梅州市2013年初中毕业生学业考试数学试卷一、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的． 1． （2013广东梅州，1，3分）四个数－1，0，12，2中为无理数的是 A ．－1B ．0C ．12D ．2【答案】D ．2． （2013广东梅州，2，3分）从上面看如左图所示的几何体，得到的图形是A ．B ．C ．D ．【答案】B ．3． （2013广东梅州，3，3分）数据2，4，3，4，5，3，4的众数是 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】B ．4． （2013广东梅州，4，3分）不等式组2020x x +>⎧⎨-≥⎩的解集是A ．2x ≥B ．2x >-C ．2x ≤D ．22x -<≤【答案】A ．5． （2013广东梅州，5，3分）一个多边形的内角和小于它的外角和，则这个多边形的边数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】A ．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 6． （2013广东梅州，6，3分）－3的相反数是 ． 【答案】3． 7．（2013广东梅州，7，3分）若42α∠=︒，则α∠的余角的度数是 ． 【答案】48°．8．（2013广东梅州，8，3分）分解因式：22m m -= ． 【答案】(2)m m -．9．（2013广东梅州，9，3分）化简：23a b ab ÷= ． 【答案】3a ．10． （2013广东梅州，10，3分）“节约光荣，浪费可耻”，据统计我国每年浪费粮食约8000000吨，这个数据用科学记数法可表示为 吨． 【答案】6810⨯．11． （2013广东梅州，11，3分）如图，在△ABC 中，AB =2，AC A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切于点D ，则∠BAC 的度数是 ．【答案】105°．12． （2013广东梅州，12，3分）分式方程211xx =+的解是x = ． 【答案】1．13． （2013广东梅州，13，3分）如图，已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是 ．【答案】2013．三、解答下列各题：本大题共10小题，共81分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 14． （2013广东梅州，14，7分）本题满分7分．计算：()112013|2cos 452-⎛⎫--+︒ ⎪⎝⎭．解：原式=122⨯-=．15． （2013广东梅州，15，7分）本题满分7分．解方程组251x y x y +=⎧⎨-=⎩．【解】251x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②，得36x =，即2x =，将2x =代入②，得1y =．所以原方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩．16． （2013广东梅州，16，7分）本题满分7分． 如图，在平面直角坐标系中，A （－2，2），B （－3，－2）（1）若点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标为 ； （2）将点A 向右平移5个单位得到点D ，则点D 的坐标为 ；（3）由点A ，B ，C ，D 组成的四边形ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．【解】（1）∵点C 与点A 关于原点O 对称，且A （－2，2），∴点C 的坐标为（2，－2）． （2）∵将点A 向右平移5个单位得到点D ，∴点D 的坐标为（3，2）．（3）四边形ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点有15个，如图其中横、纵坐标之和恰好为零的有3个，所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率是51153=．17．本题满分7分（2013广东梅州，17，7分）“安全教育，警钟长鸣”，为此，某校随机抽取了九年级（1）班的学生对安全知识的了解情况进行了一次调查统计，图①和图②是通过数据收集后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）九年级（1）班共有 名学生；（2）在扇形统计图中，对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是 ； （3）若全校有1500名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有 名．【解】（1）九年级（1）班中“很好”所占的比例为30%，“很好”的人数为18，所以九年级（1）班共有18÷30%=60（人）．（2）九年级（1）中“较好”的人数为30，所以“较好”所占的比例为30÷60=50%，所以“较差”的所占比例为1-30%-15%-50%=5%．所以对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是360°×5%=18（人）． （3）全校有1500名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有（5%+15%）×1500=300（人）．18．本题满分8分．（2013广东梅州，18，8分）已知，一次函数1y x =+的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象都经过点A （a ，2）．（1）求a 的值及反比例函数的表达式；（2）判断点B （2）是否在该反比例函数的图象上，请说明理由． 【解】（1）∵一次函数y=x+1的图象经过点A （a ，2），∴2=a +1，解得a =1．又反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点A （a ，2），∴12k =，∴k =2． ∴a 的值为1，反比例函数的表达式为xy 2=．（2）∵22222=⨯，∴点B （）是在该反比例函数的图象上．19．本题满分8分．