高中数学必修四教材分析
π π 在区间 ,π 的简图是( 3 2
二.填空题
1.(2009 宁夏海南卷文)已知函数 f ( x) 2sin( x ) 的图像如图所示,则
7 f 12
。
2.(2009 年上海卷)函数 y 2cos x sin 2 x 的最小值是_____________________ .
6
B.
4
C.
3
D.
2
)
7. (2008 海南、 宁夏文科卷) 函数 f ( x) cos 2 x 2sin x 的最小值和最大值分别为 ( A. -3,1 B. -2,2 C. -3,
3 2
D. -2,
3 2
)
8.(2007 海南、宁夏)函数 y sin 2 x
的奇函数 2 D、最小正周期为 的偶函数 2
B、最小正周期为
)
4.(2009 山东卷文)将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 得图象的函数解析式是( A. y 2cos x
2
个单位, 再向上平移 1 个单位,所 4
). B. y 2sin x
2
C. y 1 sin( 2 x
一:内容简括
(一)三角函数
1:任意角,弧度
了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化。
2:三角函数
(1) 借助单位圆理解任意角三角函数(正弦,余弦,正切)的定义。 (2) 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式,能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图像,了解三角函数的周期性。 (3) 借助图像理解正弦函数,余弦函数,正切函数的性质(如单调性,最大和 最小值,图像与 x 轴交点等) 。 (4) 理解同角三角函数的基本关系式。 eg: sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α) =sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) (5) 结合实例,了解 y=Asin(ωx+ψ)的实际意义,能借助计算器或计算机画出 y=Asin(ωx+ψ)的图像,观察参数 A,ω,ψ对函数图像变化的影响。 (6) 会用三角函数解决一些简单的实际问题, 体会三角函数的描述周期变化现 象的重要函数模型。
二:三角函数分析 (一)任意角和弧度制
课本从体操转体以及齿轮转动引出正角和负角的概念, 加上零角就构成了任 意角。 因为同一个角度位置可以用不同角的大小来表示,所以就给出了下列几何 定义: 一般的,我们有: 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合 S={β|β=α+K· 360º,K∈Z},即任一与角α终边相同的角, 都可以表示成为角 α与整数个周期的和。 因为角可以用单位进行度量,1 度=周角的 1/360,这叫角度制,为了方便, 数学上还引用了弧度制。把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角, 用 rad 表示。一般,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度制是一个负数,零角 的弧度数为 0,如果半径为 r 的圆的圆心角α所对弧的长为 l,那么,角α的弧度 数的绝对值是|α|=l/r 分析:通过了解任意角和弧度制来引出三角函数概念,这是最基本的内容。 接下来 就进入更深一步的学习。
y x
图一
分析: 通过单位圆可以将很抽象的角度 转换到直角坐标系中,用坐标来表示。而 三角函数的正负取决于坐标正负。
这里给一个例题:选择①sinθ>0,②sinθ<0,③cosθ>0,④cosθ<0,⑤tanθ>0, ⑥tanθ<0 中适应的关系式的序号填空: (1) 当角θ为第一象限角时,①③⑤是对的 (2) 当角θ为第二象限角时,①④⑥是对的 (3) 当角θ为第三象限角时,②④⑤是对的 (4) 当角θ为第四象限角时,②③⑥是对的 通过对单位圆的认识,课本又引入了三角函数的诱导公式: sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα
, )。 3 2
1 3 sin x (1) cos x 2 2
(2) 3 sin x cos x =2sin(x+ /3)=2cos( /6-x)
=sin( /6-x)=cos( /3+x)
分析: 这两个题都是利用特殊角的正弦余弦值以及推导公式化简的, 很灵活, 而且都可以化为两种形式。
四:平面向量
平面向量中包含其线性运算河基本定理及坐标表示,还有数量积,因以三角 函数为主,这里就不详细叙述。
教育科学与管理学院《教育研究方法》课程
期末研究报告
学 学 姓 期: 号: 名: 2016-2017 学年第一学期 1443201000046 李秋霖
高中数学必修四教材分析
——以三角函数为主
