x= ħ/ kBT=/T ( = ħ/ kB) xm= ħm/ kBT=D/T m ------声频支最大的角频率； D ------德拜特征温度。
m =(62N/V)1/3 (V------晶体的体积； ------平均声波速度） 12
（3） 讨论:
a: Cv 与T / D的关系曲线
当T D, ，x很小，
=3NkBfE (ħ/kBT) fE (ħ/kBT)------爱因斯坦热容函数
E= ħ/kB （爱因斯坦温度）
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Cv=3NkB(E /T) 2 exp(E /T) /(exp(E /T) －1)2 E值的选取规则：选取合适的值，使得在热容显著改变 的广大温度范围内，理论曲线和实验数据相当好的符合。 大多数固体， E的值在100～300k的范围以内。
C 影响D的因素 由 max = (2ks/m)1/2 知：原子越轻、原子间
的作用力越大， max越大， D越高。 物质 金刚石 CaF2 Cd Pb D(k) 2000 475 168 100
15
D 德拜理论的不足 因为在非常低的温度下，只有长波的的激发是主 要的，对于长波晶格是可以看作连续介质的。 德拜理论在温度越低的条件下，符合越好。 如果德拜模型在各种温度下都符合，则德拜温度 和温度无关。实际上，不是这样。
()d
等容热容：
Cv=(dE/dT－)v=0 m
kB(ħ/kBT源自2() exp ħ/ kBTd (exp( ħ/kBT) －1)2
说明：用量子理论求热容时，关键是求角频率 的分布函数()。常用爱因斯坦模型和德拜模 型。
9
热容的本质： 反映晶体受热后激发出的晶格波与温度的关系； 对于N个原子构成的晶体，在热振动时形成3N个 振子，各个振子的频率不同，激发出的声子能量也不 同； 温度升高，原子振动的振幅增大，该频率的声子 数目也随着增大； 温度 升高，在宏观上表现为吸热或放热，实质上 是各个频率声子数发生变化。
表
现
为
能量表现为
频率为晶格波（振子）
振动的表振幅的增加
现
增加的方式
为 振子的能量增加
以声子为单位增加振子能量（即能量量子化）
4
1. 振子能量量子化：
振子受热激发所占的能级是分立的，它的能级在0k 时为1/2 ħ ------零点能。依次的能级是每隔ħ升高 一级，一般忽略零点能。
n En =nħ+ 1/2 ħ
16
D(T)
320 300 280 260
0 20 40 60 80 100 120 T(k)
NaCI的D和T的关系
17
2. 爱因斯坦模型 爱因斯坦模型：晶体中所有原子都以相同的频率振动。
晶体的平均能量：
－E=3N
ħ exp( ħ/kBT) －1
热容：
Cv=3NkB(ħ/kBT) 2 exp( ħ/kBT) /(exp( ħ/kBT) －1)2
T －E()
6
4. 在温度Tk时的平均声子数
nav=－E ()/ ħ =
1 exp( ħ/kBT) －1
说明：受热晶体的温度升高，实质上是晶体中热激 发出声子的数目增加。
5. 振子是以不同频率格波叠加起来的合波进行 运动
晶体中的振子（振动频率）不止是一种，而是一个 频谱。
7
4.1.2 热容的量子理论
4.1 固体的热容
固体的热容是原子振动在宏观性质上的一个最直 接的表现。 杜隆·伯替定律------在室温和更高的温度，几乎全 部单原子固体的热容接近3NkB。 在低温热容与T3 本节将热容和原子振动联系起来，用原子振动解 释实验事实。
1
在热力学中 Cv =( E/ T)V E------固体的平均内能
Cv(J/moloC
6×4.18 5×4.18 4×4.18
····· ·
3×4.18 2×4.18 1×4.18
···
T/ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Cv
有
ex -1x
得 ： Cv = 3NkB 当T D xm= ħm/ kBT=D/T ，xm 得： Cv ～ (T / D)3 以上两种情况和实验测试结果 相符合。
T / D
13
b 德拜温度
德拜温度------晶体具有的固定特征值。
nav=
1 exp( ħm/kBT) －1
当 exp( ħm/kBT) －1<1时，平均声子数大于1， 能量最大的声子被激发出来。
因 ħm/ kB=D 有 exp(D /T)<2 当T D 时，能量最大的声子被激发出来。即德 拜温度是最大能量声子被激发出来的温度.
当T D 时， nav= kBT/ ħm
14
说明： 温度越低，只能激发出较低频声子，而且声子的 数目也随着减少，即长波（低频）的格波是主要 的。在T D 时， 声子的数目随温度成正比。
固体的热容
（晶格热振动）晶格热容 （电子的热运动）电子热容
2
经典统计理论的能量均分定理： 每一个简谐振动的平均能量是kBT ，若固体中有N 个原子，则有3N个简谐振动模， 总的平均能量: E=3NkBT 热容: Cv = 3NkB
3
4.1.1 简谐振子的能量本质
热量 进 入
晶格
引
引
增
起
起
加
晶格振动 电子缺陷和热缺陷
10
1. 德拜模型
（1）条件 晶格为连续介质； 晶体振动的长声学波------连续介质的弹性波； 在低温频率较低的格波对热容有重要贡献； 纵横弹性波的波速相等。
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（2） 等容热容
Cv=(d－E/dT)v=3NkBf(x)
式中：
f(x)=
3 xm3
xm 0
exx4 (ex-1)2
dx
为德拜热容函数
2 1 0
5
2. 振子在不同能级的分布服从波尔兹曼能量分布 规律
根据波尔兹曼能量分布规律，振子具有能量nħ的 几率： exp(- nħ/kBT)
3. 在温度Tk时以频率振动振子的平均能量
－E()=
nħ[exp(- nħ/kBT)]
n=0
ħ
exp(-
n=0
nħ/kBT)
= exp( ħ /kBT) －1
分析具有N个原子的晶体： 每个原子的自由度为3，共有3N个频率，在温度Tk时， 晶体的平均 能量：
E=3i=N1E(i)=
3N
i=1
ħi exp( ħi/kBT) －1
用积分函数表示类加函数：
设()d 表示角频率在和+d之间的格波数,而且
m 0
()d
=3N
8
平均能量为：
－E=0 m
ħ exp( ħ/kBT) －1