（2013广东梅州，19，8分）如图，在矩形ABCD 中，AB =2DA ，以点A 为圆心，AB 为半径的圆弧交DC 于点E ，交AD 的延长线于点F ，设DA =2． （1）求线段EC 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【解】（1）∵在矩形ABCD 中，AB =2DA ，∴AE =2AD ，且∠ADE =90°.又DA =2，∴AE =AB =4，∴DE =3221622=-=-AD AE ，∴EC =DC -DE =324-.（2）ADE AEF S S S ∆=-阴影扇形=260418236023ππ︒⨯⨯-⨯⨯=-︒.20．本题满分8分．（2013广东梅州，20，8分）为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种（1）写出y （元）与x （棵）之间的函数关系式；（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？ （3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B 种树苗多少棵？ 【解】解：（1）设购买A 种树苗x 棵，则购买B 种树苗（1000－x ）棵，绿化村道的总费用为y =(20+5)x +(30+5)（1000－x ）=25x +35000－35x =35000－5x ． （2）90%x +95%（1000－x ）=925．解得x =500（棵），则购买B 种树苗500棵． (20+5) ×500×90%+(30+5) ×500×95%=27875（元）．（3）(20+5)x +(30+5)（1000－x ）≥31000，解得x ≤400．则1000－x ≥1000－400=600．所以最多可购买B 种树苗600棵．21．本题满分8分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）（2013广东梅州，21，8分）如图，在四边形ABFC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线EF 交于点D ，交AB 于点E ，且CF =AE ．（1）求证：四边形BECF 是菱形；（2）若四边形BECF 为正方形，求∠A 的度数． 【解】（1）∵BC 的垂直平分线EF 交于点D ，∴BF =FC ，BE =EC .又∵∠ACB =90°，∴EF //AC . ∴BE ：AB=DB ：BC ，∵D 为BC 中点，∴DB ：BC=1：2，∴BE ：AB=1：2，∴E 为AB 中点，即BE=AE ，∵CF=AE ，∴CF=BE ，∴CF=FB=BE=CE ，∴四边形BECF 是菱形．（2）如图，∵四边形BECF 为正方形，∴∠BEC =90°.又AE =CE ，∴∠A =45°.22．本题满分10分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）（2013广东梅州，22，8分）如图，已知抛物线222y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）写出以A ，B ，C 为顶点的三角形面积；（2）过点E （0，6）且与x 轴平行的直线1l 与抛物线相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），以MN 为一边，抛物线上的任一点P 为另一顶点作平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P 的坐标； （3）过点D （m ，0）（其中m >1）且与x 轴垂直的直线2l 上有一点Q （点Q 在第一象限），使得以Q ，D ，B 为顶点的三角形和以B ，C ，O 为顶点的三角形相似，求线段QD 的长（用含m 的代数式表示）．【解】（1）∵抛物线222y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．∴2220x -=，C (0，-2)∴1x =±.∴A （-1，0），B （1，0）.∴AB =2.∴12222ABC S ∆=⨯⨯=. （2）∵过点E （0，6）且与x 轴平行的直线1l 与抛物线相交于M 、N 两点，∴2226x -=，解得2x =±，∴MN =4.又平行四边形的面积为8时，∴点P 到MN 的距离为2，即P 点的纵坐标为4，∴2224x -=，解得x =P 的坐标为（44）. （3）设Q （m ，b ），则可分两种情况： ①当OB OCBD DQ=时，121m b =-，解得22b m =-（1m >）.②当OB OCDQ BD=时，121b m=-，解得1122b m=-（1m>）.23．本题满分11分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）（2013广东梅州，23，8分）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN，在旋转△DEF的过程中，△AMN 的周长是否存在有最小值？若存在．求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【解】（1）过点A作AG⊥BC，垂足为G.当点P运动到∠CFB的角平分线上时，∠PFC=∠BFP=30°，∴PC=12 PF.又∵∠CBF=30°，∴BP=PF.∵BC=3，∴BP=2.在Rt△BAC中，∵∠ABC=45°，∴AG=BG=12BC=32.∴GP=12.∴在Rt△AGP中，AP=229110 44AG GP+=+=.（2）如图，过点A作AG⊥BC，垂足为G.在Rt△APG中，AP=CF=3，AG=32，则PG==，所以∠PAG =30°，所以∠PAB =15°.当点P 位于点P ′处时，∠BAP =75°.探究二：过点D 分别作DH ⊥AB 于点H ，DI ⊥AC 于点I.在Rt △ABC 中，∵点D 是BC 中点，AB =AC ，∴HD =DI .∴四边形HDIA 是正方形.∵∠HDI =∠MDN ，∴∠HDM =∠IDN . 在△HDM 与△IDN 中，HDM IDN HD DIDHM DIN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△HDM ≌△IDN （ASA ）. ∴DM =DN ，HM =IN .设MA =x ，则HMx ， ∴ANxx ∴MN当x=MN3 4 =.所以最小周长为AM+AN+MN有最小值=2AH+34=AB+3434.。