ们。其
计算公式为：
（＝ｌ＝２９．ｏｎｌｆ。 ｓｉｎ 。０／ Ｆｏ￣￣１ （６）
：７．２５３ ．８Ｚ０．９ ＦＯｂ１ （７） ＳＩＤ １２Ａ 式中： 为圆锥滚子轴承滚子有效接触长度
（ｍｍ）， ＝ 一２ｒ， 为滚子全长（ｒａｍ），ｒ为滚子两端
倒角（ｍｍ），ａ为接触角， 为滚动体数目。
１．３ 液压弹簧刚度
在液压Ｓｔｅｗａｒｔ平台机构中采用较多的是电液
伺服液压缸，最近还出现了数字液压缸。根据液压
缸腔内压力的变化与腔室体积相对变化之间的关
系，可以推导得到液压缸液压弹簧刚度：
Ｋｓ＝ｋｌ＋ｋｚ： ＋ ＝竽＋警㈦
式中：Ｅｙ为油液体积弹性模量（Ｎ・７＂ ）；Ｓ 、Ｓ 液压
缸的油腔有效活塞面积（ｍ。）；Ｖ 、Ｖ 为液压缸腔室
容积（ｍ。）；Ｌ 、Ｌ。为液压缸有杆腔与无杆腔长度
（ｍ）。
１．４谐振频率计算
将平动位移、角位移在在局部坐标系中分别用
向量ｚ，、ｚ，表示，它们都是３×１的列向量。将线位移
与角位移合写在一起，则在局部坐标系中广义位移
ｚ： ，Ｘｒ］ ，相应的在固定坐标系中广义位移
Ｘ：ｌ Ｘ， Ｉ‘。
为将局部坐标系的向量转移至固定坐标系
下，拟采用ＲＰＹ（Ｒｏｌｌ—Ｐｉｔｃｈ．Ｙａｗ）角描述。如图３所
示，ＲＰＹ角描述上平台坐标系Ｐｘｙｚ方位的法则如
下：Ｐｘｙｚ的初始方位与参考系Ｂｘｙｚ重合。首先将
Ｐｘｙｚ绕 轴转），角，再绕 轴转 角，最后绕Ｂ 轴转
１２角。因为三次旋转是相对固定坐标系而言的，故得
相应的旋转矩阵： Ｒｘ （ ， ，ｙ）：ａＺｏ，１２）Ｒ（Ｙｏ，ｚ＞（Ｘｏ，），）
ｆ ＣａＳｆｌＳｙ—ＳＡＣ？＂ Ｃｙ＋ｓａｓｒｆ（９）
＝ｌＳａ ｓ ），＋ＣａＣｙ ＳａＳｆｌＣｚ—ＣａＳ），Ｉ 卜 ｃｐｓｒ ｌ
图３局部坐标系相对于崮定坐标系的ＲＰＹ角 Ｆｉｇ．３ ＬＲＦ ＲＰＹ ａｎｇｌｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｔｏ ＦＲＦ
式中：ＣＯ＝ＣＯＳ ，ＳＯ＝ｓｉｎ （ ＝ＯＬ、 、ｙ）。由图３可
知局部坐标系相对于固定坐标系的ＲＰＹ角分别为：
Ｊ ｙ＝ｇｌ（０１） ｛ ＝０２＝０ （１０）
ｃ ＝ （ ３）
式中： ， 表示ＲＰＹ角 、 和 ｌ、 ３存在如正负、加
减直角等简单的代数关系（图（２）中平面图所示
＝－（９０。＋ 。））。
进行坐标系转换时，有关系式
＝Ｒ ．Ｔ ．３２ （１１）
式中：Ｒ，Ｒ 一转动矩阵及其转置；丁，Ｔ 一平移矩阵
及其转置，Ｒ，丁的具体计算式如下 ：
Ｒ＝｛Ｒｘ ‘若’ ，ｙＪ尺 ， ，ｙ，｝ ２
丁＝ ｝ ，
１ ０ －－Ｚ０ Ｙｏ Ｉ Ｄ＝Ｊ ０ —３７ｏ Ｊ （１４） ｌ ０．２７Ｏ ０ Ｉ
式中：Ｒ ｙｚ（ａ， ，ｙ）由式（９）确定，Ｄ为局部坐标系原
点在固定坐标系下的位置坐标 。、Ｙｏ、ＺＯ）的３阶反
对称矩阵，，为３阶单位阵。
在求解系统谐振频率时先将局部坐标系Ｐｘｙｚ
中上平台及其负载的质量矩阵
Ｔｎ ＝ｄｉａｇ［ｍ ， ０ 转移至固定坐标
系下得到等效质量矩阵Ｍ，再将局部坐标系下的刚
度矩阵 ＝ｄｉａｇ［Ｏ ０ ｋ ０ ０ Ｏ］转移至固定坐
标系下，并根据分支构件串并联关系计算出分支刚
度，则可得到系统的等效刚度矩阵Ｋ。系统谐振频