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C = （ ） v，m
12π4R T 3
5 D
德拜T立方定律
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德拜模型的不足： • 在低温下与实际情况还不能完全相符； • 德拜理论也解释不了超导现象； 产生差异的根源：
假设晶体是一个连续体； 除了晶格振动能外，电子运动能对热容也有贡献 在一般场合下，德拜理论的精度已经是足够了。
爱因斯坦模型的不足： • 在低温时，Cv，m与温度T成指数关系，而实验结
果是成T3关系。
原因：原子振动有耦合作用
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3、德拜理论
• 晶体中各原子间存在着斥力 和吸力，这种力使原子的振 动相互受到牵制，使相邻原 子齐步协调地振动。
• 晶体是连续介质，原子振动 谱为0~νmax（最大声频）， 高于νmax为光频范围，对热 容的贡献很小，可以忽略不 计。
式中：L1、L2分别代表T1、T2温度时物体的长 度，ά为物体在T1~T2温度区间的平均线膨胀 系数， ά不是一个常数，随温度而变化。一 般是随温度升高而增大。
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• 物体体积随温度的增长可表示为：
V2=V1[1+ άV(T2-T1)]
•
设材料各向的线膨胀系数分别为：ά 得：
热容，单位J/mol·K。 • 比热容是随温度而变化的，一般使用的是平均比
热容，即
C均=Q/m(T2-T1)
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• 平均比热容测量方便，但比较粗糙。(T2-T1)范围 越大，精度越差，超出范围，误差可能更大。
• 当T2无限接近T1时，为材料在T1时的比热容：
C真

Q T
1 m
（8-5）
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热膨胀与其他性能的关系
• 热膨胀与热容的关系
• 热膨胀与结合能、熔 点的关系
晶体热膨胀极限方程
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结合力越强，升高相 同温度，质点振幅增 加得越少，热膨胀系 数也越小。

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三、热膨胀系数的测定 （1）望远镜（放大镜）直读法：将试样在加热炉内
按规定程序加热升温，用放大倍率大于10倍以上 的望远镜直接读出试样的长度。
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二、热膨胀的机理
• 晶格相邻质点间的作用力是 非线性的和非对称的。
• 当得r很＜快r0；时当，r斥＞力r0时随，位引移力增随大 位移的变化要慢一些。质点 振动的中心(平均位置)不在 r0，而是向右移。
• 随着温度的升高，质点的中 心位置将沿AB变化。温度 越高，质点间距离就越大， 晶体的膨胀量就越大。
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• 德拜理论导出的热容表达式：
Cv，m = 3Rf（D TD ） （8-15）
式中：θD ≈4.8×1011νmax为德拜温度；
为德拜比热函数，x=hν/kT。
• 德拜理论导出的热容结论：
（1）T较高»θD ，Cv.m≈3R，与杜隆—珀替定律一致
（2）当T很低时«θD ，Cv.m与 T3关系，与实验结果非 常相符。
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热学性能的物理基础
• 晶格热振动
简谐振动方程
• 格波、弹性波
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低频率
高频率
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第一节 热容
一、热容的基本概念 • 在没有相变，没有化学反应，没有对外热交换，
物体温度升高1K所吸收的热量（Q）称做该物体 的热容，单位为J/K，表示为：
CT=∆Q/∆T • 热容称为比热容或质量热容，单位J/kg·K；摩尔
10
9
8
531.32℃
7
460
480
500
520
540
560
580
温度(℃)
00.1.515
0.10 0.10
0.05 0.05 0.00
0.00 -0.05
526.43(℃)
-0.05 200
300
400
500
562006.43(℃)700
温度（℃）
200
300
400
500
600
700
温度（℃）
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DTA）：将被测物体（试样）和参照物体（热
惰性）在相同的条件下加热或冷却，测量试样
与参照物体之间的温差（△T）随温度（T）或
时间（t）的关系。
放热
13 12 11
505.25℃
放热
放热 0.35
0.35 0.30 0.30
00.2.525
00.2.020
514.945(1℃4).94(℃)
DSC(mw/mg) DSDCSC((mmww//mmgg)
复习
• 蠕变一般规律：约比温度、蠕变三阶段
• 蠕变变形的三种机理：
位错滑移、原子扩散、晶界滑动
• 蠕变断裂机理：
晶间断裂、等强温度、断口特征
•
蠕变极限：

