知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
互相平行的面 其余各面
多边形
两个侧面的公共边 侧面与底面的公共 顶点 两个底面所在平面 的公垂线段 各侧面的公共顶点
顶点到底面所在平面的
垂线段
2.棱柱、棱锥的性质 棱柱 侧面 平行四边形 棱锥 三角形
侧棱 平行于底面 的截面
纵截面
平行且相等
与底面全等的 多边形 平行四边形
交于一点
与底面相似的多边形 三角形
若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所 成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= 1 ； 若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所 成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= 2 .
4.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究 对象 (1)定义： 底面是 正多边形 ，并且顶点在底面上的射影是底 面的 中心 ，这样的棱锥叫做 正棱锥 . (2)性质： ①侧面是 全等的等腰三角形，与底面所成二面角 均 相等 ；
⑤等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上. 其中真命题为 （写出所有真命题的序号）.
思维启迪 判断. 解析
结合“等腰四棱锥”的概念，逐一进行
①真.因为“等腰四棱锥”四条侧棱长都相
等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上 的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面
所成的角都相等；
②假.如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在 底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰
形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
题型二
棱柱、棱锥中的平行与垂直
【例2】如图所示，在直三棱柱ABC—
A1B1C1中，∠ACB=90°,AB=2,BC=1,
AA1= 3 . （1）证明：A1C⊥平面AB1C1；
（2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点
②侧棱均 相等 ，侧棱与底面所成的角均 相等 ； ③平行于底面的截面也是 正多边形 ；纵截面是 等
腰三角形 ；
④正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面
外接圆半径、底面内切圆半径.
5.体积公式 （1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面 积， h 为高; 1 （2）锥体体积公式为V= 积， h 为高.
A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面
体是棱锥
C.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D.长方体一定是正四棱柱
2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（ B ） A.棱柱有一条侧棱与底面垂直
B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直
C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直 D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直
证明如下：
如图所示，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE， ∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点,
∴EF∥AB1.
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD=F，∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE 平面EFD，∴DE∥平面AB1C1. 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面 探究提高
会研究其简单的性质与判定方法.掌握“侧棱都相
等，则侧棱与底面所成的角都相等”，“侧棱都相 等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角 形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形 内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结
论.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边
取AB的中点E，连结CE，由题意
可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2.
1 AB 2, 2 1 所以CE AB. 2 则△ABC为等腰直角三角形， 又BE
所以AC⊥BC. 又因为PA⊥平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内 的射影，BC （2）解 PC∩AC=C， 所以BC⊥平面PAC. 又因为PC是PB在平面PAC内的射影， 平面ABCD，由三垂线定理得BC⊥PC. 由（1）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，
所以∠CPB是PB与平面PAC所成的角.
又CB=2 2 ，PB2=PA2+AB2=20，
10 , 5 10 即PB与平面PAC所成角的正弦值为 . 5 （3）解 由（2）可知，BC⊥平面PAC，BC
∴PB=2 5 ，sin∠CPB=
平面
PBC, 所以平面PBC⊥平面PAC. 过A点在平面PAC内作AF⊥PC于F， 所以AF⊥平面PBC.
3 Sh
，其中 S 为底面面
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面 面积之和，直棱柱的 侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各 侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜 高积的一半 .
（2）全面积等于侧面积 与底面积 之和，即S全= S侧 + S底 .
基础自测
1.以下命题中正确的是 都是平行四边形的多面体是棱柱 B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面 （ C）
棱柱、棱锥的概念和性质
要点梳理
1.棱柱、棱锥的定义 棱柱 如果一个多面体有两 个面互相 平行 ，而其 定义 余每相邻两个面的交 线互相 平行 ，这样的 多面体叫做棱柱 棱锥 如果一个多面体有一 个面是 多边形，其余 各面是 有一个公共顶 点 的三角形，这样 的几何体叫做棱锥
底面 侧面 侧棱 顶点 高
四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不
都相等或互补.故是假命题； ③假.如当底面是正方形时，底面四边形存在外接
圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个
四棱锥显然不是“等腰四棱锥”；
④假.理由同③； ⑤真.因为由①知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的
各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上.
答案 ①⑤ 探究提高 本题要注意“等腰四棱锥”的定义，并
（1）求PC与BD所成的角；
（2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离. 思维启迪 在（3）中，关键是确定O在平面PMN中
的射影的位置，故最好能找到过O且垂直于平面
PMN的平面，而平面PAC正是我们需要的平面.
解
（1）∵侧面PAB和侧面PAD都垂直于底面AC，
且两侧面交于PA，∴PA⊥底面AC.
又BD⊥AC，∴BD⊥PC，
即PC与BD所成的角为90°. （2）∵PA⊥底面AC，
∴∠PCA是PC与底面AC所成的角，∠PBA为PB与底
面AC所成的角. ∴在Rt△PAB中，PA=AB=a，∴AC= 2 a， 2 得 tan PCA . 2 （3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
（2）求证：AE⊥平面PCD.
解 （1）连结BD与AC交于O，连结OE， ∵O,E分别为BD，PD的中点，
∴OE∥PB，且OE
（2）方法一
平面EAC，PB
平
面EAC，∴PB∥平面EAC. ∵ABCD是矩形，
∴CD⊥AD.又平面PAD∩平面ABCD=AD，
平面ABCD⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD. 又AE 平面PAD，∴CD⊥AE. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点，∴AE⊥PD. 又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD. 方法二 ∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD. 又平面PAD∩平面ABCD=AD， 平面ABCD⊥平面PAD， ∴CD⊥平面PAD.
∵A1 C 平面ACC1A1，∴BC⊥A1C. ∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1C.
在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC= 3. ∵AA1= 3 ，∴四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1.
∵B1C1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1. （2）当E为棱AB的中点时， DE∥平面AB1C1.