矩阵的合同，等价与相似的联系与区别

一、基本概念与性质

（一） 等价：

1、 概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为 B,则称矩阵A与B 等价，记为A三B。

2、 矩阵等价的充要条件：

A.B同型，且人 r（A）=r（B）

— 存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=成立

3、 向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知： 两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二） 合同：

1、 概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P,使得A三BPTAP = B 成立，则称A,B合同，记作A三B该过程成为合同变换。

2、 矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A二B=二次 型XTAX与XTBX有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

（三） 相似

1、 概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B = P'AP成立， 则称矩阵A,B相似，记为A~B。

2、 矩阵相似的性质：

AT ~BT,Ak~Bk,AJ~ BJ(前提，A,B均可逆)

| E-A |=| ■ E - B|即A,B有相同的特征值(反之不成立)

A〜B n r(A)=r(B)

tr(A) =tr(B)即A,B的逆相等 |A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件：

① 充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。

② 充要条件：A〜Bu (.E—A)m(.E — B)

二、矩阵相等、合同、相似的关系

(一) 、矩阵相等与向量组等价的关系：

设矩阵 A =(，1,2 丨 1( J n)， B = ( ：i, F)

1、 若向量组()是向量组(’1, '2,川，’n)的极大线性无关 组,则有m^n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱 者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵 B与A亦不同型，虽 然r(A)=r(B)但不能得出A三B。

2、若m=n两向量组(人,毎,川,打)兰(f 川严m)则有矩阵A,B同 型且 r(A)二 r(B)二 A 〜B, A LI B, A 二 B r( A)二 r(B)二 A 二 B。

3、 若A三B= r( A) = r(B)=两向量组秩相同，•二两向量组等价，即有

A 三 BjCi, kjlh'n)三(一1,-2,川,'n)

综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。

(二) 、矩阵合同。相似，等价的关系。

1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为 三者均具有自反性、对称型和传递性。

2、 合同、相似、等价之间的递推关系

① 相似=等价：A~B= A,B同型且r(A) =r(B)= A三B

② 合同=等价：A[JB= A,B同型且r(A)=r(B)= A三B

③ 相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以 I、若A,B均为实对称矩阵，则有 A,B 一定可以合同于对角矩阵当

A~ B 时,| 丸E —A|=| 丸E —Bp 二次型 f(x)=XTAX 与 g(x) = XTBX 有相同的 标准型，即二者有相同的正负惯性指数 =AL B= A三B

即有 A~ B= A] B= A 三 B

H、 存在一个正交矩阵 P, 即卩PTP二E使得PTAP二B即AL B则有

B = PT AP 二 F1 A宀 A B 即有 AL B= A~ B

皿、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵 P,则

A~ B 时有 A~B= ALBU A二 B

W、 A~ B= r(A) =r(B)、A[J B= r(A) =r(B)、A 三 B= r( A)二 r(B)

下面讨论r(A) =r(B)时A~ B,ALI B, A三B成立的条件。

由I、H、皿的论述可知

存在正交矩阵P时，有P^PJ，则

r(PTAP)二 r(A)记 B = PT AP则 r(A)二 r(B)

此匕时AL B= A~ B= A三B

即P为正交矩阵时，由r(A)=：r(B)= A~ B,ALI B,A三B

(三)

I、 矩阵等价：①同型矩阵而言

② 一般与初等变换有关

③ 秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的

本质是秩相等

2、 矩阵相似：①针对方阵而言

② 秩相等是必要条件 ③ 本质是二者有相等的不变因子

3、 矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵

② 秩相等是必需条件

③ 本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同

由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变 量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量， 存在负惯性指数是对称矩 阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由 相似和合同一定可以推出等价， 而反之不成立。相似与合同不可互推， 需要一定的条件。 而且相似不一定会都与对角阵相似， 不能与对角阵 可看作同意线性变换在不同基下的矩阵