1 3
0 0
B
1
3
2 1
0
B
1
2
1 2
B 0
0
0 3
能控否？ 能控否？ 能控否？ 能控否？ 能控否？
不能控 能控 不能控 能控 不能控
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A
2
2
B
1 1
能控否？ 不能控
若两个约当块具有相同的特征值 , 上述结论不成立 ; 对于SISO 系统则不能控 , 对MIMO 系统来说 , 需要考察T-1B中与那些相同特征
例: 1 0 0
A 0
2
0
0 0 3
2
B
1
3
能控否？ 能控
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1 0 0
A
0
2Leabharlann 00 0 31 0 0
A 0
2
0
0 0 3
1 0 0
A 0
2
0
0 0 3
2 1 0
A
0
2
0
0 0 1
2 1 0
A
0
2
0
0 0 1
1
B
2
0
1 0
B 0
2
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再例
x1、x2能控否？
u
x2
x1
y
-1 1
结论 : x1能控、x2 不能控
系统能控吗 不能控
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结论 : 对于简单的系统 ,可以根据能控性的定义 , 从系统状态方程的 解或系统的状态图判断系统的状态能控性 对于复杂的系统
需要借助能控性判据
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线性定常系统的能控性判方法
若其中只有一 个状态不能控, 则系统不能控.
2;若将初始状态规定为X( t0 ) 0, 终了状态规定为状态空间中的任意 一个非零有限点X( t f ); 如果系统存在一个控制作用 u( t ),能在有限 时间[ t0 ,tf ]内,使系统完成从初始状态到终了状态的转移,称系统具有 状态能达性;线性定常连续系统, 能控、能达 是等价的
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例
.
.
x1 x2
4
0
1 5
x1 x2
1 0
u
x1、x2能控否？
能控性讨论的是控制输入对状态的影响能力。 确切的说，是指状态在控制作用下能否回到坐标原点的性质。
结论 : 不能控
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例
R1
x1
uC
R2
R2
x2
Cy
x1、x2能控否？
当
R1 R2 R,
当RC 1 , 3
SISO系统
状态方程的形式 X X Bu
或 X JX Bu
其中
b1
而
B
b2
bn
1
0
2
3
0
n
1 2 n
或
1
1 1
1
1
1
1
m 1
J
m 1
m
1
m
m1
n
几个具体的例子
[1]
X
1
2
X
0 b2
u
y c1 c2 X 能控否
不能控
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. . . . RC
x1
x1
RC
x2
x2
u
R
C
x1
C
x2
.
.
x1 x2
2
1
1 2
x1 x2
1 1
u
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例
R1
uC R2
x1
R2
x2
Cy
x1、x2能控否？
作状态变换 X Px
P
2 1 2 1
1
1
.
.
x1 x2
1
0
0 3
x1 x2
2
u
0
结论 : 不能控
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➢SECTION4 ➢线性系统的结构分析[控制系统的能控、能观性] → ➢线性定常连续系统的状态能控性→
能控性的定义 线性定常系统的能控性判别方法 具有对角（约当）标准型状态的能控性判别 直接从A和B，判别系统的能控性
➢线性定常连续系统的状态能观性→
能观性的定义 线性定常系统能观性的判别 具有对角(约当)标准型系统的能观性判别 直接从A,B阵判断系统状态的能观性
( 2 )一般系统的能控性判据
1 若A , 则系统能控的充分必要条件为T1B的元素没有 全为0的行 ，若有，则对应行的状态不能控。
2 若A J , 系统能控的充分必要条件为 在T1B中对应于相同特征值的部分, 与每个约当块最后一行 相对应的行的元素没有全为0的 T1B中对应互异特征值的部分, 其各行元素没有全为0的
[2]
X
1
1 0
1 X b2 u
y c1 c2 X
能控否 能控
[3]
X
1
1
1
X
b1 0
u
y c1 c2 X
能控否 不能控
SISO结论
1 系统的能控性,取决于状态方程中的系数矩阵A和控制矩阵B;
2 在A为对角线矩阵的情况下, 若B中的元素有为0的,则与之对应 的状态不可控, 则状态不完全能控, 简称不能控
线性定常系统能控性判别有两种形式
已知系统 X AX Bu
[ 1 ] 将系统进行状态变换, 把系统[ A,B ]化为对角标准型 或约当标准型
^^
^
[ A,B ], 再根据 B阵, 确定系统的能控性
[ 2 ] 直接根据系统的[ A,B ] 阵 判别系统的能控性
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具有对角（约当）标准型状态的能控性判别
➢线性定常连续系统的状态能控性
能控性的定义
能控性研究的是u对x的控制能力, 模型上只涉及状态方程 X AX Bu
1;如果存在一个分段连续的控制作用u( t ),在有限时间[ t0 ,t f ]内, 能将系统从任意初始状态X( t0 ) 0 转移到终了状态X ( t f ) 0, 称系统状态完全能控, 简称能控;
0 2 0
0
0
,
^
B
2
4
br^21
^ br22
1 0
2 3
0 ^
^
3 , B 3 br31 3
0
0
^^
^
矩阵 B1, B 2 都是行线性无关的, B 3 的元素不全为零，故完全可控。
➢对偶原理→ ➢线性系统的结构分解→ ➢ 关于实现和最小实现问题→
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➢线性系统的结构分析[控制系统的能控、能观性]
1、 控制系统的能控、能观性是现代控制论中的两个重要概念 是卡尔曼在1960年首先提出来的。
2、 能控性反映的是u对x的控制能力，能观性说的是y对x的反 映能力。
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3 在A为约当标准型矩阵的情况下, 前一个状态总是受下一个状 态 控制,故只要当B中对应于约当块最后的一行元素为0时,状态不 完全能控, 简称不能控
4 可以证明, 系统的线性变换不改变系统的能控性
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MIMO能控性问题
( 1 ) 问题 已知 X AX BU 存在线性变换阵为T 状态变换关系为X TZ 可将上式变为 Z Z T1BU 或 Z JZ T1BU
值对应的约当块的最后一行元素所形成的矢量是否线性无关 若它 们线性无关 , 系统能控 反之不能控
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1 1
1
1
例
A
1
21
02
2
5
0 0 0
1 0 0
0 2 0
B
0 0
0 0
4 0
1 2 0
0 3 3
3 0 0
确定可控性
解： Q
br^11
1
^
B 1
^ br12
0
^
br13
0