的新信息。 反之，新测量样值中不包含任何新信息。
显然，当我们测得k时刻的新测量样值y(k)之后，可
利用第k次测量中的新信息
式中：参数a＜1
E(k) 0
E(k)2
2
E
(k
)
(
j
)



2
k j
0
k j
二、信号测量过程的数学模型
信号测量过程的数学模型：
y(k) cx(k) v(k)
（2）
式中： x(k)为k时刻的信号值。 y(k)为该时刻对 x(k)进行测量所得到的信号测量样值。 v(k)为此时在 测量过程中所引入的独立的附加噪声 。


（16）
利用 式12，将a(k)替换
P(k
)

E
ax(k
1)

w(k
1)

a[1

cb(k
)]

x(k
1)

cb(k
)
x(k
)

b(k
)v(k
)
2
E a[1 cb(k)]e(k 1) [1 cb(k)]w(k 1) b(k)v(k)2
（17）
交叉乘积项的均值都为零
E
e(k
)

x
(k 1) 0
Ee(k)y(k) 0
由（7）式可得
（9） a(k) （10）
e(kE) x(ak)(ka)(kx)
(k

x(k)
b(1k )) y(kx)
经过一系列的代换可求出
(k
1)

Ex(k
)

b(k
)
y(k
)
P(k)

Ee(k ) x(k )
a(k ) E e(k )

x
(k 1) b(k)Ee(k) y(k)
由9和10两式化简后得：
（13）
P(k) Ee(k)x(k)
由量测方程
可得：
x(k)

1

y(k
)

v(k)
c
（14）
代入式14中
P(k ) 1 E(e(k ) y(k )) 1 E(e(k )v(k ))
P(k) a2 1 cb(k)2 P(k 1) 1 cb(k)2
2 b2(k)
w
2
v （18）
整理后求解得
b(k)
c a2P(k 1) 2 w
2 c2 2 c2a2P(k 1)
v
w
（19）
此式即经过最优化所得到的 b(k) 的表达式。

x(k 1)
出发
,由于信号数学模型中的动态噪声的确切数
值w(k-1)无从得知，故对x(k)的预估值只能取作
a

x(k

1)
当我们测得k时刻的新测量样值y(k)后，若所测得的
y(k)值与其预估值

y (k
)

ac

x(k

1)之差不为零，就说明k时
刻的新测量样值y(k)中包含有前（k-1）次测量中所没有
卡尔曼滤波算法
卡尔曼滤波算法是卡尔曼等 人在20世纪60年代提出的一种递 推滤波算法。它的实质是以最小 均方误差为估计的最佳准则，来 寻求一套递推估计的算法。其基 本思想是：采用信号与噪声的状 态空间模型，利用前一时刻地估 计值和现时刻的观测值来更新对 状态变量的估计，求出现时刻的 估计值。它的广泛应用已经超过 30年，包括机器人导航，控制， 传感器数据融合甚至军事方面的 雷达系统以及导弹追踪等等。
P(k) b(k)

2Ex(k)

a(k)

x
(k
1)

b(k
)
y(k)
y(k)

0
（7） （8）
解出的a（k）和b（k）将保证该递归型估计器的 均方估计误差为最小。

根据 e(k) x(k) a(k) x (k 1) b(k) y(k)
由（7）和（8）式得
当增益 a(k) 和 b(k) 经过最优化，即分别有（12）式和（19）式给出时
就是一个最优递归型估计k

1)

b(k
)

y
(k
)

ac

x
(k 1)
（20）
20式物理意义的说明：在尚未获得k时刻的新测量样值
y（k）以前，我们只能从(k-1)时刻对信号所作出的估计
Ev(k) 0
Ev(k)2
2 v
Ev(k
)v(
j
)



2 v
k j
0
k j
所以，可以得到一维时变随机信号及其测量过程 的数学模型。
三、标量卡尔曼滤波器设计
一维随机信号的递归型估计器的一般表达式：


x(k) a(k) x(k 1) b(k) y(k)
2
（4） （5）
代入递归型估计器的一般表达式 得：
P(k
)

E

x(k
)

a(k
)

x
2
(k 1) b(k) y(k)
令P(k)对a（k）和b（k）的偏导数为零，得
（6）
P(k) a(k)

2Ex(k)

a(k)

x
(k
1)

b(k
)
y(k
)

x
(k 1) 0
Kalman
一、一维时变随机信号的数学模型
对每一确定的取样时刻k，x（k）是一个随机 变量。当取样时刻的时标k变化时，就得到一个离 散的随机序列｛x（k）｝。
假设待估随机信号的数学模型是一个由白噪声 序列 W｛（k）｝驱动的一阶自递归过程，其动态 方程为：
x(k) ax(k 1) (k 1) （1）
c
c


1
E ((
x(k
)

a(k
)

x
(k 1) b(k ) y(k ))v(k ))
c
1 b(k )E( y(k )v(k )) c
（15）
1 b(k) 2
c
v
最优递归型估计器对信号的均方估计误差还可写成
P(k
)

E
ax(k
1)

w(k

1)

a(k
)

x
2
(k 1) b(k)cx(k) v(k)

x

(k 1)
左式
a(k
)E

x(k
1)

x(k
1)

a(1
cb(k
))E

x(k
1)

x(k
1)
a(k) a1 cb(k)
此式为经过最优化得到的 a（k）表达式
（11） 右式 （12）
最优递归型估计器对信号 x(k) 的均方估计误差可写成
（3）
在信号、测量过程的数学模型为条件下 以均方估计 误差最小为准则对估计器的加权系数a(k)和b(k)进行最优 化，并推导出标量卡尔曼滤波器的最优估计的递推算法。
递归型估计器在k时刻对信号的估计误差为

e(k) x(k) x(k)
均方估计误差为
P(k
)

E

x(k
)


x(k
)