微电子机械系统尺寸效应的泛函分析󰀁

韩光平1,2,刘凯1,褚金奎2

(1.西安理工大学,陕西西安󰀁710048;2.郑州航空工业管理学院,河南郑州󰀁450052)

摘要:尺寸效应涉及微电子机械系统研究领域的各个方面,在分析归纳微器件或系统中尺寸对其特性影响的基础

上,提出从纯尺寸因素和非尺寸因素综合考虑尺寸效应,建立了一个尺寸效应的基本数学模型,并从尺寸泛函的绝对值、相对值和对尺寸的灵敏度三个方面对该数学模型进行泛函分析,总结出一些尺寸效应的发生规律。

关键词:微电子机械系统(MEMS);尺寸效应;泛函分析;灵敏度;微器件

中图分类号:TH112󰀁󰀁文献标识码:A󰀁󰀁文章编号:1001-2354(2004)02-0017-03

󰀁󰀁微电子机械系统(MEMS)技术基于微电子和微机械的有机

集成,涉及微电子学、微机械学、微材料学、微摩擦学、微电磁

学、微光学、微动力学、微流体力学、微热力学、自动控制、物理、化学及生物医学等多个学科的研究领域[1],集约了各学科前沿

领域研究的新技术、新成果,和纳米科学技术(NST)一起被列为21世纪关键技术之首。自20世纪60年代问世以来,MEMS逐

步成为人们在微观领域认识和改造客观物质世界的一种高新技术和重要手段,将人类带入信息时代。由于其应用的广泛性

和迫切性,国内外投入到该研究领域的人力、物力日益增加,考虑到实用性,人们更加关注可以即时应用的各种微器件的研究

开发,特别是经过近十年的迅猛发展,国内外在硅微细加工、光刻、LIGA和准LIGA技术、高能束刻蚀技术、牺牲层技术、外延

技术、准分子激光微细加工技术等各种微制造工艺方面取得了显著的成就,设计制造出多种微传感器、微执行器等微器件,如

MEMS力传感器、微加速度传感器、微显示器芯片、微惯性传感器、微机械血液测试仪[2]、微阀、微泵、微齿轮及微马达等。但是,各种微器件有机结合成真正意义上的MEMS,还有相当的

难度,如何建立MEMS等效机构的失效模型这一问题尚未得到有效解决[3]。究其原因,人们对微观条件下MEMS器件的运动

规律、物理特性和受载之下的力学行为缺乏充分的认识,没有形成基于一定理论基础之上的MEMS设计理论方法[4],只能

靠传统方法进行试探性研究。目前,MEMS基础理论研究远远不能满足人们的需要,成为整个微电子机械系统进一步发展的󰀁瓶颈󰀁,因此,对MEMS设计中的基础理论进行系统性研究已

刻不容缓。

1󰀁研究尺寸效应的意义

随着纳米材料、微器件、微结构和微系统的深入发展及其应用,与微尺度效应有关的理论和技术成为当前的研究热点,

推动着微尺度理论的形成和发展[5]。微电子机械系统不仅是指以微小尺寸和工作空间为特征,更重要的是,微器件中的物

理量和机械量等在微观状态下呈现出大大异于传统机械的特有规律,因此,MEMS具有自身独特的理论基础。对于MEMS的基础理论范畴,大量的专著和论文报道均有详尽的描述,其中有把MEMS涉及到的各学科作为基础理论研究范畴,这种观

点使得MEMS基础理论研究内容全面,但没有突出其重点;有的研究人员挑选出应用更为广泛的部分学科,如文献[4]把微机构学、微构件材料力学和微摩擦学作为现阶段MEMS基础研究的主要内容,这种观点重点突出,没有包括应有的其它学科

的理论基础。无论如何划分,MEMS理论基础的研究领域都包含有一个共同的特征󰀁󰀁󰀁󰀂微󰀁,这说明尺度因素才是微电子机械系统设计中最为重要的主导因素。以尺寸效应作为MEMS

理论基础的主要研究内容,既可以突出研究重点󰀁󰀁󰀁构件的微型化,又给出了MEMS所涉及各学科之间的联系,即微型化的构件产生的效应使其具有自身独特的性能,导致在各学科领域

产生新的问题。在微观领域中,微器件的显著特征就是呈现出尺寸效应和表面效应,而表面效应也是由于尺寸的减小引起表面作用的增强。当物体的尺寸改变时,与尺寸相关的各种物理量、机械量

发生相应的变化,从而产生尺寸效应。尺寸效应及其引起的变化(如表面缺陷数、晶格层错、介质不连续及量子效应等)导致了微观领域的许多物理现象与宏观领域相比较有显著差异,甚

