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(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式： f ( ) de t[I ( A BK )] (3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。
n1 f * ( ) （ 1（ ) 2 ) （ n ) n an a a 1 1 0
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0 rank[Qc ] rank[ B AB A2 B ] rank 0 1
0 1 6
1 6 3 31
该系统是状态完全能控的，通过状态反馈，可任意进行极点配置。 （2）计算闭环系统的特征多项式 设状态反馈增益矩阵为：K [k1 k2 k3 ]
0 0 1 ( n1 k n ) 0
第二能控标准型下闭环系统的特征多项式： (系统的不变量)
f ( ) I ( A B K ) n (a n1 k n )n1 (a1 k 2 ) (a0 k1 )
Qc 0 B 0 ( A, B, C )的能控性判别阵为：
k ( A BK , B, C )的能控性判别阵为：

AB An1 B

Qck B ( A BK )B ( A BK )n1 B
可见， Qck的第一列同 Qc 0的第一列。


标量
Qck的第二列 : ( A BK )B AB BKB为Qc 0一、二列的线性组合
K [ 0 0 a1 a1 n1 n 1 ]
1 (7)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵：K KPc 2
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重新求解前面例1：
[解 ] ： （1）可知，系统已经是第二能控标准型了，故系统能控， Pc 2 I 此时变换阵 （2）计算第二能控标准型下闭环系统的特征多项式
f ( ) | I ( A BK ) | 3 (6 k3 )2 (5 k2 ) 1 k1
0 A 0 1
1 0 5
0 0 0 1 , B 6 1
（3）计算期望的特征多项式
f * ( ) ( 2 4 j )( 2 4 j )( 10) 3 142 60 200
先求系统不变量 i , 然后再确定非奇异变换 阵Pc 2，B和C不用求。
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(3)求第二能控标准型下闭环系统的特征多项式：
f ( ) I ( A B K ) n (a n1 k n )n1 (a1 k 2 ) (a0 k1 )
K维数是 rn
( A BK ) x Bv x 一般D=0，可化简为： y Cx
状态反馈闭环系统表示：k ( A BK , B, C ) 状态反馈闭环传递函数矩阵为：Gk ( s) C[sI ( A BK )]1 B 状态反馈系统的特征方程为： I ( A BK ) 0
第二能控标准型，受控系统传递函数：
n 1 s n 1 n 2 s n 2 1 s 0 G( s ) C ( sI A ) b s n n 1 s n 1 1 s 0
1
状态反馈后，闭环系统传递函数：
n1 s n1 n 2 s n 2 1 s 0 G( s) C sI ( A b K ) b n s ( n1 kn )s n1 (1 k2 )s ( 0 k1 )
0 1 B Pc 2 B 0 1
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能控标准型 下状态反馈 后的系统矩 阵：
0 1 0 0 0 1 A BK 0 0 ( 0 k1 ) ( 1 k 2 ) ( 2 k 3 )
f ( ) | I A BK | 0 0 0 1 k1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 5 0 0 0[k 1 1 6 1

0 1
k2
(4)由 f ( ) f * ( ) 确定反馈矩阵K： K [ k1 k2 kn ]
Ax Bu [例1] 考虑线性定常系统 x
其中：
0 A 0 1
1 0 5
0 0 0 1 , B 6 1
试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统的极点为-2±j4和-10。 [解 ] ： （1）先判断该系统的能控性
1
结论2：状态反馈可以保持原系统的能控性，但不一定能保 持原系统的能观测性。

* i
n 1 s n 1 n 2 s n 2 1 s 0 G( s ) 还可以由期望闭环传递函数得到： * n 1 * * sn n 1 s 0 1 s
(6)由 f ( ) f * ( ) 求出在第二能控标准型下的反馈增益矩阵：
求反馈增益矩阵K的步骤：
(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。
(2)：将原系统 ( A, B, C ) 化为第二能控标准型 ( A, B , C ) 。 确定将原状态方程变换为第二能控标准型的变换阵 Pc 2 。若给
定的状态方程已是第二能控标准型，那么 Pc 2 I ，无需转换。
线性反馈规律：u v Kx 注意：有的教材用u v Kx
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状态反馈闭环系统：
k11 k 21 反馈增益矩阵： K kr 1
( A BK ) x Bv x y (C DK ) x Dv
k12 k 22 kr 2 k1 n k2n k rn
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（4）确定K阵
由 f * ( ) f ( ) 得：6 k3 14, 5 k2 60, 1 k1 200
求得：k1 199, k2 55, k3 8 所以状态反馈矩阵K为： K [199 55 8] 2）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n>3时） 求 f ( ) | I A BK | 将相等繁琐，所以引入第二能控标准型法。
第六章 状态反馈和状态观测器
1. 状态反馈及极点配置 2. 输出反馈及极点配置
3. 状态观测器 4. 降维状态观测器 5. 带有状态观测器的状态反馈系统
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第一节 状态反馈及极点配置
1. 状态反馈 2. 状态反馈极点配置条件和算法 3. 状态反馈闭环系统的能控性和能观测性 4. 系统的镇定
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二、状态反馈极点配置条件和算法 极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后 的闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。
定理：(极点配置定理) 对线性定常系统
0 ( A, B, C )
进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意 配置的充要条件是：0 ( A, B, C ) 状态完全能控。 注意：矩阵 A BK 的特征值就是所期望的闭环极点。 1、极点配置算法 1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3时） (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。




式（ 2 ）
1 式（1）和式（2）比较，得： K KPc 2
第二能控 标准型：
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0 0 1 A Pc 2 APc 2 0 0
1 0 0 1
0 1 2
0 , 0 1 n 1 0
式（ 1 ）
( A BK ) x Bv 第二能控标准型：x
其中： x Pc 2 x,
1 A Pc 2 AP c2 ,
1 B Pc 2 B
1 1 1 1 Pc 2 ( A B K ) x B v Pc 2 ( Pc Pc 2 x x AP P B K ) P x P 2 c2 c2 c2 c 2 Bv 1 ( A B KPc 2 ) x Bv
（4）确定K阵 第二能控标准型下的反馈矩阵：
K [ 0 0 a1 a1 2 2 ] 199 55 8
1 所以状态反馈矩阵K为：K KPc 2 [199 55 8]
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2、闭环系统期望极点的选取
期望极点选取的原则： 1）n维控制系统有n个期望极点； 2）期望极点是物理上可实现的，为实数或共轭复数对； 3）期望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影
响（离虚轴的位置），及与零点分布状况的关系。
4）离虚轴距离较近的主导极Fra bibliotek收敛慢，对系统性能影响 最大，远极点收敛快，对系统只有极小的影响。
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三、状态反馈闭环系统的能控性和能观测性 定理：如果SI线性定常系统 0 ( A, B, C )是能控的，则状态反馈 所构成的闭环系统 k ( A BK , B, C ) 也必是能控的。 证明: （过程很重要）
思路：
1、首先将原系统
( A, B, C ) 化为第二能控标准型 ( A, B, C )
2、求出在第二能控标准型的状态 x 下的状态反馈矩阵 K
1 3、求出在原系统的状态 x 下的状态反馈矩阵 K KPc 2
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1 证明 K KPc ： 2
( A BK ) x Bv 原系统： x
(4)求出期望的闭环极点。（ 有时直接给定；有时给定某些性能 指标：如超调量 M p % 和调整时间 t s 等） (5)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望的特征多项式。
n1 f * ( ) （ 1（ ) 2 ) （ n ) n an a a 1 1 0