1 量 子 纠 缠 态 的 制 备 方 案

姓名：张强

安徽大学物理与材料科学学院2001级应用物理

导师∶叶柳

摘 要 什么是纠缠态，纠缠态具有那些特性，又如何去制备纠缠态，本文将围绕这几方面的问题做出讨论。在第一部分中我们将给出纠缠态的定义和度量，研究纠缠态的一些特性,第二部分中我们将系统介绍目前理论上利用自发参量下转换,通过腔量子电动力学和离子阱制备纠缠态的各种方案，以及在实验上的进展。

关键词 量子信息，纠缠态，量子隐形传态

Preparation of entangled states in quantum information

Name Zhang Qiang

Applied Physics 2001, School of Physics and Material Science, Anhui University

Tutor Ye Liu

Abstract What are entangled states, which distinctive qualities do entangled states have and how

to prepare entangled states? In this thesis we discuss these some aspects in detail and our main

research work is outlined as follows: In section 1 we first give a definition of entanglement and

illustrate some distinctive qualities of entangled states, In section 2 we show many existing

different schemes for preparation of entangled states by spontaneous parametric down

conversation, cavity quantum electrodynamics and ion traps.

Key words quantum information, entangled states, quantum teleportation

2 一 引言

（1）纠缠态的量子力学理论基础

量子力学是关于微观世界的物理理论，在量子世界中，系统的完整信息是用它的波函数来表述，通过波函数可以计算任意可观察量的可能值。在经典物理中波通常被认为是媒质中的一种扰动，然而量子力学中没有媒质，从某种意义上说量子力学中根本就没有波,波函数本质上只不过是我们对量子系统信息的一种陈述，它的物理意义在于能对它所描述的系统实施测量的结果几率分布做出预言。在空间任意一个给定体积内找到一个粒子的概率正比于其波函数幅值的平方，这使量子力学根本上区别于任何经典统计，是量子力学最具有独创性的地方，也是量子力学的核心内容。

在经典物理中，给定状态下粒子的坐标和动量(或速度)都可以取确定值，与经典世界不同，量子力学所描述的粒子的位置和动量是不能完全确定到任意精度的2h•px，这就是量子力学中的测不准关系，即要使粒子位置得到精确测定0x，就必须p粒子的动量就完全不确定，分布在很大的范围内;相反，若动量有很小的分布，波函数就必须分布于大范围内，这样粒子的位置也就不确定了。对于同样一些系统进行同样精心的测量不一定产生同一结果，事实上结果是分散在波函数描述的范围内，因此，粒子特定的位置和动量实际上是没有意义的。另外，还可以严格证明在量子力学中两个不对易的力学量算子都存在着类似的不确定关系。

量子力学令人惊诧的一个发现是电子的波函数对于电子交换变符号。其结果是戏剧性的，如果两个电子处于相同的量子态，则其波函数相反，因此总波函数为零，也就是说两个电子处于同一状态的概率为0，此即Pauli不相容原理。所有半整数自旋的粒子(包括电子)都遵循这一原理，并称为费米子。自旋为整数的粒子(包括光子)的波函数对于交换不变号，称为玻色子。

在量子力学中每一个力学量F都用一个线性厄米算子Fˆ表示，测量力学量F的可能值谱就是算子Fˆ的本征值谱，仅当系统处于Fˆ的某个本征态时，测量力学量F才能得到唯一结果。量子体系(如原子)不仅能处于一系列的定态，也可以处于它们的叠加态。测量处于叠加态原子的某种性质(如能量)，一般说来有时得到这一个值，有时得到另一个值。量子力学的目的不仅是描述微观系统的状态，而且还希望了解微观体系状态的变化过程，以及决定变化过程的相互作用动力学机制，从而有效的控制、利用量子现象。量子系统态矢量 3 的演化遵从薛定谔方程: ˆti，ˆ是系统的哈密顿量。

可以构造处于纠缠态的双原子体系，使得两个原子共有相同的性质。当这两个原子分开后，一个原子的信息被另一个共享(或者说是纠缠)。这一行为只有量子力学的语言才能解释。纠缠态体现了量子体系与经典物理截然不同的性质，这个效应太不可思议引起了众多学者的关注，纠缠态已经应用于量子通信系统，也成为量子计算机的基础。

（2）纠缠态的提出

由量子力学描述的微观世界表现出诸多令人惊奇的现象，他们与人们的直觉不相吻合，这促使人们从另一个角度以另一种眼光看待微观世界，也提示人们更精确而全面地审视量子理论，探究其基本概念和逻辑结构的自洽与完备。量子纠缠是量子力学的必然结果，也是量子力学最重要的特征之一，“纠缠”这一名词的提出可以追溯到量子力学诞生之初[1]。从历史上讲，纠缠态的概念最早是薛定谔猫态一文中提出来的[2]. 1935年薛定谔提出了一个假想实验，对波函数的统计诠释提出责难，在他的理想实验中，一只猫被关在笼子里，笼子里放一个毒药瓶，瓶的开关由一个放射性装置控制。设想放射源在每一秒内有1/2的几率放出一个粒子，这个粒子又通过一些转动装置将毒药瓶打开，毒药一被释放，猫就被毒死;而如果没有放出粒子，猫就一直活着。薛定谔用下列波函数来描述猫和原子这个复合系统:

死猫活猫ba, 122ba。

根据哥本哈根解释，2a表示原子处于激发态而猫是活着的概率，2b表示原子处于基态而猫是死的概率，也就是说猫是处于半死不活的状态。在这个假想实验中，关上笼子后，在没有打开笼子之前猫处于1/2几率活着，1/2几率死了的状态，一旦打开笼子，我们只可能会看到一种状态，猫要么活着要么死了，这样猫的生死不是依赖于打开笼子前的“客观存在”而是依赖于我们的“观察”，因此量子力学的统计诠释是有悖日常生活经验，难以接受的。同年Einstein.Podolsky和Rosen[3]一起提出EPR佯谬，EPR认为，作为一个完备的理论，每一个实在的成分都必须能够从中找出它的对应成分，判定一个物理量的实在的充要条件是，在不扰动系统的情况下能对其做出确定性的预言。爱因斯坦等人在EPR文章中提出如下一个量子态[1]:

dppxxxixx02121/exp,

其中1x和2x分别代表两个粒子的坐标，这样的一个量子态不能写成两个子系统态的直积形 4 式:

2121,xxxx

薛定谔将这样的量子态称为纠缠态。同样对于一个由N个子系统构成的复合系统，如果系统的密度矩阵不能写成各个子系统的密度矩阵的直积的线性和的形式，则这个复合系统就是纠缠的，即:

Niiiip121...

这里0ip并且1iip

爱因斯坦等人提出纠缠态的目的是意图说明在承认局域性和实在性的前提下，量子力学的描述是不完备的。在经典世界中我们无法否定一个物理对象的实在性，它是一个真实的实在，其能量动量具有确定的数值。我们也无法想象两个类空间隔的客体有任何联系,这就是我们习以为常的定域性，上述两个性质我们称之为定域实在性。

企图给量子纠缠现象以理论解释的是Bohm，他首先提出隐变量理论在隐变量理论中，测量实际上是经典决定论的，引进这些隐变量的目的就是希望将量子力学中不能对某些观测量做出精确预言的事实归结为还不能精确知道的隐变量而一旦这些隐变量决定后，就可以精确的给出任何可观测量。

这种隐变量理论是否能解释量子力学的结果呢?爱尔兰物理学家Bell进一步分析了这一问题，1964年，在其发表的一篇文章中提出了一个不等式，这

就是著名的Bell不等式。在Bell所设计的实验中，局域隐变量理论得到的结果满足Bell不等式，而量子力学的预言将超出不等式的限制。近年来物理学家为检测Bell不等式做出了不懈的努力，法国的Aspect在1982年做出了目前最具有说服力的检验Bell不等式的实验。

（3）纠缠态的不可克隆性

1982年，Wootters等人证明了量子不可克隆原理，这个原理的内容是:任何未知的量子态在不被破坏的前提下是不可能被克隆或复制的。量子不可克隆原理实际上等同于测不准原理，因为根据测不准原理要想达到精确测量任何一个量子的所有状态是不可能的测量同时意味着对这个量子态的破坏。而如果存在着某个量子态能被克隆，就可以得到大量相同的复制品，从而就可达到精确测量的目的，但这是不可能的。

因此量子态的不可克隆是量子力学的固有特性，也是量子信息科学的重要理论基础之一。量子态不可克隆定理是量子密码通信的重要前提，它确保了量子密码的安全性，使得 5 窃听者不可能采取克隆技术来获得合法用户的信息。这个原理实际上也否定了用经典方法传送或者转移量子态的方案。

适用于两态的量子不可克隆定理后来被进一步推广到混合态的情况，并证明了一个更强的定理，文献中称为量子不可播送定理[4]，不可克隆定理也被推广到纠缠态的情况。

考虑如果量子态可以被克隆的话会出现什么样的情况呢?假设制备出处在某一最大纠缠态的许多量子位对，把每对中的量子位1放在Alice所在的星球上，而量子为2放在Bob所在的地球上。如果未知的量子位对可以被可靠的复制，当Bob想发送1比特的消息给Alice时，他就可以选择测量他的那个量子位的自旋投影。1ˆ或3ˆ中的一个，从而利用纠缠现象制备出Alice的量子位处在xx,或zz,之一的态上。如果Alice能够复制这些未知的量子位，她就能够通过多次投影测量，肯定能区分出Bob采用的操作究竟是1ˆ，或是3ˆ，从而破译出Bob发过来的信息，实现超光速的通信。而超光速和狭义相对论相

矛盾，当然是不可能的。

量子纠缠的这些特性使纠缠态的功用决不仅仅在于检验基本理论的完备性，随着量子信息的发展，纠缠态发挥越来越重要的作用，可以被用于量子隐形传态，量子纠错，量子秘钥分配等领域。

（4） 量子纠缠态的度量

违背Bell不等式虽然是量子纠缠的一个显著特征，但并非所有的纠缠态都违背Bell不等式，因此就需要对一个纠缠态在多大程度上违背Bell不等式以定量描述。这就启发了最初的纠缠态度量问题的研究。所谓纠缠度就是指所研究的纠缠态携带纠缠的量的多少。纠缠度的提出为不同的纠缠态之间建立了可比关系。周正威等人[1]对纠缠的度量问题做出过详细讨论发。

二 量子纠缠态的制备

（1）自发参量下转换制备光子纠缠

到目前为止，可以用各种方法来制备纠缠态，但是通过非线性晶体的自发发射参量下转换所产生的极化纠缠光子对是纠缠纯度最高的体系，同时具有一定的强度。自发参量下转换是晶体的非线性作用过程，根据晶体位相匹配的类型可将参量下转换分为I型和Ⅱ型，下面分别介绍两种类型的特征(以负单轴晶体为例)[5]。

I型参量下转换的过程可以表示为ooe，也就是产生的双光子偏振相同，且均