至相悖,从而出现新的研究领域,对经典理论提出挑战。因此,研究MEMS的基础理论,必须研究尺寸效应。已有关于尺寸效应的研究仅仅局限于某一个具体量,如弹性模量、拉伸强度、失效强度及形状记忆合金的回复力[6]等,而且数据是在不同的工

艺条件和测试环境下获得的,缺乏通用性和权威性。在此对具有普遍性意义的尺寸效应,建立了基本的数学模型,对纯尺寸因素进行了泛函分析,并综合考虑尺寸效应引发的非尺寸因素

变化。

2󰀁尺寸效应的基本数学模型

2.1󰀁尺寸泛函

在尺寸效应中,特征尺寸L是基本参量,尺寸的变化首先第21卷第2期2004年2月机󰀁械󰀁设󰀁计JOURNALOFMACHINEDESIGNVol.21󰀁No.2Feb.󰀁󰀁2004

󰀁收稿日期:2003-04-07;修订日期:2003-08-26基金项目:国家自然科学基金资助项目(50135040)作者简介:韩光平(1971-),男,河南郑州人,西安理工大学博士生,郑州航空工业管理学院讲师,主要研究方向:微电子机械系统(MEMS)微尺度及系统仿真。引起许多与之相关的量变化,这些相关量可以看作关于L的函数,所有这样函数的全体S={󰀁(L)|L是长度}构成了特征尺

寸的泛函。研究尺寸效应就是分析尺寸泛函,从而建立尺寸效

应的基本数学模型。尺寸泛函分析主要有3个方面的内容,首先,对于不同长度

尺寸,研究的泛函必然对应某种结果,将该结果定义为尺寸泛

函的绝对值,它反应了静态的尺寸效应,即微器件在某一特征

尺寸下所具有的物理量或机械量等的大小;其次,选取一种长度尺寸的泛函值作为参照物,将其它泛函值与之相比,该比值

定义为尺寸泛函的相对值,它表明了微器件不同量之间的相对

重要性,如雷诺数(惯性力对摩擦力的比)是泛函相对值的一个实用特例;最后,尺寸效应的主要内容是尺寸不同时微器件的

各种量产生相应的变化,为了量化该变化的大小,将尺寸泛函

对长度求导,这一导数的绝对值定义为尺寸泛函的灵敏度,它反应尺寸效应的动态特性,即微器件的物理量或机械量等对长

度的敏感程度,类似运动学中瞬时速率的概念,不同之处在于

瞬时速率相对于某一时刻,而灵敏度相对于某一长度。

2.2󰀁与尺寸成比例的单个量研究MEMS设计中的尺寸效应,并非对宏观领域理论的全

盘否定,而是要充分认识与尺寸相关的量发生了什么样的变

化。在微观领域,许多物理量、机械量等仍然与尺寸成比例,表1列出了部分与尺寸成比例的量。

在表1的关系式中,与尺寸不相关的参数可视为L的常系

数,不随特征尺寸L的变化而变化。为了便于比较说明,可以取相同性质的物理量(如力),并不妨设L的常系数都为1,即只考

虑纯尺寸因素L所引起的效应。需要指出的是,L0的含义并非

指与L毫不相关,如若L0为常数1,则L的变化对L0根本不会产生任何影响,不存在尺寸效应。在这里,L0表示不包含长度单

位,如物体的长度/宽度,当宽度为定值,长度变化时,该比值仍

然随尺寸变化,为此,L0可用远小于其它指数的󰀁0.001或更

小替代来加以说明。按照上述的简化假设,表1的尺寸泛函󰀁(L)=Ln(n󰀁0),其绝对值就是Ln;以长度L对应的泛函绝

对值为参照物,则其它尺寸下泛函的相对值为󰀁(L)=Ln-1;尺

寸泛函的灵敏度为|D(L)|=|nLn-1|。分别令n取󰀁0.001,󰀁1,󰀁2,L取1,0.1,0.01,0.001,10-4,10-5,10-6(m),则与尺

寸成比例的单个量的泛函分析可用表2来表示。

表1󰀁与尺寸成比例单个量的泛函量的名称符号关系式尺寸泛函参数说明惯性力fimd2x/dt2L4m:质量;x:位移;t:时间质量m󰀁VL3󰀁:密度;V:体积雷诺数ReLv󰀁/󰀁L2v:速度;󰀁:摩擦因数

