第五章电路的瞬态分析【引言】①直流电路：电压、电流为某一稳定值稳定状态（简称稳态）交流电路：电压、电流为某一稳定的时间函数○2当电路发生接通、断开、联接方式改变及电路参数突然变化时，电路将从一种稳态变换到另一种稳态，这一变换过程时间一般很短，称为瞬态过程或简称瞬态（也称暂态过程或过渡过程）。

防止出现过电压或过电流现象，确保电气设备安全运行。

○3瞬态分析的目的掌握瞬态过程规律，获得各种波形的电压和电流。

学习目的和要求１、了解产生瞬态过程的原因和研究瞬态过程的意义。

２、掌握分析一阶电路的三要素法。

理解初始值、稳态值、时间常数的概念。

３、理解ＲＣ电路和ＲＬ电路瞬态过程的特点。

４、了解微分电路和积分电路本章重点：分析一阶电路的三要素法，ＲＣ电路的充放电过程。

本章难点：初始值的确定。

5-1瞬态过程的基本知识一、电路中的瞬态过程【演示】用根据图5-1-1 制作的示教板。

观察开关S 合上瞬间各灯泡点亮的情况。

SI C I L I R＋C L RU S－HL 1HL2HL3图 5-1-1【讲授】开关 S HL 1突然闪亮了一HL 2由暗逐HL 3立刻变合上瞬间下，然后逐渐暗下渐变亮，最亮，亮度稳去，直到完全熄灭后稳定发光定不变有瞬态过程无瞬态过程外因——电路的状态发生变化（换路）电路发生瞬态过程的原因内因 —— 电路中含有储能元件（电容或电感）二、换路定律【讲授】①换路定律是表述换路时电容电压和电感电流的变化规律的，即换路瞬间电容上的电压和电感中的电流不能突变。

②设以换路瞬间作为计时起点，令此时t ＝０，换路前终了瞬间以 t ＝０ —表示，换路后初始瞬间以 t＝０ +表示。

则换路定律可表示为：u C （０ +） = u C （０ — ）换路瞬间电容上的电压不能突变 i L （０ +） = i L （０ — ）换路瞬间电感中的电流不能突变换路后 换路前初始瞬间终了瞬间【说明】①换路定律实质上反映了储能元件所储存的能量不能突变。

因为W C = 1Cu C 2、W L = 1Li L 2，p=dw趋于无穷大，这是不可能的。

2 2u C 和 i L 的突变意味着能量发生突变，功率dt②当电路从一种稳定状态换路到另一种稳定状态的过程中，u C 和 i L 必然是连续变化的，不能突变。

这种电流和电压的连续变化过程就是电路的瞬态过程。

③电阻是耗能元件，并不储存能量，它的电流、电压发生突变并不伴随着能量的突变。

因此由纯电阻构成的电路是没有瞬态过程的。

④虽然 u C 和 i L 不能突变，但电容电流和电感电压是可以突变的，电阻的电压和电流也是可以突变的。

这些变量是否突变，需视具体电路而定。

三、分析一阶电路瞬态过程的三要素法【讲授】①一阶电路是指只包含一个储能元件，或用串、并联方法化简后只包含一个储能元件的电路经典法 （通过微分方程求解）②分析一阶电路瞬态过程的方法三要素法 （简便方法，本书只介绍此法的应用）③在直流电源作用下的任何一阶电路中的电压和电流，只要求得初始值、稳态值和时间常数这三个要素，就可完全确定其在瞬态过程中随时间变化的规律。

——三要素法：瞬态过程中换路后瞬间 u 的 u 或 i或 i 的初始值f ( t )= f ( ∞ ) + [ f (0 + ) － f (∞ ) ] e t /u 或 i 的时间常数稳态值【推导】我们通过图5-1-2 所示的 RC 串联电路与直流电源接通，推导出三要素法的一般公式，并说明它适用于任意复杂的一阶电路。