摘要:三角函数在高中是很重要的一块内容,此教材分析主要针对必修四的 三角函数和三角恒等变换。 从任意三角形推广到周期函数, 特殊化到锐角三角形, 然后又联系到解三角形,类比了指数函数对数函数,幂函数,联系了物理生物, 自然界中的周期现象。 第三章从差角余弦公式到和角公式再到倍角公式,最后掌 握简单三角恒等变换。 关键词:正弦函数;余弦函数;正弦余弦正切公式
参考文献
[1]章建越.数学必修 4(普通高中课程标准实验教科书)[M].北京:人民教育出版 社,2011 [2]中华人民共和国教育部.数学课程标准[M].北京:人民教育出版社,2012
附录:
三角函数高考真题
一.选择题 1、 (2009)函数 y 2cos 2 x A.最小正周期为 的奇函数 C.最小正周期为
三:三角恒等变换
两角和与差的正弦,余弦和正切公式
从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦,余弦,正切公式,二倍角的正 弦余弦,正切公式,了解它们的内在联系。数学课程标准上说明要求学生能运用 上述公式进行简单的恒等变换。 下面是三角函数的推导公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ tan(α+β)=(tanβ+tanα)/(1-tanαtanβ) sin2α=2sinαcosα cos2α=(cosα)^2-(sina)^2=2(cosα)^2-1=1-(sinα)^2 tan2α=(2tanα)/(1-(tanα)^2)
(二)任意角的三角函数以及其诱导公式
引进弧度制时我们看到, 在半径长为单位长的圆中,角α的弧度制的绝对值 等于圆心角α所对的弧长,在直角坐标系中,我们称以原点Ο为圆心,以单位长 度为半径的圆为单位圆, 这样我们锐角三角形可以用单位圆定义任意角的三角函 数。 如图是对于单位圆的认识
sinα=y cosα=x tanα=
4
)
D. y cos 2 x
5.(2009 江西卷文)函数 f ( x) (1 3 tan x) cos x 的最小正周期为
A. 2
B.
3 2
C.
D.
2
6. (2009 全国卷Ⅰ文) 如果函数 y 3cos(2 x ) 的图像关于点 ( 的最小值为 A.
4 那么 , 0) 中心对称, 3
2Leabharlann 3.(2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) sin( x )( 0) 的图象如图所示,则 =
三.解答题
1、 (2008)已知函数 f ( x) A sin( x )(a 0,0 ), x R 的最大值是 1,其图像经 过点 M (
1
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数
锐角三角函 数
0~2 的角 的三角函数
上述步骤体现了由未知转化为已知的化归思想。这也是接下来要掌握的内 容的基础。 接下来给出一个关于诱导公式的例题: 已知 sin(α-3π)=2cos(α-4π),求
sin (-)+5cos (2-) 的值. 3 2sin - -sin (-) 2
【解析】 ∵sin(α-3π)=2cos(α-4π), ∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α), ∴sinα=-2cosα,且 cosα≠0. sin+5cos -2cos+5cos 3cos 3 ∴原式= = = =- -2cos+sin -2cos-2cos -4cos 4
1 是 4
B.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为
2
的奇函数 2
的偶函数 2
)
2、 (2008)已知函数 f ( x) (1 cos 2 x)sin x, x R ,则 f ( x) 是( A、最小正周期为 的奇函数 C、最小正周期为 的偶函数
3.(2009 浙江文)已知 a 是实数,则函数 f ( x) 1 a sin ax 的图象不可能 是( ...
分析:推导公式的运用是学生学习的难点,这需要学生灵活运用,且要能自 己推导,这一章不仅给出二倍角公式,半角公式,还有一个很重要的考点就是辅 助角公式的运用。 掌握推导公式和辅助角公式,对于高考题型也就掌握了大部分 了。 下面是辅助角公式的具体内容: asinα+bcosα= sin(a+φ),其中 tanφ=b/a,其终边过点(a, b) asinα+bcosα= cos(a-φ),其中 tanφ=a/b,其终边过点(b,a) 这个公式通常用于特殊角, 下列是一些具体事例,让我们从中体会辅助角公 式。 化简
3:三角恒等变换
(1) 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程, 进一步体会向量方 法的作用。 (2) 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦,余弦,正切公式,二倍角 的正弦,余弦,正切公式,了解它们的内在联系。
(3) 能运用公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差,和差化积,半 角公式) 。