数学分析-1样题(一)一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =.二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x ag x b →=;(2) 0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈ (3) lim ()u bf u A →=用εδ-定义证明, lim [()]x af g x A →=.三. (10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+收敛.四. (12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2lim (1)0x x x ax b →+∞-+-=.八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42-的最大值与最小值.九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ''≥--. 数学分析-1样题(二)一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.二. (10分)设0lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明011lim()x x f x b→=.三. (10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞=.四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x -→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七. (12分)求函数()1f x x x ααα=-+-在的最大值,其中01α<<.八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有12()()f x f x ''≤.九. (12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.数学分析-2样题(一)一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰2. xe dx -⎰3.ln 01x e dx -⎰4.2sin 1cos x xdx xπ+⎰二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0baf x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.三. (10分)证明20sin 0xdx xπ>⎰. 四. (15分)证明函数级数(1)nn x x∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.五. (10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.六. (10分)设2222220(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧ +≠⎪+=⎨⎪ +=⎩证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;(3) (,)f x y 在(0,0)可微.七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板? 八. (15分)设01σ<<, 证明111(1)n n n σσ∞=<+∑. 数学分析-2样题(二)一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.22(0)a x dx a - >2.1172815714x x dx x x++⎰3.10arcsin x dx ⎰4.10001cos 2xdx π-⎰二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限:1. 221lim nn k nn k →∞=+∑2. 20lim1xt xx xe dt e →-⎰三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.四. (15分)定义[0,1]上的函数列2212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪⎪=- , <≤⎨⎪⎪0 , <≤⎪⎩证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数(1)nn n x∞=+∑的和函数.六. (10分)用εδ-定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.八. (13分)设正项级数1nn a∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.数学分析-3样题(一)一 (10分) 证明方程11(, )0F x zy y zx --++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂ 二 (10分) 设n 个正数12, , , n x x x 之和是a ，求函数12 n n u x x x =的最大值.三 (14分) 设无穷积分() af x dx +∞⎰收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明1()() ().f x o x x=→+∞四 (10分) 求函数1220() ln() F y x y dx =+⎰的导数(0).y >五 (14分) 计算0sin sin (0, ).pxbx axI e dx p b a x+∞--=>>⎰六 (10分) 求半径为a 的球面的面积S .七 (10分) 求六个平面111111122222223333333 ,, = 0 , , a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c ++=±⎧⎪++=±∆≠⎨⎪++=±⎩ 所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >= 八 (12分) 求22Cxdy ydxx y -+⎰，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.九 (10分) 求dS z ∑⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部.数学分析-3样题(二)一 (10分) 求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二 (10分) 求在两个曲面2221x xy y z -+-=与221x y +=交线上到原点最近的点. 三 (14分) 设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞=，证明无穷积分1() f x dx +∞⎰与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四 (12分) 证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a--+∞-=<<⎰五 (12分) 设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ∀∈，有01lim [()()] ()().xa h f t h f t dt f x f a h→+-=-⎰六 (10分) 求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤-≠的面积A .七 (10分) 设222()() VF t f x y z dx dy dz =++⎰⎰⎰，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，f 是连续函数，求'()F t .八 (10分) 应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数. 九 (12分) 计算 Sxyz dx dy ⎰⎰，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。