推导过程虽不够严密，但较简单，供教师参考。

在 t=0 瞬时，将开关 S 闭合，则电容 C 通过电阻 Ｒ与直流电压 U 接通。

现讨论此后发生的过程：根据基尔霍夫电压定律，开关Ｓ闭合后，显然有u R ＋u C ＝U 即 Ri ＋ u C ＝U将 i ＝Ｃdu C代入得图 5-1-2dtRCdu C＋u C ＝Udt上式是一阶常系数非齐次线性微分方程，由高等数学可知，其通解u C 由两部分组成，即一个特解u C '和一个它所对应的齐次方程RCdu C＋u C ＝ 0 的通解 u C " 。

故dtu C ＝u C '＋u C "它的特解 u C ' 可由 t ＝∞（即过渡过程已经结束）时的值u C （∞）来确定，即u C '＝u C （∞）它所对应的齐次方程的通解u C "是一个时间的指数函数，可表示为u C " ＝Ａｅ pt现将其代入该齐次方程，并消去公因子Ａｅpt，便可得出该齐次方程的特征方程是ＲＣ＋ 1＝ 0由上式有Ｐ=－ 1 =－1R C式中 τ =RC于是u C ＝u C （ ∞） + Ａｅ-t/RC＝ u C （∞）+ Ａｅ-t/ τ-t/ τ由此可见，充电过程中的电容电压u C 可视为稳态分量u C ( ∞)与暂态分量 Ae 的叠加。

所谓暂态分量，是指仅存于过渡过程中的分量，它总是随时间逐渐衰减的，当ｔ→∞时，暂态分量衰减为零。

所谓稳态分量，是指过渡过程结束，暂态分量为零，电路处于稳态时的分量。

当然，实质上仅存在一个电压（或电流），将其分解为两个分量只是为了便于分析而已。

上式中尚有积分常数Ａ待定，这可根据换路瞬时（t=0 ）的初始条件u C (0+) ＝u C (0－)来确定：u C (0+) = u C ( ∞ )+Ａ或Ａ = u C (0+) — u C ( ∞)将此式代入上式中，有u C＝u C（∞）+ 〔 u C (0+) —u C ( ∞)〕ｅ-t/τ由此还可得电容的充电电流i＝Ｃ du C=Ｃ d u C u C 0u C e-t/τdt dt=i （∞） +[ i （ 0+）－ i（∞） ] ｅ-t/τ电阻上的端电压u R=Ri =R i（∞） + R [ i（ 0+）－ i（∞）] ｅ-t/τ=u R（∞）+ 〔 u R (0+) —u R ( ∞)〕ｅ-t/τ以上三式有其共同的规律，可用数学式统一表示为f ( t )= f ( ∞ ) + [ f (0 + )－ f ( ∞ ) ]e t /这就是分析一阶电路瞬态过程中任意变量的一般公式，即三要素法。

RL 电路也可这样推导，得出同样结果，只是时间常数τ=L/R【说明】①用三要素法分析一阶电路的是本章的重点内容。

只要求得三要素就可知瞬态过程中电压和电流的变化规律，省去了求微分方程的麻烦。

初始值 f (0 + ) ——瞬态过程开始时的值。

可根据换路定律求得。

稳态值 f ( ∞ )——瞬态过程经历t→∞时的值。

可根据电路基本定律求得。

时间常数τRC 电路中，τ=RCRL 电路中，τ=L/R②三要素中初始值较难确定，主要根据换路定律来求。

四、根据换路定律确定瞬态过程的初始值【讲授】一般分三步进行：1．按换路前的电路求出u （０—）和 i （０—）；C L 2．由换路定律确定u C（０+）、 i L（０+）；3．在换路后的一瞬间，将电容看作理想电压源（若电压为零，则相当于短路），将电感看作理想电流源（若电流为零，则相当于开路），再按换路后的电路求出其它电流和电压的初始值。

[例 5-1-1]图5-1-3所示的电路，原为稳定状态，电容上未储能，已知U S=4V ， R=2Ω，试求开关S 闭合后瞬间电感、电容、电阻上的电流。

[解 ] 1. 先求换路前的电容电压和电感电流。

因为开关S 未闭合时，电路原为稳定状态，电容上未储能，电感相当于短路，故u C (0－ ) =0i L(0－) =U S=4A=2AR 22.由换路定律可得u C (0+ ) = u C (0－ ) =0图 5-1-3i L(0 +)= i L(0－ ) =2A3.开关 S 闭合后瞬间电容两端的电压不变，可看作电动势为零的电压源，相当于短路；电感中的电流不变，相当于2A 的电流源，故电感、电容、电阻上的电流分别为i L(0+ )=2Ai C (0+) = i L(0+ )=2Ai R (0+) = 0【讲授】对于一个任意的一阶电路，无论怎么复杂，总可以把储能元件支路单独划分出来，使电路的其余部分成为一个电阻性的有源二端网络，如图5-1-4（ a）所示。

用戴维宁定理将这个有源二端网络等效为一个电压源，于是原来的复杂电路就变换成一个简单的RC（或 LR）电路，如图5-1-4 （ b）所示。

这样就可以用三要素法来分析这个电路的瞬态过程了。

有源电R阻性CC二＋端U S网－络(a)(b)图 5-1-4【小结】①含有储能元件（Ｌ、Ｃ）的电路，从一种稳定状态变换到另一种稳定状态必定需要一段时间，这个变换过程就是电路的瞬态过程。

换路是引起瞬态过程的外部原因，而电路中含有储能元件电容或电感则是内部原因。

② ＲＣ电路和ＲＬ电路都只含有一个储能元件，系一阶电路，其瞬态过程的电压和电流可用三要素法求解。

三要素是指初始值、稳态值和时间常数，求得这三要素的值，电压或电流的变化规律就可以用公式表示为f ( t )= f ( ∞ ) + [f (0 + )－ f ( ∞ ) ] e - t /τ式中 f ( t )为待求量（电压或电流）， f ( ∞)为稳态值， f (0 + ) 为初始值，τ为电路的时间常数。

③储能元件的初始值可根据换路定律uC (0+) = uC(0－)，i L(0+) = i L(0－)求得，电路中其他电压、电流的初始值再根据电路的分析方法求出。

【提问】思考题5-1-1 、5-1-2 。

【练习】思考题5-1-3 。

【作业】习题5-1、5-2、5-3。

思考题解答5-1-1是否任何电路发生换路时都会产生瞬态过程?[ 答 ]不对，只有存在储能元件 (电容或电感 ) 的电路发生换路时才会产生过渡过程。

5-1-2用三要素法求一阶电路的电压、电流时，其初始值用 f (0－ )可不可以？[ 答]根据换路定律，只有求电容的电压u C和电感的电流 i L时，其初始值可用 f (0－ )。

5-1-3电路如图 5-1-5 所示，在 t= 0 时合上开关，已知u C(0-)i L ii ii=0，i L(0-)=0 ，求 u C(0+)、i L (0 +)、 u L (0+)、 u R(0+)。

[ 答]根据换路定律： u C(0 +) = u C(0-) =0 ，； i L (0+)=i L(0-)=0 。

在开关合上的一瞬间，电容相当于短路，电感相当于开路，故u L(0 +)=U S；u R(0+)=0 。

图 5-1-5【引出】ＲＣ电路和ＲＬ电路都只含有一个储能元件，系一阶电路，其瞬态过程的电压和电流可用三要素法求解。

下面用三要素法分别对RC 电路和 RL 电路进行分析5-2 RC 电路的瞬态过程一、 RC 电路的充电过程【讲授】图5-2-1 是 RC 串联电路。