31 §9. 矩阵的分解

矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。

这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。

一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。

将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。

定义1 如果(1,2,,)iiain均为正实数，()(,1,2,1;ijaCRijin

1,2,),jiin则上三角矩阵

11121222000nnnnaaaaaRa

称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)iiain时，R称为单位上三角复（实）矩阵。

定义2如果(1,2,,)iiain均为正实数，()(,1,2,1;ijaCRijin

1,2,),jiin则下三角矩阵

11212212000nnnnaaaLaaa 32 称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)iiain时，L称为单位下三角复（实）矩阵。

定理1设,nnnAC则A可唯一地分解为

1AUR

其中1U是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵；或者A可唯一地分解为

2ALU

其中2U是酉矩阵，L是正线下三角复矩阵。

推论1设,nnnAR则A可唯一地分解为

1AQR

其中1Q是正交矩阵，R是正线上三角实矩阵；或者A可唯一地分解为

2ALQ

其中2Q是正交矩阵，L是正线下三角实矩阵。

推论2 设A是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵R，使得

TARR

推论3设A是正定Hermite矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵R，使得

TARR

定理2设,nnnAC用L表示下三角复矩阵，*L表示单位下三角复矩阵，R表示上三角复矩阵，*R表示单位上三角复矩阵，D表示对角矩阵，则下列命题等价：

（1）A的各阶顺序主子式 33 1112121222120(1,2,,)kkkkkkkaaaaaaknaaa；

（2）A可唯一地分解为*ALR，并且L的主对角线上元素不为零；

（3）A可唯一地分解为**ALDR，并且D的主对角线上元素不为零；

（4）A可唯一地分解为*ALR，并且R的主对角线上元素不为零；

说明：若A是n阶满秩实方阵，则对于实矩阵L、*L、R、*R、D，定理2 仍然成立。

例1.设147130021A，求A的三角分解。

解. 由147147147130077011021021021

*147011001R

所以147100147130170011021021001A

n阶方阵的三角分解对求解非其次线性方程组非常方便。比如，设方程组Axb，系数矩阵A有三角分解式LRA，则有LRxb，于是令Rxy，有

,LybRxy 34 先求第一个方程组中的未知向量y，然后将y代入第二个方程组再求解x。由于它们都是以三角矩阵为系数矩阵的方程组，所以很容易求出方程组的解，并且易于利用计算机求解。

例2 用三角分解求解方程组：

123412423412342583692254768xxxxxxxxxxxxxx

解：系数矩阵可以分解为

200015117215122210025131306013770212020700141476700011292A

代入上面的新方程组中的第一式可得：54,,5,110Ty，再将此结果代入新方程组中的第二式可得：3,4,1,1Tx，此即所求方程的解。

二、任意矩阵的三角分解

前面讨论的矩阵分解仅仅是对n阶方阵的三角分解，而且所分解的矩阵是可逆矩阵，下面我们将以上的矩阵分解进行推广，即讨论任意矩阵的三角分解。

定义3 设A是mn阶复（实）矩阵，如果rankAm，则称A是行满秩矩阵，记为()mnmnmmACR；如果rankAn，则称A是列满秩矩阵，记为()mnmnnnACR。

定理3 当A是行满秩或列满秩复矩阵时，有

（1）若mnmAC，则存在m阶正线下三角复矩阵L和n阶酉矩阵U， 35 使得

()ALOU

（2）若mnnAC，则存在m阶酉矩阵U和n阶正线上三角复矩阵R，使得

RAUO

注：该定理表明了行（列）满秩矩阵能分解为一个酉矩阵与一个长（高）三角矩阵的乘积。下面我们进一步给出行（列）满秩矩阵能分解为一个正线三角矩阵与一个长（高）酉矩阵的乘积。

