负半周
3
设正弦交流电流： 设正弦交流电流：
Im
Ψ
i
O π T 2π π
ωt
i = I m sin (ω t + ψ )
初相角：决定正弦量起始位置 初相角： 角频率：决定正弦量变化快慢 角频率： 幅值：决定正弦量的大小 幅值：
幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。 幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。
5
3.1.2 幅值与有效值 幅值： 幅值：Im、Um、Em
幅值必须大写, 幅值必须大写, 下标加 m。
有效值： 有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的 有效值。 有效值。
∫0
T
2 i 2R dt = I RT
交流
直流
则有
I =
1 T
∫
T
0
i 2dt
Im 1 T 2 2 有效值必 = ∫0 Imsin ωt dt = 2 须大写 T U Em 同理： 同理： U = m E= 2 2
12
3. 正弦量的相量表示
实质：用复数表示正弦量 实质： 复数表示形式 为复数: 设A为复数 为复数 (1) 代数式 A =a + jb 式中: a = r cos ψ 式中
+j
b
A
r ψ
0
2 2
a
+1
b = r sin ψ
(2) 三角式 由欧拉公式: 由欧拉公式
r = a + b 复数的模 b ψ = arctan 复数的辐角 a
16
⑥“j”的数学意义和物理意义 因子： 旋转 90o因子：e± j90o
± j90o
e
= cos 90° ± jsin90° = ±j
+j
设相量
• & 将逆时针旋转 90o 得到 B & ， A & • 相量 A乘以 e-j90°， & & ， A 将顺时针旋转 90o 得到 C
& = rejψ B & A & 相量A 乘以 ej90° ，
ψ = (ω t +ψ )
ψ:Βιβλιοθήκη t =0给出了观察正弦波的起点或参考点。 给出了观察正弦波的起点或参考点。
7
相位差ϕ ： 两同频率的正弦量之间的初相位之差。 同频率的正弦量之间的初相位之差。 的正弦量之间的初相位之差 如：u
= U m sin ( ω t + ψ 1 )
i = I m s in ( ω t + ψ 2 ) ϕ = (ω t + ψ 1 ) − (ω t + ψ 2 ) u = ψ1 − ψ 2
14
电压的有效值相量
或：
& Um = Umejψ = Um ψ
相量的模= 相量的模=正弦量的最大值 相量辐角= 相量辐角=正弦量的初相角
注意: 注意:
电压的幅值相量
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
i = I m sin ( ω t + ψ ) = I m e =
& UB – + – & UC +
& UAB N
B C
21
由KVL定律可知 KVL定律可知
& & & UAB = UA − UB = 220 0 °V − 220 − 120 °V & U = 220 V − 220 [ cos ( −120 °) + j sin ( −120°) ]V
AB
= 220 ( 1 + 0.5 + j 0.866 )V
ϕ = ψ1 − ψ 2 = 0
ϕ = ψ 1 − ψ 2 = 180 °
电压与电流反相 u i u i O
ωt
ωt
9
注意: 注意: 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。 与计时的选择起点无关。
i i 1
i2
ωt
ϕ
O
不同频率的正弦量比较无意义。 ② 不同频率的正弦量比较无意义。
10
3.2 正弦量的相量表示法
１.正弦量的表示方法 波形图
O
u
ωt
瞬时值表达式 相量
u = U m sin( ω t + ψ )
必须 小写
& U = U∠ψ
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。 前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
11
2.正弦量用旋转有向线段表示 2.正弦量用旋转有向线段表示
& A
ψ
o
+1
& C
17
正误判断
u = 220 sin ( ω t + 45 °)V
220 U = 2
• 有效值
1.已知： 1.已知： 已知
3.已知： 3.已知： 已知
& = 4 e j30 ° A I
瞬时值
复数
45 ° V ？
j45° °
= 4 2 sin ( ω t + 30 °)A？
4.已知： 4.已知： 已知
可不画坐标轴
ϕ
⑤相量的书写方式 则用符号： • 模用最大值表示 ，则用符号：
& U m 、& m I
& & U 、I
实际应用中，模多采用有效值，符号： • 实际应用中，模多采用有效值，符号： 如：已知 u = 220 sin ( ω t + 45 ° )V & = 220 e j45 ° V 或 U = 220 e j45 ° V & 则U m 2
= 12.7( cos 30 ° + jsin 30 °)A + 11( cos 60 ° − jsin 60 °)A = (16.5 - j3.18)A = 16.8 − 10.9°A
有效值 I =16.8 A
20
i = 16.8 2 sin ( 314 t − 10.9 °) A
例3:
图示电路是三相四线制电源， 图示电路是三相四线制电源， 已知三个电源的电压分别为： 已知三个电源的电压分别为：
第3章 正弦交流电路
3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 单一参数的正弦交流电路 3.4 正弦交流电路的相量模型 3.5 正弦交流电路的功率 3.6 电路中的谐振
1
第3章 正弦交流电路
本章要求 1. 理解正弦量的特征及其各种表示方法； 理解正弦量的特征及其各种表示方法； 2. 理解电路基本定律的相量形式及阻抗； 理解电路基本定律的相量形式及阻抗； 熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法， 熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法， 会画相量图。； 会画相量图。； 3. 掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时 掌握有功功率和功率因数的计算, 功率、无功功率和视在功率的概念； 功率、无功功率和视在功率的概念； 4.了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐 4.了解正弦交流电路的频率特性 了解正弦交流电路的频率特性， 振的条件及特征； 振的条件及特征； 5.了解提高功率因数的意义和方法。 5.了解提高功率因数的意义和方法 了解提高功率因数的意义和方法。
uB = 220 2 sin (314 t −120 °)V uC = 220 2 sin (314 t +120 °)V
试求uAB ，并画出相量图。 并画出相量图。 试求 用相量法计算： 解:(1) 用相量法计算：
+ & UA N
– –
uA = 220 2 sin314 t V
+
A
& U A = 220 0 ° V & U B = 220 − 120 ° V & U C = 220 + 120 ° V
？
jψ
= Im ψ
②只有正弦量才能用相量表示， 只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。 非正弦量不能用相量表示。 ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 同频率的正弦量才能画在同一相量图上
ϕ
15
④相量的两种表示形式 相量式: & 相量式 U = Ue jψ = U ψ = U ( cos ψ + jsin ψ ) 相量图: 相量图 把相量表示在复平面的图形
& U m = 220 e 45 ° V ？
2.已知： I = 10 60 ° A 已知： & 已知
& U = 100 − 15 ° V
负号 U √ 100 V ？ = & = 100 e j15 o V ？ U
i = 10 sin ( ω t + 60 ° )A ？
最大值
18
例1: 将 u1、u2 用相量表示
= 220 ×1.73 30°V
& UC
& -UB
& UAB & UA
= 380 30°V
u 所以 AB = 380 2 sin(ωt + 30°)V
(2) 相量图
30°
& UB
22
3.4 电阻元件的交流电路
1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: u = iR 根据欧姆定律 设 u = U m sin ω t
A = r cos ψ + j r sin ψ = r (cos ψ + jsin ψ)
cos ψ = e
jψ
+e 2
−j ψ
ej ψ − e−j ψ , sin ψ = 2j
13
可得: 可得 (3) (4)
= cosψ + jsin ψ 指数式 A = r ej ψ = 极坐标式 极坐标式 A= r ψ e