矩阵的合同，等价与相似的联系与区别
一、基本概念与性质
（一）等价：
1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B等价，记为A B。
2、矩阵等价的充要条件：
A B { A.B同型，且人r（A）=r（B）
存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=?立
3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：
1、概念，两个n阶方阵A,B,若存在可逆矩阵P，使得A BP T AP B 成立，则称A,B合同，记作A B该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A B 二次型X T A X与X T B X有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似
1、概念：n阶方阵A,B,若存在一个可逆矩阵P使得B P1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：
A T~
B T, A k~ B k,A 1~ B 1(前提，A,B 均可逆)
| E-A | | E B|即A,B有相同的特征值(反之不成立)
A~ B r(A)=r(B)
tr(A) tr(B)即A,B的逆相等
|A|=|B|
3、矩阵相似的充分条件及充要条件:
①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B ( E A) ( E B)
二、矩阵相等、合同、相似的关系
(一)、矩阵相等与向量组等价的关系：
设矩阵 A ( 1, 2,L , n)， B ( 1, 2,L , m)
1、若向量组(1, 2,L , m)是向量组(1, 2丄，n)的极大线性无关组，则有m n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A) r(B)但不能得出A B。
2、若m=n，两向量组(1, 2丄,n) ( 1, 2,L , m)则有矩阵A,B同型且r(A) r(B) A~ B,A; B, A B r( A) r(B) A B。
3、若A B r(A) r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有
A B(1, 2丄，n) (1,2 丄，n)
综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
(二)、矩阵合同。相似，等价的关系。
1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。
2、合同、相似、等价之间的递推关系
①相似等价：A~B A,B同型且r(A) r(B) A B
②合同等价：A; B A,B同型且r(A) r(B) A B
③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以
I、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B 一定可以合同于对角矩阵当
A~ B 时，| E A| | E B | 二次型f(x) X T AX 与g(x) X T BX 有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数A; B A B
即有A~B A; B A B
H、存在一个正交矩阵P,即P T P E使得P T AP B即A; B则有
B P T AP P1AP A~B 即有A; B A~B
皿、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P,则
A~ B 时有A~ B A; B A B
W、A~ B r(A) r(B)、A; B r(A) r(B)、A B r(A) r(B)
下面讨论r(A) r(B)时A~ B,A; B, A B成立的条件。
由I、H、皿的论述可知
存在正交矩阵P时，有P T P1，则
r(P T AP) r(A)记 B P T AP则r(A) r(B)
此时A; B A~B A B
即P为正交矩阵时，由r(A) r(B) A~ B,A ; B, A B
(三)
I、矩阵等价：①同型矩阵而言
②一般与初等变换有关
③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的
本质是秩相等
2、矩阵相似：①针对方阵而言
②秩相等是必要条件
③本质是二者有相等的不变因子
3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵
②秩相等是必需条件
③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同
由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