A t cm
P
B (6-t)cm
2014.12
问题解决
1.一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字型的窗框，如 果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时， 窗架的面积最大？
y 1(63x)x 2
x
2014.12
问题解决
3.如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是
（2）设五边形APQCD的面积为Scm2 ，写出S与t的函数关系式， t为何值时S最小？求出S的最小值。
（2）由题意得
D
C
S=12×6 -
1 2
×2t(6-t)
=t2-6t+72=(t-3)2+63
∵1>0 ∴当 t=3 时 S 最小值=63 即 t=3cm 时 S 有最小值 63cm2
Q 2t cm
由题知 24-4x>0 解得 x<6
A
D
∵x>0
∴x 的取值范围是 0<x<6
B
C
(2) ∵-4<0 ∴当 x=－2×2(4-4)＝3 时，
S 最大= -4×32+24×3=36 则当 x=3m 时，所围成的花圃面积最大，最大值为 36m2。
2014.12
变式练习2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围成中 间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的AB=xm，面积为Sm2。
225 36
∵-
7 2<0
∴当
x=
15 14
≈1.07 时，S 最大=
225 36
≈4.02
即当 x≈1.07m 时，S 最大≈4.02m2，此时窗户通过的光线最多。
2014.12
例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿 AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC 边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、 C两点后就 停止移动，设运动时间为t秒（0<t<6)，回答下列 问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2 ；
∴当x=4m时，S最大=- 4×42+24×4=32m2
即墙的最大可用长度为8米，围成花圃的最大面积是32m2。
2014.12
例2：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB
和AD分别在两直角边上.
M
30cm
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD
边的长度如何表示？
D
C
(2).设矩形的面积为ycm2,当x取何值
┐ xcm
A
B
40cm
N
∵四边形 ABCD 是矩形∴AB=CD=xcm
∴MD=(30-b)cm
∵CD∥AN∴∠MDC=∠MAN=90°, ∠N=∠MCD
∴△MCD∽△MAN∴MMDA
=
CD∴30-b AN 30
=
x 40
∴b=
-
3 4x + 30
∴AD=
-
3 4x + 30
(cm)
2014.12
例2：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB
∴DEGA
=
FFQP∴5x0
=
2244-b∴b=(
-
12 25x + 24
)m∴AB=(-
12 25x + 24
)m
2014.12
变式练习3：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长 度如何表示？
E C P
A t cm
P
B (6-t)cm
2014.12
例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿 AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC 边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、 C两点后就 停止移动，设运动时间为t秒（0<t<6)，回答下列 问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2 ；
变式练习2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围成中 间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB=xm，面积为Sm2。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .
解:(1)S=x(24-4x)= -4x2+24x
30m
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的
最大值是多少?
DQ
B
解 ： ( 1 ) A B = ( - 1 2 2 5 x + 2 4 ) m F ┐
A 40m
G
(2)y=x﹒b=x﹒(-
12 25x + 24
)=
-
2152(x-25)2
+300
(或用公式：当 x=
-
b 2a=25
时，y
最大值=300)
8m，宽是 2m，抛物线可以用 y 1 x2 4 表示。 4
（1）一辆货运车车高 4m，宽 2m，它能通过该隧道吗？ （2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为 0.4m，那么这 辆卡车是否可以通过？
2014.12
当x1时， y14152
4
4
所以能卡车能通过
2014.12
当 x2.2时y， 12.2242.792 2
时,窗户的面积是多少?
解：∵7x+4y+πx=15∴y=15-74x-πx
∵0<x<15,且
15-7x-πx 0< 4
<15∴0<x<1.479
设窗户的面积是 Sm2,则
xx y
S=
1 2
πx2+2xy=12
πx2+2x﹒15-74x-πx
=-
7 2
x2 +
15 2
x= -
7 2
(x -
15 14
)2 +
(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
解：过点 F 作 FP⊥EG，交 EG 于点 P，交 DA 于点 Q
∴在 Rt△EFG 中，EF = 30m，FG = 40m E
∴ EG= EF2+FG2 = 302+402 = 50m
((12))求当Sx取与何x的值函时数所关围系成式的及花自圃变面量积的最取大值，范最围大；值是S=多-4少x2？+24x (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .
24-4x≤8 (3)由题知24-4x>0 解得4≤x<6
A
D
x>0
∵-4<0且对称轴是直线x=3
B
C
∴当4≤x<6时，y随x增大而减少
所以卡车能通过
2014.12
问题解决 4. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m， 如果水位上升3米，则水面宽CD=10m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）有一条船以5km/h的速度向此桥驶来，当船距离此桥 35km是，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m当 水位到CD处时，将禁止船只通行，如果该船按原来的速度行驶， 那么它能否能安全通过此桥。
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)y为何值时,△ADE的面积最大?最大面积是多少?
BD DE BC AC x DE 86 DE 3 x
4
能不能用正切来求DE？
B
x
10
8D
E
8-x
C
6
A
2014.12
北师大版九年级数学下册 2.4 二次函数的应用
（第1课时 最大面积）
2014.12
复习引入
1.二次函数表达式的顶点式是 y=a(x-h)2+k (a ≠0) ， 若a<0，则当x= h 时，y有最大值 k 。
2.二次函数表达式的一般式是 y=ax²+bx+c (a ≠0) ，
b
4ac b 2
若a<0，则当x= 2 a 时，y有最大值 4ac 。
∴当 x= -
b 2a
=20 时，y = 最大值 -
3 4
×202 + 30×20=300
[
或 y=
-
43x2+30x =
-
3 4
(x-20)+300
]
∵-
3 4<0
∴当 x=20cm 时，y 最大值=300(cm2)
2014.12
变式练习3：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
2014.12
变式练习4：
如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm,
BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC
上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是
多少?
A
ADG ∽ ABC
AN DG AM BC
16 x DG
时,y的最大值是多少?
┐
A
B
N
40cm
2014.12
例和2A：D分如别图在,在两一直个角直边角上三.角形的内部作一M个矩形ABCD，其中AB
bc 3m0cm
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD