' （uv） u 'v v 'u
y 2x 0 2x
例2：
u ' uvvu ( ) 2 v v
' '
y sin x cos x, 求y '
y ' sin x cos x cos x sin x
' '
cos x cos x sin x sin x cos2 x sin 2 x
f ( x0 ) f x
x x0
注：通常，导函数也简称为导数．
dy f ( x x) f ( x) y f ( x) lim dx x0 x
' '
df ' ( x) d 2 y ( y ' ) ' f '' ( x) f ' ( x) ' 2 dx dx


二阶导数
在物理上，动点的位置矢量对时间的一阶导数 就是该动点的速度矢量； 位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时 间的一阶导数）是动点的加速度矢量
3、导数的几何意义
y
Q
割线PQ的斜率为：
y
P
y f ( x x) f ( x) tg x x
dy f ( x x) f ( x) 导数： lim dx x0 x
Δs 80 40 (km/h)为汽车行驶的平均 Δt 2 速度，然而车速器显示的速度（瞬时速度）却在
小时， v
不停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算 汽车行驶的瞬时速度呢?
一般地：
设S是某一物体从某一选定时刻到时刻t 所走过的 则S是t 的一个函数 路程，
S S (t )
下面讨论物体在任一时刻t0 的瞬时速度。
u
二、导数
背 景 历史上，导数概念产生于两个实际问题的研究． 第一：求曲线的切线问题； 第二：求非匀速运动的速度问题．
导数研究的问题 变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
1、案例 [汽车的行驶速度]
Δs 若物体作匀速直线运动，则其速度为常量 v Δt
单位时间通 过的路程
例如：小王驱车到80km外的一个小镇，共用了2个
点M0(x0 ,y0)处的切线的斜率
f ( x0 ) tg
'
导数与极值
y
k y( x) 0 对应极值点
M
y P Q
极大值或极小值? 则 由该点的二阶导数来 确定 极大值点
O
x
y( x0 ) 0
极小值点
y( x0 ) 0
y( x0 ) 0
y( x0 ) 0
大学物理和中学物理的对比
物理常识 物理思想 物理方法
物理现象 特殊情况 初等数学方法
物理实质 物理规律
高等数学方法
第零章 数学预备知识
§0.1 导数与微分
§0.2
§0.3 §0.4
不定积分
定积分 矢量
矢量函数的导数与积分
§0.1 导数与微分
一、函数
复合函数
背 景
微积分学的研究对象是函数． 函数是数学中的一个基本而重要的概念．直 到公元1837年，德国数学家P.G.L.狄利克雷) 才提出现今通用的函数定义，使函数关系更 加明确，从而推动了数学的发展和应用．
y
导数的定义
y f ( x0 x) f ( x0 ) x x
y0 y
y0
x0
O
x0 x x
y
' x x0
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
'
导数的定义
y f ( x x) f ( x) x x
x x0
0
y | x x0 f x0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
导函数
如果函数f (x)在区间(a,b)内每一点都有导数，函数 f (x)
f x x f x 在区间(a,b)内有一导函数，即 f ' x lim x 0 x d y df ( x ) 也可记作 y ， ， d t
s
[t0 , t0 t ]
t内的平均速度为
S S t0 t S t0
S S t0 t S t0 v t t
t内S随时间的平均变化率， 描述了在t内S随时间的变化的平均快 慢程度
O
st0
因变量 外部函数 内部函数
例：复合函数
1 1 y x y u, u x 3 3
2 3
2 3
y 3 cos5t y 3 cosu, u 5t
y ln(2 x 1) y ln u, u 2 x 1
y e
sin x
y e , u sin x
总有确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数， 记作y = f (x) ，其中 x 为自变量，y为因变量。
函数
因变量
y = f (x)
自变量 法则
如函数 y
1 9x
2
的定义域为 D x 3 x 3 ， 值域为 W { y 1 y }
3
复合函数
若y是u的函数y=f (u)，u是x的函数
在区间 a, b 上
x1 x2 f x1 f x2 f x

x

导数与导函数的区别与联系
区别： f ( x0 ) 是一常数。
f x 是一函数。
函数 f ( x)在点 x 0 处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 联系：
f x 在 x x0处的值，即
y f ( x0 x) f ( x0 ) lim lim 存在，则称 时的极限 x 0 x x 0 x
此极限为函数y=f (x)在点x0处的导数(瞬时变化率）， dy df ( x ) 记作 f ( x0 ), y x x ， dx 或者 dx ，即 x x
0
v(2) 19.6m/s.
2、导数的定义
y
y0 y
对于函数y=f (x)
y f ( x0 x) f ( x0 )
为函数y的改变量
y f ( x0 x) f ( x0 ) x x
y0
x0
O
x0 x x
为函数y在区间 x 内的平均变化率
导数
若函数在点x0处的增量y f x0 x f x0 与引起这个增量的自变量增量 x 比值当 x 0
（一）、案例
案例1
我们知道，一天的气温随着时间的 变化而变化．如何准确地表示气温与 时间之间的变化关系呢？
案例2 [圆面积公式] 圆的面积S与半径r的函数关系为
S r
2
（二）、 概 函数
念
设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。
如果对于每一个数 x D ，变量 y 按照 一定的法则
5、 常用、基本导数公式 (1) (C)0 (2) (xn)nxn1 (3) (sin x) cos x (4) (cos x) sin x (5) (tan x)sec2x (6) (ctg x)csc2x (7) (ax)ax ln a (8) (ex)ex
例3： y tan x, 求y
sin x 可变换为 y cos x
'
即得
(sin x) cos x sin x(cos x) 1 y 2 2 cos x cos x
' '
1 2 例4：竖直上抛运动的规律为： 0t gt ， y 2 求：质点所能到达的最大高度？
k y(t ) 0 对应极值点
f ( x x) f ( x) y f ( x) lim x 0 x
' '
y
y y
y
O
x
x x x
f ( x0 ) f x
x x0
导数的几何意义
y
y f ( x)
M0
T

O
x
0
x
函数 y=f(x) 在x0处的导数 f’(x0) 等于曲线 y=f(x) 在
例1：
y x , 求x 2时的导数值
3
解：y’ 3x2 y’ 2 12 x
例2：
y sin x在x

2
时，其切线的斜率
解：k y’ cos x k x 0
2
6、 导数的基本运算法则 设u=u(x) , v=v(x)都是的可导函数，则： 例1： ' ' ' (u v ) u v 2 2 ' y x a , 求y (Cu ) ' Cu ' C为常数 '
st0 t
s
S S t0 t S t0 v t t
t 越小， 平均速度 v 就越接近于时刻 t0 的瞬时速度
令 t 0 取极限，得到瞬时速度 vt0 。
S t0 t S t0 S vt0 lim v lim lim t 0 t 0 t 0 t t
0 dy y 0 gt 0 t dt g
'
y' ' g 0
当t
0
g
时，y取极大值
1 0 2 0 ymax 0 g ( ) g 2 g 2g
0
2
6、 复合函数的求导法则
设 y f (u) ，u ( x) y f [ ( x)] 可导，则