热传导Qc󰀁󰀁TA/dL󰀁:热传导率;󰀁T:温度差;A:断面积;d:长度

静电力Fe󰀁SE2/2L0󰀁:介电常数;S:面积;E:电场强度固有频率󰀁K/mL-1K:线弹性系数󰀁󰀁分析比较表2中尺寸泛函的绝对值、相对值和灵敏度,可以

得到这样的结果:当n>0时,尺寸泛函的绝对值󰀁(L)=Ln为

递增函数,随着尺寸L的减小而减小,与宏观领域保持一致;n

<0时,󰀁(L)=Ln递减,随着尺寸L的减小反而增大,呈现出微观领域典型的尺寸效应。n=1时,尺寸泛函的相对值󰀁(L)

=Ln-1为常数1,表明以特征尺寸L的泛函绝对值作尺寸效应的基本参照物;n>1时,󰀁(L)递增;n<1时,󰀁(L)递减,出现明显的尺寸效应。n=1时,灵敏度|D(L)|=|nLn-1|保持为

常数1,表示尺寸效应与特征尺寸L的变化完全同步;当n>1时,|D(L)|递增;n<1时,|D(L)|递减,即随尺寸的减小,

对尺寸变化的敏感程度愈明显。

表2󰀁与尺寸成比例单个量的泛函分析

L󰀁(L)10.10.010.00110-410-510-6󰀁(L)1111111D(L)1111111

L-2󰀁(L)110210410610810101012󰀁(L)1103106109101210151018D(L)-2-2󰀁103-2󰀁106-2󰀁109-2󰀁1012-2󰀁1015-2󰀁1018

L-1󰀁(L)110102103104105106󰀁(L)110210410610810101012D(L)-1-102-104-106-108-1010-1012

L-0.001󰀁(L)1100.001100.002100.003100.004100.005100.006󰀁(L)1101.001102.002103.003104.004105.005106.006D(L)-10-3-10-1.999-10-0.998-100.003-101.004102.005103.006

L0.001󰀁(L)110-0.00110-0.00210-0.00310-0.00410-0.00510-0.006󰀁(L)1100.999101.998102.997103.996104.995105.994D(L)10-310-2.00110-1.00210-0.003100.996101.995102.994

L2󰀁(L)110-210-410-610-810-1010-12󰀁(L)10.10.010.00110-410-510-6D(L)20.20.020.0022󰀁10-42󰀁10-52󰀁10-6

󰀁󰀁MEMS中尺寸L一般在微米量级,观察表2的最后一列,

L-2对尺寸的灵敏度|D(L)|是L的2󰀁1018倍,对尺寸L的

变化敏感程度相当大,相对变化值󰀁(L)是1018倍,D(L)为负,表示󰀁(L)=L-2随尺寸的减小而增大。另一方面,󰀁(L)=L2

的灵敏度是L的2󰀁10-6倍,相对变化值是10-6倍,对尺寸的灵

敏度大大减弱。随着密指数n的增大,尺寸泛函的相对值和灵

敏度大幅度降低,在微观领域内产生的尺寸效应甚微,反之,随着n的不断减小,尺寸效应愈明显。

2.3󰀁与尺寸成比例的多个量的叠加

在微观领域,某些物理量或机械量包含多个与尺寸相关的

量,如外力为F、粘性阻抗系数为f、速度为v、质量为m的系统

运动方程为:

md2xdt2+fdxdt=F(1)

外力F包含有惯性力和摩擦力两部分,当尺寸L变化时,

势必影响这两部分力产生相应的变化。对于这样的叠加量,应该从两个方面进行分析,内部各组成部分的尺寸泛函分析和整

体的泛函分析。组分之间分析方法与2.2节相同,当尺寸为微米

量级时,应用该法可得到摩擦力相对于惯性力占主导地位。

对于多个与L成比例的量叠加,尺寸泛函的数学模型为:󰀁(L)=k1L+k2L2+󰀁+knLn(2)

式中:kn󰀁󰀁󰀁相对于L为常数;

Ln󰀁󰀁󰀁与L的n次方成比例,如L可替换成速度v=dx/dt;󰀁󰀁󰀁󰀁线弹性系数:K=2uv/(󰀁L)2等。以特征尺寸L为参照物,同样可求出尺寸泛函的相对值和

灵敏度。󰀁(L)=k1+k2L+󰀁+knLn-1(3)

|D(L)|=|k1+k2L+󰀁+knLn-1|(4)

当D(L)<0时,󰀁(L)递减,随着尺寸L的减小,󰀁(L)的

作用加强,呈现出微观领域的尺寸效应,󰀁(L)对特征尺寸L的

敏感程度取决于灵敏度|D(L)|,变化的大小与相对值󰀁(L)18机󰀁械󰀁设󰀁计第21卷第2期