1．1．1正弦定理●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 一.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==,则sin sin sin a b c c A B C=== 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a 从而sin sin abAB=sin cC=A c B（2）当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

（由学生课后自己推导） 思考2：还有其方法吗？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。

C A BB CA（证法二）：过点A 作单位向量j AC ⊥， 由向量的加法可得 AB AC CB =+则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a cA C同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =b c B C 从而sin sin a b A B =sin cC=从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin abAB=sin cC=等价于sin sin abAB=，sin sin cbCB=，sin aA=sin cC思考：正弦定理的基本作用是什么？①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理， 00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理， 0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

练习：在∆ABC 中，已知下列条件解三角形。

（1） 45=A ， 30=C ，cm c 10=， （2） 60=A ，45=B ，cm c 20=例2． 在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。

解：根据正弦定理，sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或116.≈B⑴当64≈B 时，0000180()180(4064=-+≈-+=C A B，0sin 20sin7630().sin40==≈a C c cm⑵当116≈B 时，0180()180(401=-+≈-+=C A B，00sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

课堂练习第4页练习第2题。

思考题：在∆ABC 中，sin sin abAB =(>o)sin ck k C ==，这个k 与∆ABC 有什么关系？三.课时小结（由学生归纳总结） （1）定理的表示形式：sin sin abA B =sin cC ==()0sin sin sin a b ck k A B C ++=>++；或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k > （2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

四.课后作业：P10面1、2题。

1.2解三角形应用举例第一课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、难点教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

3、新课讲授（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。

求A、B两点的距离(精确到0.1m)提问1：∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

解：根据正弦定理，得ACB AB ∠sin = ABCAC ∠sin AB = ABCACB AC ∠∠sin sin = ABCACB ∠∠sin sin 55=)7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒ = ︒︒54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m)答:A 、B 两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。

解略：2a km例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。

首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点。

根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，∠ ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得AC = )](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )sin()sin(δγβδγ+++aBC =)](180sin[sin γβαγ++-︒a = )sin(sin γβαγ++a 计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离 AB = αcos 222BC AC BC AC ⨯-+分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

4、 学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。

5、 课堂练习：课本第14页练习第1、2题6、 归纳总结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 四、课后作业1、 课本第22页第1、2、3题2、 思考题：某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。