-1-圆锥曲线——点乘双根法
适用类型：类似
21xx
，
21yy
，))((
21txtx
，))((
21tyty
或||||,MBMAMBMA
（其
中
2121,,,yyxx
是直线与曲线的两个交点的横纵坐标，BA,
直线与曲线的两个交点）以及可
转化为上述结构的问题
理论基础：二次函数的双根式，若一元二次方程)0(02
acbxax
的两根为
21,xx
，则
))((
212xxxxacbxax
具体步骤：化双根式→赋值→变形代入
1．（2013天津）设椭圆)0(1
22
22
ba
by
ax
的左焦点为F，离心率为
33
，过点F
且与
x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
334
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设BA,
分别为椭圆的左，右顶点，过点F
且斜率为k
的直线与椭圆交于DC,
两点．若
8CBADDBAC
，求k
的值．-2-2．（2012重庆）如图，设椭圆的中心为原点O
，长轴在x
轴上，上顶点为A
，左、右焦点
分别为
21,FF
，线段
21,OFOF
的中点分别为
21,BB
，且
21BAB
是面积为4的直角三角形．
（1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）过
1B
作直线l
交椭圆于QP,
两点，使
22QBPB
，求直线l
的方程．
3．（2014辽宁理）圆224xy
的切线与x
轴正半轴，y
轴正半轴围成一个三角形，当该
三角形面积最小时，切点为P
（如图），双曲线22
1
2
2
:
1xy
C
ab
过点P
且离心率为3
.
（1）求
1C
的方程；
（2）椭圆
2C
过点P
且与
1C
有相同的焦点，直线l
过
2C
的右焦点且与
2C
交于BA,
两点，若以线段AB
为直径的圆心过点P
，求l
的方程.-3-4．已知O
是坐标原点，若椭圆：22
221(0)xy
ab
ab的离心率为
22
，右顶点为P
，
上顶点为Q
，OPQ
的面积为22
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2
）已知点)0,6(E
，NM,
为椭圆
上两动点，若有2ENEM
，证明：直线MN
恒过定点．
5．已知点)
22
,1(在椭圆)0(1:
22
22
ba
by
ax
C上，椭圆离心率为
22
．
（1）求椭圆C
的方程；
（2）过椭圆C
右焦点F
的直线l
与椭圆交于两点,AB
，在x
轴上是否存在点M，使得
MBMA
为定值？若存在,求出点M
的坐标，若不存在，请说明理由．
6．（2014大纲）已知抛物线)0(2:2
ppxyC
的焦点为F
，直线4y
与y
轴的交点为
P
，与C
的交点为Q，且5
||||
4QFPQ
.
（1）求C
的方程；
（2）过F
的直线l
与C
相交于BA,
两点，若AB
的垂直平分线l
与C
相交于NM,
两点，
且NBMA,,,
四点在同一圆上，求l
的方程.-4-7．（2016四川）已知椭圆:E22
221xy
ab（0ab
）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1
(3,)
2P
在椭圆E
上．
（1）求椭圆E
的方程；
（2）设不过原点O且斜率为1
2的直线l
与椭圆E
交于不同的两点BA,
，线段AB
的中点为
M
，直线OM
与椭圆E
交于DC,
，证明：||||||||MDMCMBMA
.
8．（2016四川理）已知椭圆)0(1:
22
22
ba
by
ax
E
的两个焦点与短轴的一个端点是直
角三角形的三个顶点，直线3:xyl
与椭圆E
有且只有一个公共点T
.
（1）求椭圆E
的方程及点T
的坐标；
（2）设O
是坐标原点，直线l
平行于OT
，与椭圆E
交于不同的两点BA,
，且与直线l
交
于点P
，证明：存在常数
，使得2
PTPAPB
，并求
的值．