T

、 T /t
•
持久强度：

T t
• 松弛稳定性： σsh
• 蠕变性能的影响因素：
化学成分、组织结构、晶粒尺寸、外部因素
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C

1 m
( VI T2 T1

m0C0

m1C1

q1

q2 )
• 式中：I为电流；V为电压；m、 c为被测物体质量 和比热容；m0、 c0为量热器中水质量和比热容； m1、 c1为量热器质量和比热容；q1为量热器的热 容； q2温度计插入水中部分的热容。
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五、热容的应用
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2、爱因斯坦模型
• 爱因斯坦认为晶格中每个原子都在独立地振动与温度的关系 式：
hi
Cv，m
=
3
N
A（k
h i
kT
）2
e kT
hi
（e kT 1）2
h为普朗克常数；νi为谐振子的振动频率
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爱因斯坦模型的优点： • Cv，m与温度T有关。 • T趋于0K， Cv，m趋于0，与实验一致。
• 把ni作为组成相的质量分数，Ci作为组成相的热容 ，也可以计算多相合金和复合材料的热容。
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热容的影响因素：
• 材料构成形式关系不大； • 一级相变、二级相变对材料热容的影响不同； • 热容与温度有关； • 高温下固体材料的热容具有加和性。
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四、热容的测量
• 恒压加热时，叫比定压热容，Cp表示；恒容加 热时，叫比定容热容，Cv表示。表达式为：
Cp
（
Q T
） p
1 m
=（
H T
） p
1 m
（8-6）
Cv
（
Q T
） v
1 m
=（
E T
） v
1 m
（8-7）
式中：Q为热量，E为内能，H为焓。
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二、热容理论（固体材料、经验定律）
q m C m2c0 (T2 T3 ) (T3 T1 )
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2、电热法
热容的测量
• 电加热产生的热量等于量热器、水及相关物体吸 收的热量。
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2、电热法
热容的测量
• 加热τ秒后，物体和系统的温度从T1升到T2。热平 衡公式为：
VIτ = (mc+m0c0+ m1c1+q1+ q2) (T2-T1) 转换可得：
a、ά
b、ά
c，则
V2=La2 Lb2Lc2 = La1 (1+ ά a△T)×Lb1(1+ ά b△T) ×Lc1 (1+ ά c△T) =V1 (1+ ά a△T)(1+ ά b△T)(1+ ά c△T)
忽略ά二次方以上的项，得： V2= V1[1+ (ά a+ά b+ά c)△T]
• 对于各向同性的材料，άV可以近似为ά的3倍。
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热容的影响因素
4、在较高温度下，固体热容具有加和性，物质的摩 尔热容等于构成该化合物各元素原子热容的总和 ——柯普定律。 C = ΣniCi 式中：ni、Ci为分别为化合物中元素i的原子数和摩 尔热容。
• 该公式对于计算573K以上的大多数氧化物和硅酸 盐化合物的热容具有较好的一致性。
V2=V1[1+ άV(T2-T1)]= V1[1+ 3ά △T]
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二、热膨胀的机理
• 晶格振动理论曾认为原子或 离子等质点的振动：温度的 升高只能增大振幅而不能改 变其平衡位置，即质点间的 距离不会因温度的变化而改 变，即温度的改变不能改变 物体的体积，亦即不会出现 热膨胀。
从室温至试验温度的线膨胀速率：
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（2）顶杆式间接法：将试样装在样管内，用顶杆将 试样压住，顶杆与位移传感器或千分表连接。用 精密温度控制仪器按规定的升温速率加热，并通 过位移传感器或者千分表测量试样的线膨胀。
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（3）光杠杆法：将金属试样直立放在线膨胀测定仪 的金属筒内，将光杠杆的后足置于金属试样的上 端，二前足置于仪器的固定台上。
C (m0c0 q)(T3 T2 ) m(T2 T3 )
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热容的测量
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热容的测量
• 计算量热器热容q：量热器和搅拌器用相同的材 料，质量为m1，比热容为c1，温度计插入水中部 分的体积为V，则：