记mnmU表示以m个两两正交的单位向量为行组成的矩阵的集合，mnnU表示n个两两正交的单位向量为列组成的矩阵的集合。

定理4 （1）若mnmAC，则A可唯一地分解为

ALU

其中L是m阶正线下三角矩阵，mnmUU。

（2）若mnnAC，则A可唯一地分解为

AUR

其中mnnUU，R是n阶正线上三角矩阵。

说明：当A是行满秩或列满秩实矩阵时，亦有类似于定理3和定理4的结论。

当A既不是行满秩矩阵，也不是列满秩矩阵时，则有

定理5 设mnrAC，则存在酉矩阵mmUC、nnVC及r阶正线下三角矩阵L，使得

LOAUVOO 36 推论4设mnrAC，则存在酉矩阵mmUC、nnVC及r阶正线上三角矩阵R，使得

ROAUVOO

三、矩阵的谱分解

在线性代数中，已经讨论了一个方阵的特征值和特征向量的问题，已经发现特征值有着非常重要的作用。由于相似矩阵有相同的特征值，因而人们总希望在相似矩阵中找到结构最简单的矩阵，这就是对角矩阵或Jordan标准形矩阵。下面我们将根据矩阵的特征值，进一步寻求利用简单矩阵来表示已知的矩阵，即讨论矩阵的谱分解。

1.单纯矩阵的谱分解

定义1若矩阵A的每个特征值的代数重复度与几何重复度相等，则称矩阵A为单纯矩阵。

注意到“属于每个特征值的线性无关的特征向量合起来也是线性无关的”这一事实，则可知如下定理是成立的。

定理1 A是单纯矩阵A与对角矩阵相似。

下面给出单纯矩阵的谱分解定理。

定理2 设nnAC是单纯矩阵，则A可分解为一系列幂等矩阵(1,2,,)iAin的加权和，即

1niiiAA， （3.1）

其中(1,2,,)iin是A的特征值。

定理2中的分解式称为A的谱分解，分解式中的矩阵iA具有如下的性质：

（1）幂等性：2iiAA； 37 （2）分离性：()ijAAOji；

（3）可加性：1niniAE。

由这些性质容易得出：

221niiiAA

1(2,3,)nlliiiAAl。

当()fA是A的多项式或是A的解析函数时，容易得到：

1()()niiifAfA （3.2）

称上式为矩阵函数()fA的谱分解。

例3 求2AAE的谱分解。

解：由（3.2）式2AAE21(1)niiiiA

若设111()nnnnfIAaaa

由Hamilton——Caylay定理可知：

1110nnnnAaAaAaE， （3.3）

则有：

111()nnnnAaAaAaE

由此可知，对任意的1mn，mA都是矩阵1,,,nEAA的线性组合。同时由（3.3）式，当0na时，可知A可逆，且A的逆矩阵为 38 112111()nnnnAAaAaEa

由（3.2）式容易求得1A的谱分解为

1121111()nnniiniinAaaAa。 （3.4）

把一个单纯矩阵A分解为一系列幂等矩阵(1,2,,)iAin的加权和，无论从代数上，还是从几何上进行研究，都有它的方便之处。特别对于（3.2）和（3.4）的分解，在自动控制中有许多应用。更一般地，单纯矩阵的谱分解定理为：

定理3设nnAC，它有k个相异特征值(1,2,,)iik，则A是单纯矩阵存在k个矩阵(1,2,,)iAik满足：

（1）,;iijAjiAAOji

（2）1kiniAE；

（3）1kiiiAA。

其中1()(1,2,,),()()()kiiijjijiAAik。

值得注意的是定理中的条件（1）中的矩阵(1,2,,)iAik是幂等矩阵，故定理中存在k个矩阵(1,2,,)iAik，又可看作是存在k个投影算子（简称为谱算子）。

例4 求矩阵1141A的谱分解。 39 解：首先求得A的特征值为123,1，则

12()，21()

1112()4，2221()4

1241()42AAI，2121()42AAI

所以：11111141()14421()412AA

22221121()124421()412AA

因此，1122123AAAAA

2.正规矩阵及其分解

引理1 设A是正规矩阵，A与B酉相似，则B也是正规矩阵。

引理2设nnAC，则存在酉矩阵U，使得

HAURU

其中R是一个上三角矩阵且主对角线上的元素为A的特征值。

引理3 设A是三角矩阵，则A是正规矩阵A是对角矩阵。

定理4 n阶复矩阵A是正规矩阵A与对角矩阵酉相似，即存在n阶酉矩阵U，使得：

12(,,,)HnAdiagUU